5.2: Simplificar expresiones radicales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Objetivos de aprendizaje
- Simplifica las expresiones radicales usando la regla de producto y cociente para radicales.
- Usa fórmulas que involucren radicales.
Simplificación de expresiones radicales
Una expresión algebraica que contiene radicales se denomina expresión radical 14. Utilizamos las reglas de producto y cociente para simplificarlos.
Ejemplo5.2.1:
Simplificar:3√27x3.
Solución
Usa el hecho de quen√an=a cuandon es extraño.
3√27x3=3√33⋅x3Applytheproductruleforradicals.=3√33⋅3√x3Simplify.=3⋅x=3x
Respuesta:
3x
Ejemplo5.2.2:
Simplificar:4√16y4.
Solución
Usa el hecho de quen√an=|a| cuandon es parejo.
4√16y4=4√24y4Applytheproductruleforradicals.=4√24⋅4√y4Simplify.=2⋅|y|=2|y|
Dado quey es una variable, puede representar un número negativo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el resultado sea positivo al incluir el valor absoluto.
Respuesta:
2|y|
Nota
Normalmente, en este punto del álgebra observamos que se supone que todas las variables son positivas. Si este es el caso, entoncesy en el ejemplo anterior es positivo y no se necesita el operador de valor absoluto. El ejemplo se puede simplificar de la siguiente manera.
4√16y4=4√24y4=4√24⋅4√y4=2y
En esta sección, asumiremos que todas las variables son positivas. Esto nos permite enfocarnos en el cálculon de las raíces sin los tecnicismos asociados con el problema principal de raízn th. Por esta razón, utilizaremos la siguiente propiedad para el resto de la sección,
n√an=a, if a≥0nthroot
Al simplificar expresiones radicales, busque factores con potencias que coincidan con el índice.
Ejemplo5.2.3:
Simplificar:√12x6y3.
Solución
Comience por determinar los factores cuadrados de12,x6, yy3.
12=22⋅3x6=(x3)2y3=y2⋅y}Squarefactors
Haga estas sustituciones, y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.
√12x6y3=√22⋅3⋅(x3)2⋅y2⋅yApplytheproductruleforradicals.=√22⋅√(x3)2⋅√y2⋅√3ySimplify.=2⋅x3⋅y⋅√3y=2x3y√3y
Respuesta:
2x3y√3y
Ejemplo5.2.4:
Simplificar:√18a5b8.
Solución
Comience por determinar los factores cuadrados de18,a5, yb8.
18=2⋅32a5=a2⋅a2⋅a=(a2)2⋅ab8=b4⋅b4=(b4)2}Squarefactors
Hacer estas sustituciones, aplicar las reglas de producto y cociente para radicales, y luego simplificar.
√18a5b8=√2⋅32⋅(a2)2⋅a(b4)2Applytheproductandquotientruleforradicals.=√32⋅√(a2)2⋅√2a√(b4)2Simplify.=3a2√2ab4
Respuesta:
3a2√2ab4
Ejemplo5.2.5:
Simplificar:3√80x5y7.
Solución
Comience por determinar los factores cúbicos de80,x5, yy7.
80=24⋅5=23⋅2⋅5x5=x3⋅x2y7=y6⋅y=(y2)3⋅y}Cubicfactors
Haga estas sustituciones, y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.
3√80x5y7=3√23⋅2⋅5⋅x3⋅x2⋅(y2)3⋅y=3√23⋅3√x3⋅3√(y2)3⋅3√2⋅5⋅x2⋅y=2⋅xy2⋅3√10x2y=2xy23√10x2y
Respuesta:
2xy23√10x2y
Ejemplo5.2.6:
Simplificar:3√9x6y3z9.
Solución
El coeficiente9=32, y por lo tanto no tiene ningún factor cubo perfecto. Se dejará como el único radical restante porque todos los demás factores son cubos, como se ilustra a continuación:
x6=(x2)3y3=(y)3z9=(z3)3}Cubicfactors
Reemplazar las variables con estos equivalentes, aplicar las reglas de producto y cociente para radicales, y luego simplificar.
3√9x6y3z9=3√9⋅(x2)3y3⋅(z3)3=3√9⋅3√(x2)33√y3⋅3√(z3)3=3√9⋅x2y⋅z3=x23√9yz3
Respuesta:
x23√9yz3
Ejemplo5.2.7:
Simplificar:4√81a4b5.
Solución
Determinar todos los factores que se pueden escribir como poderes perfectos de4. Aquí, es importante verlob5=b4⋅b. De ahí que el factorb quede dentro del radical.
4√81a4b5=4√34⋅a4⋅b4⋅b=4√34⋅4√a4⋅4√b4⋅4√b=3⋅a⋅b⋅4√b=3ab4√b
Respuesta:
3ab4√b
Ejemplo5.2.8:
Simplificar:5√−32x3y6z5.
Solución
Observe que el factor variablex no puede escribirse como un poder de5 y así quedará dentro del radical. Además,y6=y5⋅y; el factory quedará dentro del radical también.
3√−32x3y6z5=5√(−2)5⋅x3⋅y5⋅y⋅z5=5√(−2)5⋅5√y5⋅5√z5⋅5√x3⋅y=−2⋅y⋅z⋅5√x3⋅y=−2yz5√x3y
Respuesta:
−2yz5√x3y
Consejo: Para simplificar la búsqueda de una raízn th, divida las potencias por el índice.
√a6=a3, which is a6÷2=a33√b6=b2, which is b6÷3=b26√c6=c,which isc6÷6=c1
Si el índice no divide en la potencia de manera uniforme, entonces podemos usar el cociente y el resto para simplificar. Por ejemplo,
√a5=a2⋅√a, which is a5÷2=a2r13√b5=b⋅3√b2, which is b5÷3=b1r25√c14=c2⋅5√c4,which isc14÷5=c2r4
El cociente es el exponente del factor fuera del radical, y el resto es el exponente del factor que queda dentro del radical.
Ejercicio5.2.1
Simplificar:3√162a7b5c4.
- Responder
-
3a2bc3√6ab2c
www.youtube.com/V/KT9QA1NFMLK
Fórmulas que involucran radicales
Las fórmulas suelen consistir en expresiones radicales. Por ejemplo, el periodo de un péndulo, o el tiempo que tarda un péndulo en oscilar de un lado a otro y hacia atrás, depende de su longitud según la siguiente fórmula.
T=2π√L32
AquíT representa el periodo en segundos yL representa la longitud en pies del péndulo.
Ejemplo5.2.9:
Si la longitud de un péndulo mide112 pies, entonces calcula el período redondeado a la décima de segundo más cercana.
Solución
Sustituir112=32L y luego simplificar.
T=2π√L32=2π√3232=2π√32⋅132Applythequotientruleforradicals.=2π√3√64Simplify.=π√34≈1.36
Respuesta:
El periodo es de aproximadamente1.36 segundos.
Frecuentemente es necesario calcular la distancia entre dos puntos en un plano. Para ello, formar un triángulo rectángulo usando los dos puntos como vértices del triángulo y luego aplicar el teorema de Pitágoras. Recordemos que el teorema de Pitágoras establece que si se le da algún triángulo rectángulo con patas de medicióna yb unidades, entonces el cuadrado de la medida de la hipotenusac es igual a la suma de los cuadrados de las piernas:a2+b2=c2. Es decir, la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus patas.

Ejemplo5.2.10:
Encuentra la distancia entre(−5,3) y(1,1).
Solución
Formar un triángulo rectángulo dibujando líneas horizontales y verticales a través de los dos puntos. Esto crea un triángulo rectángulo como se muestra a continuación:

La longitud de piernab se calcula encontrando la distancia entre losx -valores de los puntos dados, y la longitud de piernaa se calcula encontrando la distancia entre losy valores dados.
a=3−1=2 units b=1−(−5)=1+5=6 units
A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.
c=√22+62=√4+36=√40=√4⋅10=2√10 units
Respuesta:
La distancia entre los dos puntos es2√10 unidades.
Generalizar este proceso para producir una fórmula que pueda ser utilizada para calcular algebraicamente la distancia entre dos puntos dados cualquiera.

Dados dos puntos,(x1,y1) y(x2,y2) la distancia,\(d|), between them is given by the distance formula15, d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2.
Ejemplo5.2.11:
Calcular la distancia entre(−4,7) y(2,1).
Solución
Utilice la fórmula de distancia con los siguientes puntos.
(x1,y1)(x2,y2)(−4,7)(2,1)
Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir valores por las variables; esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.
d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2=√(2−(−4))2+(1−7)2=√(2+4)2+(1−7)2=√(6)2+(−6)2=√72=√36⋅2=6√2
Respuesta:
La distancia entre los dos puntos es6√2 unidades.
Ejemplo5.2.12:
¿Los tres puntos(2,−1),(3,2), y(8,−3) forman un triángulo rectángulo?
Solución
El teorema de Pitágoras afirma que tener longitudes laterales que satisfagan la propiedada2+b2=c2 es una condición necesaria y suficiente de los triángulos rectos. Es decir, si puedes demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Primero, calcule la longitud de cada lado usando la fórmula de distancia.
Geometría | Cálculo |
---|---|
Figura5.2.4 |
Puntos:(2,−1) y(8,−3) a=√(8−2)2+[−3−(−1)]2=√(6)2+(−3+1)2=√36+(−2)2=√36+4=√40=2√10 |
![]() |
Puntos:(2,−1) y(3,2) b=√(3−2)2+[2−(−1)]2=√(1)2+(2+1)2=√1+(3)2=√1+9=√10 |
Figura5.2.6 |
Puntos:(3,2) y(8,−3) c=√(8−3)2+(−3−2)2=√(5)2+(−5)2=√25+25=√50=5√2 |
Ahora comprobamos para ver sia2+b2=c2.
a2+b2=c2(2√10)2+(√10)2=(5√2)24(√10)2+(√10)2=25(√2)24⋅10+10=25⋅250=50✓
Respuesta:
Sí, los tres puntos forman un triángulo rectángulo.
Ejercicio5.2.2
La velocidad de un vehículo antes de que se aplicaran los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de derrape dejadas en la carretera. En concreto húmedo, la velocidadv en millas por hora se puede estimar por la fórmulav=2√3d, donded representa la longitud de las marcas de derrape en pies. Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos si las marcas de derrape dejadas miden27 los pies. Redondear a la milla por hora más cercana.
- Responder
-
18millas por hora
www.youtube.com/v/8iscyu3ywqw
Claves para llevar
- Para simplificar una expresión radical, buscar factores del radicando con potencias que coincidan con el índice. Si se encuentran, pueden simplificarse aplicando las reglas de producto y cociente para radicales, así como la propiedadn√an=a, dondea es no negativa.
- Una expresión radical se simplifica si su radicando no contiene ningún factor que pueda escribirse como poderes perfectos del índice.
- Normalmente asumimos que todas las expresiones variables dentro del radical no son negativas. Esto nos permite enfocarnos en simplificar los radicales sin los problemas técnicos asociados con lan raíz principal. Si no se hace esta suposición, aseguraremos un resultado positivo mediante el uso de valores absolutos a la hora de simplificar los radicales con índices pares.
Ejercicio5.2.3
Supongamos que la variable podría representar cualquier número real y luego simplificar.
- √9x2
- √16y2
- 3√8y3
- 3√125a3
- 4√64x4
- 4√81y4
- √36a4
- √100a8
- √4a6
- √a10
- √18a4b5
- √48a5b3
- 6√128x6y8
- 6√a6b7c8
- √(5x−4)2
- √(3x−5)4
- √x2−6x+9
- √x2−10x+25
- √4x2+12x+9
- √9x2+6x+1
- Responder
-
1. 3|x|
3. 2y
5. 2|x|
7. 6a2
9. 2|a3|
11. 3a2b2√2b
13. 2|xy|6√2y2
15. |5x−4|
17. |x−3|
19. |2x+3|
Ejercicio5.2.4
Simplificar. (Supongamos que todas las expresiones variables representan números positivos.)
- √49a2
- √64b2
- √x2y2
- √25x2y2z2
- √180x3
- √150y3
- √49a3b2
- √4a4b3c
- √45x5y3
- √50x6y4
- √64r2s6t5
- √144r8s6t2
- √(x+1)2
- √(2x+3)2
- √4(3x−1)2
- √9(2x+3)2
- √9x325y2
- √4x59y4
- √m736n4
- √147m9n6
- √2r2s525t4
- √36r5s2t6
- 3√27a3
- 3√125b3
- 3√250x4y3
- 3√162a3b5
- 3√64x3y6z9
- 3√216x12y3
- 3√8x3y4
- 3√27x5y3
- 3√a4b5c6
- 3√a7b5c3
- 3√8x427y3
- 3√x5125y6
- 3√360r5s12t13
- 3√540r3s2t9
- 4√81x4
- 4√x4y4
- 4√16x4y8
- 4√81x12y4
- 4√a4b5c6
- 4√54a6c8
- 4√128x6
- 4√243y7
- 5√32m10n5
- 5√37m9n10
- −3√4x2
- 7√9y2
- −5x√4x2y
- −3y√16x3y2
- 12ab√a5b3
- 6a2b√9a7b2
- 2x3√8x6
- −5x23√27x3
- 2ab3√−8a4b5
- 5a2b3√−27a3b3
- Responder
-
1. 7a
3. xy
5. 6x√5x
7. 7ab√a
9. 3x2y√5xy
11. 8rs3t2√t
13. x+1
15. 2(3x−1)
17. 3x√x5y
19. m3√m6n2
21. rs2√2s5t2
23. 3a
25. 5xy3√2x
27. 4xy2z3
29. 2xy3√y
31. abc23√ab2
33. 2x3√x3y
35. 2rs4t43√45r2t
37. 3x
39. 2xy2
41. abc4√bc2
43. 2x4√8x2
45. 2m2n
47. −6x
49. −10x2√y
51. 12a3b2√ab
53. 4x3
55. −4a2b23√ab2
Ejercicio5.2.5
Reescribe lo siguiente como una expresión radical con coeficiente1.
- 3x√6x
- 5y√5y
- ab√10a
- 2ab2√a
- m2n√mn
- 2m2n3√3n
- 2x3√3x
- 3y3√y2
- 2y24√4y
- x2y5√9xy2
- Responder
-
1. √54x3
3. √10a3b2
5. √m5n3
7. 3√24x4
9. 4√64y9
Ejercicio5.2.6
El periodoT en segundos de un péndulo viene dado por la fórmula
T=2π√L32
dondeL representa la longitud en pies del péndulo. Calcular el periodo, dada cada una de las siguientes longitudes. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.
- 8pies
- 32pies
- 12pie
- 18pie
- Responder
-
1. πsegundos;3.1 segundos
3. \frac { \pi } { 4 }segundos;0.8 segundos
Ejercicio\PageIndex{7}
El tiempot en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula
t = \frac { \sqrt { s } } { 4 }
dondes representa la distancia en pies que ha caído el objeto. Calcula el tiempo que tarda un objeto en caer, dadas cada una de las siguientes distancias. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.
- 48pies
- 80pies
- 192pies
- 288pies
- La velocidad de un vehículo antes de que se aplicaran los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de derrape dejadas en la carretera. En pavimento seco, la velocidadv en millas por hora se puede estimar por la fórmulav = 2 \sqrt { 6 d }, donded representa la longitud de las marcas de derrape en pies. Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos sobre pavimento seco si las marcas de derrape dejadas miden27 pies. Redondear a la milla por hora más cercana.
- El radior de una esfera se puede calcular usando la fórmular = \frac { \sqrt [ 3 ] { 6 \pi ^ { 2 } V } } { 2 \pi }, dondeV representa el volumen de la esfera. ¿Cuál es el radio de una esfera si el volumen es de centímetros36π cúbicos?
- Responder
-
1. \sqrt{3}segundos;1.7 segundos
3. 2\sqrt{3}segundos;3.5 segundos
5. 25millas por hora
Ejercicio\PageIndex{8}
Dada la función encontrar ely -intercept
- f ( x ) = \sqrt { x + 12 }
- f ( x ) = \sqrt { x + 8 } - 3
- f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 8 }
- f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 27 }
- f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 16 }
- f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 3 } - 1
- Responder
-
1. ( 0,2 \sqrt { 3 } )
3. (0,-2)
5. ( 0,2 \sqrt [ 3 ] { 2 } )
Ejercicio\PageIndex{9}
Usa la fórmula de distancia para calcular la distancia entre los dos puntos dados.
- (5,-7)y(3,-8)
- (-9,7)y(-8,4)
- (-3,-4)y(3,-6)
- (-5,-2)y(1,-6)
- (-1,1)y(-4,10)
- (8,-3)y(2,-12)
- (0,-6)y(-3,0)
- (0,0)y(8,-4)
- \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)y\left( - 1 , \frac { 3 } { 2 } \right)
- \left( - \frac { 1 } { 3 } , 2 \right) y\left( \frac { 5 } { 3 } , - \frac { 2 } { 3 } \right)
- Responder
-
1. \sqrt{5}unidades
3. 2\sqrt{10}unidades
5. 3\sqrt{10}unidades
7. 3\sqrt{5}unidades
9. \frac{5}{2}unidades
Ejercicio\PageIndex{10}
Determina si los tres puntos forman o no un triángulo rectángulo. Usa el teorema de Pitágoras para justificar tu respuesta.
- ( 2 , - 1 ) , ( - 1,2 ) , \text { and } ( 6,3 )
- ( - 5,2 ) , ( - 1 , - 2 ) , \text { and } ( - 2,5 )
- ( - 5,0 ) , ( 0,3 ) , \text { and } ( 6 , - 1 )
- ( - 4 , - 1 ) , ( - 2,5 ) , \text { and } ( 7,2 )
- ( 1 , - 2 ) , ( 2,3 ) , \text { and } ( - 3,4 )
- ( - 2,1 ) , ( - 1 , - 1 ) , \text { and } ( 1,3 )
- ( - 4,0 ) , ( - 2 , - 10 ) , \text { and } ( 3 , - 9 )
- ( 0,0 ) , ( 2,4 ) , \text { and } ( - 2,6 )
- Responder
-
1. Triángulo recto
3. No es un triángulo rectángulo
5. Triángulo recto
7. Triángulo recto
Ejercicio\PageIndex{11}
- Dar un valor parax tal que\sqrt { x ^ { 2 } } \neq x. Explique por qué es importante asumir que las variables representan números no negativos.
- Investigar y discutir los logros de Christoph Rudolff. ¿Por qué se le atribuye?
- ¿Qué es un surd y de dónde viene la palabra?
- Investigar formas en que los investigadores policiales puedan determinar la velocidad de un vehículo después de que se haya producido un accidente. Comparta sus hallazgos en el panel de discusión.
- Responder
-
1. La respuesta puede variar
3. La respuesta puede variar