5.2: Introducción a los polinomios

Objetivos de aprendizaje

• Identificar un polinomio y determinar su grado.
• Evaluar un polinomio para valores dados de las variables.
• Evaluar un polinomio usando notación de función.

Definiciones

Un polinomio es una expresión algebraica especial con términos que consisten en coeficientes numéricos reales y factores variables con exponentes de números enteros.

$\color{Cerulean}{Examples\:of\:polynomials:}$

$3x^{2}\quad 7xy+5\quad \frac{3}{2}x^{3}+3x^{2}-\frac{1}{2}x+1\quad 6x^{2}y-4xy^{3}-4xy^{3}+7$

Los polinomios no tienen variables en el denominador de ningún término.

$\color{Cerulean}{Examples\:that\:are\:not\:polynomials:}$

$\frac{2x^{2}}{y} \quad 5\sqrt{x}+5\quad 5x^{2}+3x^{-2}+7\quad \frac{2}{x}-\frac{5}{y}=3$

El grado de un término en un polinomio se define como el exponente de la variable, o si hay más de una variable en el término, el grado es la suma de sus exponentes. Recordemos eso$x^{0}=1$; cualquier término constante puede escribirse como producto de$x^{0}$ y en sí mismo. De ahí que el grado de un término constante sea$0$.

Mesa$\PageIndex{1}$

Término	Titulación
$3x^{2}$	$2$
$6x^{2}y$	$2+1=3$
$7a^{2}b^{3}$	$2+3=5$
$8$	$0$, ya que$8=8x^{0}$
$2x$	$1$, ya que$x=x^{1}$

El grado de un polinomio es el grado más grande de todos sus términos.

Mesa$\PageIndex{2}$

Polinomio	Titulación
$4x^{5}-3x^{3}+2x-1$	$5$
$6x^{2}y-5xy^{3}+7$	$4$, porque$5xy^{3}$ tiene grado$4$.
$12x+54$	$1$, porque$x=x^{1}$

Clasificamos los polinomios por el número de términos y el grado de la siguiente manera:

Mesa$\PageIndex{3}$

Expresión	Clasificación	Titulación
$5x^{7}$	Monomial (un término)	$7$
$8x^{6}-1$	Binomial (dos términos)	$6$
$-3x^{2}+x-1$	Trinomio (tres términos)	$2$
$5x^{3}-2x^{2}+3x-6$	Polinomio (muchos términos)	$3$

En este texto, llamaremos polinomios con cuatro o más términos simplemente polinomios.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Clasificar y declarar el grado:

$7x^{2}−4x^{5}−1$.

Solución:

Aquí hay tres términos. El exponente variable más alto es$5$. Por lo tanto, se trata de un trinomio de grado$5$.

Respuesta:

Trinomio; grado$5$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Clasificar y declarar el grado:

$12a^{5}bc^{3}$.

Solución:

Dado que la expresión consiste únicamente en multiplicación, es un término, un monomio. La parte variable se puede escribir como$a^{5}b^{1}c^{3}$; de ahí su grado es$5+1+3=9$.

Respuesta:

Monomio; grado$9$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Clasificar y declarar el grado:

$4x^{2}y−6xy^{4}+5x^{3}y^{3}+4$.

Solución:

El término$4x^{2}y$ tiene grado$3$;$−6xy^{4}$ tiene grado$5; 5x^{3}y^{3}$ tiene grado$6$; y el término constante$4$ tiene grado$0$. Por lo tanto, el polinomio tiene$4$ términos con grado$6$.

Respuesta:

Polinomio; grado$6$

De particular interés son los polinomios con una variable, donde cada término es de la forma$a_{n}x^{n}$. Aquí$a_{n}$ hay cualquier número real y$n$ es cualquier número entero. Tales polinomios tienen la forma estándar

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$

Normalmente, organizamos términos de polinomios en orden descendente en función del grado de cada término. El coeficiente principal es el coeficiente de la variable con mayor potencia, en este caso,$a_{n}$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Escriba en forma estándar:

$3x−4x^{2}+5x^{3}+7−2x^{4}$.

Solución:

Dado que los términos están separados por adición, escriba lo siguiente:

$\begin{aligned} & 3x-4x^{2}+5x^{3}+7-2x^{4} \\ &=3x+(-4x^{2})+5x^{3}+7+(-2x^{4}) \end{aligned}$

De esta forma, podemos ver que la resta en el original corresponde a coeficientes negativos. Debido a que la suma es conmutativa, podemos escribir los términos en orden descendente en función del grado de cada término de la siguiente manera:

$\begin{aligned} &=(-2x^{4})+5x^{3}+(-4x^{2})+3x+7 \\ &=-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+3x+7 \end{aligned}$

Respuesta:

$-2x^{4}+5x^{3}-4x^{2}+3x+7$

Podemos clasificar adicionalmente polinomios con una variable por su grado de la siguiente manera:

Mesa$\PageIndex{4}$

Polinomio	Nombre
$5$	Constante (grado$0$)
$2x+1$	Lineal (grado$1$)
$3x^{2}+5x-3$	Cuadrático (grado$2$)
$x^{3}+x^{2}+x+1$	Cúbico (grado$3$)
$7x^{4}+3x^{3}-7x+8$	Polinomio de cuarto grado

En este texto, llamamos a cualquier polinomio de grado$n≥4$ un polinomio de$n$ grado th-grado. Es decir, si el grado lo es$4$, llamamos al polinomio un polinomio de cuarto grado. Si el grado es$5$, lo llamamos polinomio de quinto grado, y así sucesivamente.

Evaluación de polinomios

Dados los valores para las variables en un polinomio, podemos sustituir y simplificar usando el orden de las operaciones.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Evaluar:

$3x−1$, donde$x=−\frac{3}{2}$.

Solución:

Primero, reemplace la variable por paréntesis y luego sustituya el valor dado.

Respuesta:

$-\frac{11}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Evaluar:

$3x^{2}+2x−1$, donde$x=−1$.

Solución:

Respuesta:

$0$

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Evaluar:

$−2a^{2}b+ab^{2}−7$, donde$a=3$ y$b=−2$.

Solución:

Respuesta:

$41$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

El volumen de una esfera en unidades cúbicas viene dado por la fórmula$V=\frac{4}{3}πr^{3}$, donde$r$ está el radio. Calcular el volumen de una esfera con$r=\frac{3}{2}$ metros de radio.

Figura$\PageIndex{1}$

Solución:

$\begin{aligned} V&=\frac{4}{3}\pi r^{3} \\ &=\frac{4}{3}\pi \left( \frac{3}{2} \right)^{3} \\ &=\frac{4}{3}\pi \frac{3^{3}}{2^{3}} \\ &=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{1}{\cancel{\color{black}{4}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{3}}}{1}}} \pi \frac{\color{Cerulean}{\stackrel{9}{\cancel{\color{black}{27}}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{8}}}{2}}} \\ &=\frac{9}{2} \pi \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{9}{2}\pi$metros cúbicos

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Evaluar:

$x^{3}−x^{2}+4x−2$, donde$x=−3$.

Contestar

$-50$

Funciones polinomiales

Las funciones polinómicas con una variable son funciones que se pueden escribir en la forma

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{0}$$ ,

donde$a_{n}$ está cualquier número real y$n$ es cualquier número entero. A continuación se enumeran algunos ejemplos de las diferentes clases de funciones polinómicas:

Mesa$\PageIndex{5}$

Función polinomial	Nombre
$f(x)=5$	Función constante (grado$0$)
$f(x)=-2x+1$	Función lineal (grado$1$)
$f(x)=5x^{2}+4x-3$	Función cuadrática (grado$2$)
$f(x)=x^{3}-1$	Función cúbica (grado$3$)
$f(x)=4x^{5}+3x^{4}-7$	Función polinomial

Dado que no hay restricciones en los valores para$x$, el dominio de cualquier función polinómica consiste en todos los números reales.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Calcular:

$f(5)$, dado$f(x)=−2x^{2}+5x+10$.

Solución:

Recordemos que la notación de la función$f(5)$ indica que debemos evaluar la función cuando$x=5$. Reemplazar cada instancia de la variable$x$ con el valor$5$.

Respuesta:

$f(5)=-15$

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Calcular:

$f(−1)$, dado$f(x)=−x^{3}+2x^{2}−4x+1$.

Solución:

Reemplace la variable$x$ por$−1$.

$\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=-(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{3}+2(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)^{2}-4(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)+1} \\ &=-(-1)+2\cdot 1 +4+1 \\ &=1+2+4+1 \\ &=8 \end{aligned}$

Respuesta:

$f(-1)=8$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dado$g(x)=x^{3}−2x^{2}−x−4$, calcular$g(−1)$.

Contestar

$g(−1)=−6$

Claves para llevar

• Los polinomios son expresiones algebraicas especiales donde los términos son productos de números reales y variables con exponentes de números enteros.
• El grado de un polinomio con una variable es el mayor exponente de la variable que se encuentra en cualquier término.
• Los términos de un polinomio se ordenan típicamente en orden descendente en función del grado de cada término.
• Al evaluar un polinomio, es una buena práctica reemplazar todas las variables por paréntesis y luego sustituir los valores apropiados.
• Todos los polinomios son funciones.

Ejercicio$\PageIndex{3}$ Definitions

Clasificar el polinomio dado como lineal, cuadrático o cúbico.

1. $2x+1$
2. $x^{2}+7x+2$
3. $2−3x^{2}+x$
4. $4x$
5. $x^{2}−x^{3}+x+1$
6. $5−10x^{3}$

Contestar

1. Lineal

3. Cuadrático

5. Cúbico

Ejercicio$\PageIndex{4}$ Definitions

Clasificar el polinomio dado como monomio, binomio o trinomio y declarar el grado.

1. $x^{3}−1$
2. $x^{2}y^{2}$
3. $x−x^{5}+1$
4. $x^{2}+3x−1$
5. $5ab^{4}$
6. $13x−12$
7. $−5x^{3}+2x+1$
8. $8x^{2}−9$
9. $4x^{5}−5x^{3}+6x$
10. $8x^{4}−x^{5}+2x−3$
11. $9x+7$
12. $x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}−x+1$
13. $6x−1+5x^{4}−8$
14. $4x−3x^{2}+3$
15. $7$
16. $x^{2}$
17. $4x^{2}y−3x^{3}y^{3}+xy^{3}$
18. $a^{3}b^{2}−6ab$
19. $a^{3}b^{3}$
20. $x^{2}y−y^{2}x$
21. $xy−3$
22. $a^{5}bc^{2}+3a^{9}−5a^{4}b^{3}c$
23. $−3x^{10}y^{2}z−xy^{12}z+9x^{13}+30$
24. $7x^{0}$

Contestar

1. Binomial; grado$3$

3. Trinomio; grado$5$

5. Monomio; grado$5$

7. Trinomio; grado$3$

9. Trinomio; grado$5$

11. Binomial; grado$1$

13. No es un polinomio

15. Monomio; grado$0$

17. Trinomio; grado$6$

19. Monomio; grado$6$

21. Binomial; grado$2$

23. Polinomio; grado$14$

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Definitions

Escribe los siguientes polinomios en forma estándar.

1. $1−6x+7x^{2}$
2. $x−9x^{2}−8$
3. $7−x^{3}+x^{7}−x^{2}+x−5x^{5}$
4. $a^{3}−a^{9}+6a^{5}−a+3−a^{4}$

Contestar

1. $7x^{2}−6x+1$

3. $x^{7}−5x^{5}−x^{3}−x^{2}+x+7$

Ejercicio$\PageIndex{6}$ Evaluating Polynomials

1. Rellena la siguiente tabla:
   
   Figura$\PageIndex{2}$
2. Rellena la siguiente tabla:
   
   Figura$\PageIndex{3}$

Contestar

1.

Figura$\PageIndex{4}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$ Evaluating Polynomials

Evaluar.

1. $2x−3$, donde$x=3$
2. $x^{2}−3x+5$, donde$x=−2$
3. $−12x+13$, donde$x=−13$
4. $−x^{2}+5x−1$, donde$x=−12$
5. $−2x^{2}+3x−5$, donde$x=0$
6. $8x^{5}−27x^{3}+81x−17$, donde$x=0$
7. $y^{3}−2y+1$, donde$y=−2$
8. $y^{4}+2y^{2}−32$, donde$y=2$
9. $a^{3}+2a^{2}+a−3$, donde$a=−3$
10. $x^{3}−x^{2}$, donde$x=5$
11. $34x^{2}−12x+36$, donde$x=−23$
12. $58x^{2}−14x+12$, donde$x=4$
13. $x^{2}y+xy^{2}$, dónde$x=2$ y$y=−3$
14. $2a^{5}b−ab^{4}+a^{2}b^{2}$, dónde$a=−1$ y$b=−2$
15. $a^{2}−b^{2}$, dónde$a=5$ y$b=−6$
16. $a^{2}−b^{2}$, dónde$a=34$ y$b=−14$
17. $a^{3}−b^{3}$, dónde$a=−2$ y$b=3$
18. $a^{3}+b^{3}$, dónde$a=5$ y$b=−5$

Contestar

1. $3$

3. $\frac{1}{2}$

5. $−5$

7. $−3$

9. $−15$

11. $\frac{7}{6}$

13. $6$

15. $−11$

17. $−35$

Ejercicio$\PageIndex{8}$ Evaluating Polynomials

Para cada problema, evalúe$b^{2}−4ac$, dados los siguientes valores.

1. $a=−1, b=2$, y$c=−1$
2. $a=2, b=−2$, y$c=12$
3. $a=3, b=−5, c=0$
4. $a=1, b=0$, y$c=−4$
5. $a=14, b=−4$, y$c=2$
6. $a=1, b=5$, y$c=6$

Contestar

1. $0$

3. $25$

5. $14$

Ejercicio$\PageIndex{9}$ Evaluating Polynomials

El volumen de una esfera en unidades cúbicas viene dado por la fórmula$V=\frac{4}{3}πr^{3}$, donde$r$ está el radio. Para cada problema, calcule el volumen de una esfera dados los siguientes radios.

1. $r = 3$centímetros
2. $r = 1$centímetro
3. $r = \frac{1}{2}$pies
4. $r = \frac{3}{2}$pies
5. $r = 0.15$en
6. $r = 1.3$pulgadas

Contestar

1. $36π$centímetros cúbicos

3. $\frac{π}{6}$pies cúbicos

5. $0.014$pulgadas cúbicas

Ejercicio$\PageIndex{10}$ Evaluating Polynomials

La altura en pies de un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial$v_{0}$ en pies por segundo viene dada por la fórmula$h=−16t^{2}+v_{0}t$, donde$t$ representa el tiempo en segundos. Para cada problema, calcule la altura del proyectil dada la siguiente velocidad y tiempos iniciales.

1. $v_{0}=64$pies/segundo, a veces$t = 0, 1, 2, 3, 4$ segundos
2. $v_{0}=80$pies/segundo, a veces$t = 0, 1, 2, 2.5, 3, 4, 5$ segundos

Contestar

1.

Mesa$\PageIndex{6}$

Tiempo	Altura
$t=0$segundos	$h=0$pies
$t=1$segundo	$h=48$pies
$t=2$segundos	$h=64$pies
$t=3$segundos	$h=48$pies
$t=4$segundos	$h=0$pies

Ejercicio$\PageIndex{11}$ Evaluating Polynomials

La distancia de parada de un automóvil, tomando en cuenta un tiempo promedio de reacción, se puede estimar con la fórmula$d=0.05v^{2}+1.5$, donde$d$ está en pies y$v$ es la velocidad en millas por hora. Para cada problema, calcule la distancia de parada de un automóvil que viaja a las velocidades dadas.

1. $20$millas por hora
2. $40$millas por hora
3. $80$millas por hora
4. $100$millas por hora

Contestar

1. $21.5$pies

3. $321.5$pies

Ejercicio$\PageIndex{12}$ Polynomial Functions

Dada la función lineal$f(x)=\frac{2}{3}x+6$, evaluar cada una de las siguientes.

1. $f(−6)$
2. $f(−3)$
3. $f(0)$
4. $f(3)$
5. Encuentra$x$ cuándo$f(x)=10$.
6. Encuentra$x$ cuándo$f(x)=−4$.

Contestar

1. $2$

3. $6$

5. $x=6$

Ejercicio$\PageIndex{13}$ Polynomial Functions

Dada la función cuadrática$f(x)=2x^{2}−3x+5$, evaluar cada una de las siguientes.

1. $f(−2)$
2. $f(−1)$
3. $f(0)$
4. $f(2)$

Contestar

1. $19$

3. $5$

Ejercicio$\PageIndex{14}$ Polynomial Functions

Dada la función cúbica$g(x)=x^{3}−x^{2}+x−1$, evalúe cada una de las siguientes.

1. $g(−2)$
2. $g(−1)$
3. $g(0)$
4. $g(1)$

Contestar

1. $-15$

3. $-1$

Ejercicio$\PageIndex{15}$ Polynomial Functions

La altura en pies de un proyectil lanzado verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de$128$ pies por segundo viene dada por la función$h(t)=−16t^{2}+128t$, donde$t$ está en segundos. Calcular e interpretar lo siguiente.

1. $h(0)$
2. $h(12)$
3. $h(1)$
4. $h(3)$
5. $h(4)$
6. $h(5)$
7. $h(7)$
8. $h(8)$

Contestar

1. El proyectil se lanza desde el suelo.

3. El proyectil se encuentra a$112$ pies sobre el suelo$1$ segundo después del lanzamiento.

5. El proyectil se encuentra a$256$ pies sobre el suelo$4$ segundos después del lanzamiento.

7. El proyectil se encuentra a$112$ pies sobre el suelo$7$ segundos después del lanzamiento.

Ejercicio$\PageIndex{16}$ Discussion Board Topics

1. Encuentra y comparte algunas gráficas de funciones polinómicas.
2. Explica cómo convertir pies por segundo en millas por hora.
3. Encontrar y compartir los nombres de polinomios de cuarto grado, quinto grado y superior.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar