7.5: Resolver ecuaciones racionales

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones racionales.
• Resolver ecuaciones literales, o fórmulas, que involucran expresiones racionales.

Resolviendo ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación que contiene al menos una expresión racional. Las expresiones racionales suelen contener una variable en el denominador. Por ello, nos encargaremos de que el denominador no sea 0 tomando nota de las restricciones y comprobando nuestras soluciones.

Resolver ecuaciones racionales limpiando las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común (LCD).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

\(\frac{5}{x}-\frac{1}{3} = \frac{1}{x}\)

Solución:

Primero hacemos una nota que\(x≠0\) y luego multiplicamos ambos lados por la LCD,\(3x\):

Comprueba tu respuesta sustituyendo 12 por x para ver si obtienes una declaración verdadera.

\(\begin{aligned} \frac{5}{x}-\frac{1}{3} &=\frac{1}{x} \\ \color{black}{\frac{5}{\color{OliveGreen}{12}}}-\frac{1}{3} &=\color{black}{\frac{1}{\color{OliveGreen}{12}}} \\ \frac{5}{12}-\frac{4}{12} &=\frac{1}{12} \\ \frac{1}{12} &=\frac{1}{12}\quad\color{Cerulean}{ \checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es 12.

Después de multiplicar ambos lados del ejemplo anterior por la LCD, nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. No siempre es así; a veces nos quedaremos con una ecuación cuadrática.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\(2-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{3}{x+1}\)

Solución:

En este ejemplo, hay dos restricciones,\(x≠0\) y\(x≠−1\). Comience multiplicando ambos lados por la pantalla LCD,\(x(x+1)\).

Después de distribuir y dividir los factores comunes, queda una ecuación cuadrática. Para resolverlo, reescribirlo en forma estándar, factor, y luego establecer cada factor igual a 0.

\(\begin{array}{rlrl}{2 x+1} & {=0} & {\text { or }} & {x-1=0} \\ {2 x} & {=-1} && {x=1} \\ {x} & {=-\frac{1}{2}}\end{array}\)

Comprueba si estos valores resuelven la ecuación original.

\(2-\frac{1}{x(x+1)}=\frac{3}{x+1}\)

\(\begin{array}{c|c}{Check\:x=-\frac{1}{2}}&{Check\:x=1}\\{2-\frac{1}{\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{(\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{+1)}}}=\frac{3}{\color{Cerulean}{(-\frac{1}{2})}\color{black}{+1}}}&{2-\frac{1}{\color{Cerulean}{1}\color{black}{(\color{Cerulean}{1}\color{black}{+1)}}=}\frac{3}{\color{Cerulean}{1}\color{black}{+1}}}\\{2-\frac{1}{(-\frac{1}{4})}=\frac{3}{\frac{1}{2}}}&{\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}}\\{2+1\cdot\frac{4}{1}=3\cdot\frac{2}{1}}&{\frac{3}{2}=\frac{3}{2}}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\\{2+4=6}\\{6=6}\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(-\frac{1}{2}\) y\(1\).

Hasta este punto, todas las soluciones posibles han resuelto la ecuación original. No obstante, tal vez no siempre sea así. Multiplicar ambos lados de una ecuación por factores variables puede conducir a soluciones extrañas, que son soluciones que no resuelven la ecuación original. En el siguiente ejemplo se describe una lista completa de pasos para resolver una ecuación racional.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver:

\(\frac{x}{x+2}+\frac{2}{x^{2}+5 x+6}=\frac{5}{x+3}\)

Solución:

Paso 1: Factorizar todos los denominadores y determinar el LCD.

\(\begin{aligned} \frac{x}{x+2}+\frac{2}{x^{2}+5 x+6} &=\frac{5}{x+3} \\ \frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)} &=\frac{5}{(x+3)} \end{aligned}\)

El LCD es\((x+2)(x+3)\).

Paso 2: Identificar las restricciones. En este caso, son\(x≠−2\) y\(x≠−3\).

Paso 3: Multiplica ambos lados de la ecuación por el LCD. Distribuya cuidadosamente y luego simplifique.

\(\begin{aligned}\color{Cerulean}{(x+2)(x+3)}\color{black}{\cdot}\left(\frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)} \right)&=\color{Cerulean}{(x+2)(x+3)}\color{black}{\cdot\frac{5}{(x+3)}}\\ \frac{x\cdot\color{Cerulean}{\cancel{(x+2)}(x+3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}\color{black}{+}\frac{2\cdot\color{Cerulean}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x+3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}\cancel{\color{black}{(x+3)}}}}&\color{black}{=}\frac{5\cdot\color{Cerulean}{(x+2)\cancel{(x+3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+3)}}}}\\x(x+3)+2&=5(x+2)\\x^{2}+3x+2&=5x+10 \end{aligned}\)

Paso 4: Resolver la ecuación resultante. Aquí el resultado es una ecuación cuadrática. Vuelva a escribirlo en forma estándar, factor, y luego establezca cada factor igual a\(0\).

\ (x+2) (x-4) &=0\ end {alineado}\) </p">

\(\begin{array}{cc}{x+2=0} & {\text { or } \quad x-4=0} \\ {x=-2} & {x=4}\end{array}\)

Paso 5: Verifique si hay soluciones extrañas. Siempre sustituya en la ecuación original, o el equivalente factorizado. En este caso, elija el equivalente factorizado para verificar:

\(\frac{x}{(x+2)}+\frac{2}{(x+2)(x+3)}=\frac{5}{(x+3)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Check\:x=-2}&{Check\:x=4}\\{\frac{-2}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+2)}}+\frac{2}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+2)(}\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+3)}}=\frac{5}{(\color{Cerulean}{-2}\color{black}{+3)}}}&{\frac{4}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+2)}}+\frac{2}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+2)(}\color{Cerulean}{4}\color{black}{+3)}}=\frac{5}{(\color{Cerulean}{4}\color{black}{+3)}}}\\{-\frac{2}{0}+\frac{2}{0(1)}=\frac{5}{1}\quad\color{red}{x}}&{\frac{4}{6}+\frac{2}{6\cdot7}=\frac{5}{7}}\\{Undefined\:terms!}&{\frac{2}{3}+\frac{1}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{14}{21}+\frac{1}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{15}{21}=\frac{5}{7}}\\{}&{\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Aquí\(−2\) hay una solución extraña y no está incluida en el conjunto de soluciones. Es importante señalar que\(−2\) es una restricción.

Respuesta:

La solución es\(4\).

Si este proceso produce una solución que pasa a ser una restricción, entonces despreciarlo como una solución extraña.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

Contestar

\(-3\)

A veces todas las soluciones potenciales son extrañas, en cuyo caso decimos que no hay solución a la ecuación original. En los dos ejemplos siguientes, demostramos dos formas en las que una ecuación racional no puede tener soluciones.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver:

\(\frac{3 x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2}=\frac{1}{x+2}\)

Solución:

Para identificar la LCD, primero factorizar los denominadores.

\(\begin{aligned} \frac{3 x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x+2} &=\frac{1}{x+2} \\ \frac{3 x}{(x+2)(x-2)}-\frac{2}{(x+2)} &=\frac{1}{(x+2)} \end{aligned}\)

Multiplique ambos lados por el mínimo común denominador (LCD),\((x+2)(x−2)\), distribuyendo cuidadosamente.

La ecuación es una contradicción y por lo tanto no tiene solución.

Respuesta:

Sin solución,\(∅\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver:

\(\frac{x}{x-4}-\frac{4}{x+5}=\frac{36}{x^{2}+x-20}\)

Solución:

Primero, factorial los denominadores.

\(\frac{x}{(x-4)}-\frac{4}{(x+5)}=\frac{36}{(x-4)(x+5)}\)

Toma nota que las restricciones son\(x≠4\) y\(x≠−5\). Para borrar las fracciones, multiplicar por la LCD,\((x−4)(x+5)\).

\ (x-4) (x+5) &=0\ end {alineado}\) </p">

\(\begin{array}{cc}{x-4=0}&{ \text { or } }&{ x+5=0} \\ {x=4} && {x=-5}\end{array}\)

Ambos valores son restricciones de la ecuación original; de ahí que ambos sean extraños.

Respuesta:

Sin solución,\(\emptyset\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

Contestar

\(\emptyset\)

Es importante señalar que esta técnica para borrar fracciones algebraicas sólo funciona para ecuaciones. No trates de borrar fracciones algebraicas al simplificar expresiones. Como recordatorio, tenemos

\(\begin{array}{cc} {\color{Cerulean}{Expression}}&{\color{Cerulean}{Equation}}\\{\frac{1}{x}+\frac{x}{2 x+1}}&{\frac{1}{x}+\frac{x}{2 x+1}=0} \end{array}\)

Las expresiones deben simplificarse y las ecuaciones deben resolverse. Si multiplicamos la expresión por la LCD\(x(2x+1)\),, obtenemos otra expresión que no es equivalente.

\(\begin{array}{c|c}{\color{red}{Incorrect}}&{\color{Cerulean}{Correct}}\\{\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}}&{\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}=0}\\{\neq\color{red}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1} \right) }}&{\color{Cerulean}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1} \right)}\color{black}{=}\color{Cerulean}{x(2x+1)}\color{black}{\cdot 0}}\\{=2x+1+x^{2}\quad\color{red}{x}}&{2x+1+x^{2}=0}\\{}&{x^{2}+2x+1=0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}\end{array}\)

Ecuaciones Literal

Las ecuaciones literales, o fórmulas, suelen ser ecuaciones racionales. De ahí que las técnicas descritas en esta sección puedan ser utilizadas para resolver variables particulares. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver para\(x\):

\(x=\frac{x-5}{y}\)

Solución:

El objetivo es aislar x. Suponiendo que y es distinto de cero, multiplica ambos lados por y y luego suma\(5\) a ambos lados.

Respuesta:

\(x=y z+5\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver para\(c\):

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

Solución:

En este ejemplo, el objetivo es aislar\(c\). Comenzamos multiplicando ambos lados por la LCD,\(a⋅b⋅c\), distribuyendo cuidadosamente.

\(\begin{aligned} \frac{1}{c} &=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \\ \color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{c}} &\color{black}{=}\color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{a}+}\color{Cerulean}{a b c}\color{black}{ \cdot \frac{1}{b}} \\ a b &=b c+a c \end{aligned}\)

En el lado derecho de la ecuación, factorizar\(c\).

\(a b=c(b+a)\)

A continuación, divida ambos lados de la ecuación por la cantidad\((b+a)\).

\(\begin{array}{c}{\frac{a b}{\color{Cerulean}{(b+a)}}\color{black}{=\frac{c(b+a)}{\color{Cerulean}{(b+a)}}}} \\ {\frac{a b}{b+a}=c}\end{array}\)

Respuesta:

\(c=\frac{a b}{b+a}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resolver para\(y\):

\(x=\frac{y+1}{y−1}\)

Contestar

\(y=\frac{1+x}{x-1}\)

Claves para llevar

• Comience a resolver ecuaciones racionales multiplicando ambos lados por la LCD. La ecuación equivalente resultante se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto.
• Multiplicar ambos lados de una ecuación racional por una expresión variable introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por lo tanto, debemos verificar las soluciones contra el conjunto de restricciones. Si una solución es una restricción, entonces no forma parte del dominio y es extraña.
• Al multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión, distribuir cuidadosamente y multiplicar cada término por esa expresión.
• Si todas las soluciones resultantes son extrañas, entonces la ecuación original no tiene soluciones.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Rational Equations

Resolver.

1. \(\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\)
2. \(\frac{1}{3}−\frac{1}{x}=\frac{2}{9}\)
3. \(\frac{1}{3x}−\frac{2}{3}=\frac{1}{x}\)
4. \(\frac{2}{5x}−\frac{1}{x}=\frac{3}{10}\)
5. \(\frac{1}{2 x+1}=5\)
6. \(\frac{3}{3x−1}+4=5\)
7. \(\frac{2 x-3}{x+5}=\frac{2}{x+5}\)
8. \(\frac{5x}{2x−1}=\frac{x−1}{2x−1}\)
9. \(\frac{5}{x−7}=\frac{6}{x−9}\)
10. \(\frac{5}{x+5}=\frac{3}{x+1}\)
11. \(\frac{x}{6}-\frac{6}{x}=0\)
12. \(\frac{5x+x}{5}=−2\)
13. \(\frac{x}{x+12}=\frac{2}{x}\)
14. \(\frac{2x}{x+5}=\frac{1}{6−x}\)
15. \(\frac{1}{x}+\frac{x}{2x+1}=0\)
16. \(\frac{9x}{3x−1}−\frac{4}{x}=0\)
17. \(1−\frac{2}{x}=\frac{48}{x^{2}}\)
18. \(2−\frac{9}{x}=\frac{5}{x^{2}}\)
19. \(1+\frac{12}{x}=\frac{12}{x-2}\)
20. \(1−\frac{3x−5}{x(3x−4)}=−\frac{1}{x}\)
21. \(\frac{x}{2}=\frac{14}{x+3}\)
22. \(\frac{3x}{2}=\frac{x+1}{3−x}\)
23. \(6=\frac{−3x+3}{x−1}\)
24. \(\frac{1}{2x−2}=2+\frac{6(4−x)}{x−2}\)
25. \(2+\frac{2x}{x−3}=\frac{3(x−1)}{x−3}\)
26. \(\frac{x}{x−1}+\frac{1}{6x−1}=\frac{x(x−1)}{(6x−1)}\)
27. \(\frac{12}{x^{2}−81}=\frac{1}{x+9}−\frac{2}{x−9}\)
28. \(\frac{14}{x^{2}−49}=\frac{2}{x−7}−\frac{3}{x+7}\)
29. \(\frac{6x}{x+3}+\frac{4}{x−3}=\frac{3x}{x^{2}−9}\)
30. \(\frac{3x}{x+2}−\frac{17}{x−2}=−\frac{48}{x^{2}−4}\)
31. \(x^{-1}+3=0\)
32. \(4^{−y}−1=0\)
33. \(y^{−2}−4=0\)
34. \(9 x^{-2}-1=0\)
35. \(3(x−1)^{−1}+5=0\)
36. \(5−2(3x+1)^{−1}=0\)
37. \(3+2x^{−3}=2x^{−3}\)
38. \(\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1}\)
39. \(\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x}\)
40. \(\frac{3x−1}{3x}=\frac{x}{x+3}\)
41. \(\frac{4x−7}{x−5}=\frac{3x−2}{x−5}\)
42. \(\frac{x}{x^{2}−9}=\frac{1}{x−3}\)
43. \(\frac{3x+4}{x−8}−\frac{2}{8−x}=1\)
44. \(\frac{1}{x}=\frac{6}{x(x+3)}\)
45. \(\frac{3}{x}=\frac{1}{x+1}+\frac{13}{x(x+1)}\)
46. \(\frac{x}{x−1}−\frac{3}{4x−1}=\frac{9x}{(4x-1)(x−1)}\)
47. \(\frac{1}{x−4}+\frac{x}{x−2}=2x^{2}−6x+8 \)
48. \(\frac{x}{x−5}+\frac{x−1}{x^{2}−11x+30}=\frac{5}{x−6}\)
49. \(\frac{x}{x+1}−\frac{6}{5x^{2}+4x−1}=−\frac{5}{5x−1}\)
50. \(\frac{−8x^{2}−4}{x−12}+\frac{2(x+2)}{x^{2}+4x−60}=\frac{1}{x+2}\)
51. \(\frac{x}{x+2}-\frac{20}{x^{2}-6-x}=\frac{-4}{x-3}\)
52. \(\frac{x+7}{x−1}+\frac{x−1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}−1}\)
53. \(\frac{x−1}{x−3}+\frac{x−3}{x−1}=−\frac{x+5}{x−3}\)
54. \(\frac{x−2}{x−5}−\frac{x−5}{x−2}=\frac{8−x}{x−5}\)
55. \(\frac{x+7}{x−2}−\frac{81}{x^{2}+5x−14}=\frac{9}{x+7}\)
56. \(\frac{x}{x−6}+1=\frac{5x+30}{36−x^{2}}\)
57. \(\frac{2x}{x+1}−\frac{4}{4x−3}=−\frac{7}{4x^{2}+x−3}\)
58. \(\frac{x−5}{x−10}+\frac{5}{x−5}=−\frac{5x}{x^{2}−15x+50}\)
59. \(\frac{5}{x^{2}+5 x+4}+\frac{x+1}{x^{2}+3 x-4}=\frac{5}{x^{2}-1}\)
60. \(\frac{1}{x^{2}−2x−63}+\frac{x−9x^{2}+10}{x+21}=\frac{1}{x^{2}−6x−27}\)
61. \(\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{2(x-2)}{x^{2}-4 x-12}=\frac{x+2}{x^{2}-8 x+12}\)
62. \(\frac{x+2}{x^{2}−5x+4}+\frac{x+2}{x^{2}+x−2}=\frac{x−1}{x^{2}−2x−8}\)
63. \(\frac{6 x}{x-1}-\frac{11 x+1}{2 x^{2}-x-1}=\frac{6 x}{2 x+1}\)
64. \(\frac{8x}{2x−3}+\frac{4x^{2}}{x^{2}−7x+6}=\frac{1}{x−2}\)

Contestar

1. \(−\frac{8}{3}\)

3. \(−1\)

5. \(−\frac{2}{5}\)

7. \(\frac{5}{2}\)

9. \(−3\)

11. \(-6, 6\)

13. \(−4, 6\)

15. \(−1\)

17. \(−6, 8\)

19. \(−4, 6\)

21. \(−7, 4\)

23. \(∅\)

25. \(∅\)

27. \(−39\)

29. \(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}\)

31. \(−\frac{1}{3}\)

33. \(−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\)

35. \(\frac{2}{5}\)

37. \(∅\)

39. \(−\frac{1}{2}\)

41. \(∅\)

43. \(−7\)

45. \(5\)

47. \(−1\)

49. \(∅\)

51. \(−4\)

53. \(\frac{5}{3}\)

55. \(∅\)

57. \(\frac{1}{2}\)

59. \(−6, 4\)

61. \(10\)

63. \(\frac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Literal Equations

Resolver para la variable indicada.

1. Resolver para\(r\):\(t=\frac{D}{r}\)
2. Resolver para\(b\):\(h=\frac{2A}{b}\)
3. Resolver para\(P\):\(t=\frac{I}{Pr}\)
4. Resolver para\(π\):\(r=\frac{C}{2π}\)
5. Resolver para\(c\):\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
6. Resolver para\(y\):\(m=\frac{y−y_{1}}{x−x_{1}}\)
7. Resolver para\(w\):\(P=2(l+w)\)
8. Resolver para\(t\):\(A=P(1+rt)\)
9. Resolver para\(m\):\(s=\frac{1}{n+m}\)
10. Resolver para\(S\):\(h=S2πr−r\)
11. Resolver para\(x\):\(y=\frac{x}{x+2}\)
12. Resolver para\(x\):\(y=2x+15x\)
13. Resolver para\(R\):\(\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\)
14. Resolver para\(S_{1}\):\(\frac{1}{f}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}\)

Contestar

1. \(r=\frac{D}{t}\)

3. \(P=\frac{I}{tr}\)

5. \(c=\frac{ab}{b−a}\)

7. \(w=\frac{P}{2}-l\)

9. \(m=\frac{1}{s}-n\)

11. \(x=-\frac{2y}{y-1}\)

13. \(R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Discussion Board

1. Explique por qué multiplicar ambos lados de una ecuación por la LCD a veces produce soluciones extrañas.
2. Explicar la conexión entre la técnica de multiplicación cruzada y multiplicar ambos lados de una ecuación racional por la LCD.
3. Explicar cómo podemos distinguir entre una expresión racional y una ecuación racional. ¿Cómo los tratamos de manera diferente?

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar