Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

5.2: Simplificar expresiones radicales

  • Anonymous
  • LibreTexts

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

  • Simplifica las expresiones radicales usando la regla de producto y cociente para radicales.
  • Usa fórmulas que involucren radicales.

Simplificación de expresiones radicales

Una expresión algebraica que contiene radicales se denomina expresión radical 14. Utilizamos las reglas de producto y cociente para simplificarlos.

Ejemplo5.2.1:

Simplificar:327x3.

Solución

Usa el hecho de quenan=a cuandon es extraño.

327x3=333x3Applytheproductruleforradicals.=3333x3Simplify.=3x=3x

Respuesta:

3x

Ejemplo5.2.2:

Simplificar:416y4.

Solución

Usa el hecho de quenan=|a| cuandon es parejo.

416y4=424y4Applytheproductruleforradicals.=4244y4Simplify.=2|y|=2|y|

Dado quey es una variable, puede representar un número negativo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el resultado sea positivo al incluir el valor absoluto.

Respuesta:

2|y|

Nota

Normalmente, en este punto del álgebra observamos que se supone que todas las variables son positivas. Si este es el caso, entoncesy en el ejemplo anterior es positivo y no se necesita el operador de valor absoluto. El ejemplo se puede simplificar de la siguiente manera.

416y4=424y4=4244y4=2y

En esta sección, asumiremos que todas las variables son positivas. Esto nos permite enfocarnos en el cálculon de las raíces sin los tecnicismos asociados con el problema principal de raízn th. Por esta razón, utilizaremos la siguiente propiedad para el resto de la sección,

nan=a, if a0nthroot

Al simplificar expresiones radicales, busque factores con potencias que coincidan con el índice.

Ejemplo5.2.3:

Simplificar:12x6y3.

Solución

Comience por determinar los factores cuadrados de12,x6, yy3.

12=223x6=(x3)2y3=y2y}Squarefactors

Haga estas sustituciones, y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.

12x6y3=223(x3)2y2yApplytheproductruleforradicals.=22(x3)2y23ySimplify.=2x3y3y=2x3y3y

Respuesta:

2x3y3y

Ejemplo5.2.4:

Simplificar:18a5b8.

Solución

Comience por determinar los factores cuadrados de18,a5, yb8.

18=232a5=a2a2a=(a2)2ab8=b4b4=(b4)2}Squarefactors

Hacer estas sustituciones, aplicar las reglas de producto y cociente para radicales, y luego simplificar.

18a5b8=232(a2)2a(b4)2Applytheproductandquotientruleforradicals.=32(a2)22a(b4)2Simplify.=3a22ab4

Respuesta:

3a22ab4

Ejemplo5.2.5:

Simplificar:380x5y7.

Solución

Comience por determinar los factores cúbicos de80,x5, yy7.

80=245=2325x5=x3x2y7=y6y=(y2)3y}Cubicfactors

Haga estas sustituciones, y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.

380x5y7=32325x3x2(y2)3y=3233x33(y2)3325x2y=2xy2310x2y=2xy2310x2y

Respuesta:

2xy2310x2y

Ejemplo5.2.6:

Simplificar:39x6y3z9.

Solución

El coeficiente9=32, y por lo tanto no tiene ningún factor cubo perfecto. Se dejará como el único radical restante porque todos los demás factores son cubos, como se ilustra a continuación:

x6=(x2)3y3=(y)3z9=(z3)3}Cubicfactors

Reemplazar las variables con estos equivalentes, aplicar las reglas de producto y cociente para radicales, y luego simplificar.

39x6y3z9=39(x2)3y3(z3)3=393(x2)33y33(z3)3=39x2yz3=x239yz3

Respuesta:

x239yz3

Ejemplo5.2.7:

Simplificar:481a4b5.

Solución

Determinar todos los factores que se pueden escribir como poderes perfectos de4. Aquí, es importante verlob5=b4b. De ahí que el factorb quede dentro del radical.

481a4b5=434a4b4b=4344a44b44b=3ab4b=3ab4b

Respuesta:

3ab4b

Ejemplo5.2.8:

Simplificar:532x3y6z5.

Solución

Observe que el factor variablex no puede escribirse como un poder de5 y así quedará dentro del radical. Además,y6=y5y; el factory quedará dentro del radical también.

332x3y6z5=5(2)5x3y5yz5=5(2)55y55z55x3y=2yz5x3y=2yz5x3y

Respuesta:

2yz5x3y

Consejo: Para simplificar la búsqueda de una raízn th, divida las potencias por el índice.

a6=a3, which is a6÷2=a33b6=b2, which is b6÷3=b26c6=c,which isc6÷6=c1

Si el índice no divide en la potencia de manera uniforme, entonces podemos usar el cociente y el resto para simplificar. Por ejemplo,

a5=a2a, which is a5÷2=a2r13b5=b3b2, which is b5÷3=b1r25c14=c25c4,which isc14÷5=c2r4

El cociente es el exponente del factor fuera del radical, y el resto es el exponente del factor que queda dentro del radical.

Ejercicio5.2.1

Simplificar:3162a7b5c4.

Responder

3a2bc36ab2c

www.youtube.com/V/KT9QA1NFMLK

Fórmulas que involucran radicales

Las fórmulas suelen consistir en expresiones radicales. Por ejemplo, el periodo de un péndulo, o el tiempo que tarda un péndulo en oscilar de un lado a otro y hacia atrás, depende de su longitud según la siguiente fórmula.

T=2πL32

AquíT representa el periodo en segundos yL representa la longitud en pies del péndulo.

Ejemplo5.2.9:

Si la longitud de un péndulo mide112 pies, entonces calcula el período redondeado a la décima de segundo más cercana.

Solución

Sustituir112=32L y luego simplificar.

T=2πL32=2π3232=2π32132Applythequotientruleforradicals.=2π364Simplify.=π341.36

Respuesta:

El periodo es de aproximadamente1.36 segundos.

Frecuentemente es necesario calcular la distancia entre dos puntos en un plano. Para ello, formar un triángulo rectángulo usando los dos puntos como vértices del triángulo y luego aplicar el teorema de Pitágoras. Recordemos que el teorema de Pitágoras establece que si se le da algún triángulo rectángulo con patas de medicióna yb unidades, entonces el cuadrado de la medida de la hipotenusac es igual a la suma de los cuadrados de las piernas:a2+b2=c2. Es decir, la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus patas.

Figura5.2.1

Ejemplo5.2.10:

Encuentra la distancia entre(5,3) y(1,1).

Solución

Formar un triángulo rectángulo dibujando líneas horizontales y verticales a través de los dos puntos. Esto crea un triángulo rectángulo como se muestra a continuación:

Figura5.2.2

La longitud de piernab se calcula encontrando la distancia entre losx -valores de los puntos dados, y la longitud de piernaa se calcula encontrando la distancia entre losy valores dados.

a=31=2 units b=1(5)=1+5=6 units 

A continuación, utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

c=22+62=4+36=40=410=210 units 

Respuesta:

La distancia entre los dos puntos es210 unidades.

Generalizar este proceso para producir una fórmula que pueda ser utilizada para calcular algebraicamente la distancia entre dos puntos dados cualquiera.

Figura5.2.3

Dados dos puntos,(x1,y1) y(x2,y2) la distancia,\(d|), between them is given by the distance formula15, d=(x2x1)2+(y2y1)2.

Ejemplo5.2.11:

Calcular la distancia entre(4,7) y(2,1).

Solución

Utilice la fórmula de distancia con los siguientes puntos.

(x1,y1)(x2,y2)(4,7)(2,1)

Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir valores por las variables; esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.

d=(x2x1)2+(y2y1)2=(2(4))2+(17)2=(2+4)2+(17)2=(6)2+(6)2=72=362=62

Respuesta:

La distancia entre los dos puntos es62 unidades.

Ejemplo5.2.12:

¿Los tres puntos(2,1),(3,2), y(8,3) forman un triángulo rectángulo?

Solución

El teorema de Pitágoras afirma que tener longitudes laterales que satisfagan la propiedada2+b2=c2 es una condición necesaria y suficiente de los triángulos rectos. Es decir, si puedes demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo. Primero, calcule la longitud de cada lado usando la fórmula de distancia.

Geometría Cálculo

Figura5.2.4

Puntos:(2,1) y(8,3)

a=(82)2+[3(1)]2=(6)2+(3+1)2=36+(2)2=36+4=40=210

Figura5.2.5

Puntos:(2,1) y(3,2)

b=(32)2+[2(1)]2=(1)2+(2+1)2=1+(3)2=1+9=10

Figura5.2.6

Puntos:(3,2) y(8,3)

c=(83)2+(32)2=(5)2+(5)2=25+25=50=52

Mesa5.2.1

Ahora comprobamos para ver sia2+b2=c2.

a2+b2=c2(210)2+(10)2=(52)24(10)2+(10)2=25(2)2410+10=25250=50

Respuesta:

Sí, los tres puntos forman un triángulo rectángulo.

Ejercicio5.2.2

La velocidad de un vehículo antes de que se aplicaran los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de derrape dejadas en la carretera. En concreto húmedo, la velocidadv en millas por hora se puede estimar por la fórmulav=23d, donded representa la longitud de las marcas de derrape en pies. Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos si las marcas de derrape dejadas miden27 los pies. Redondear a la milla por hora más cercana.

Responder

18millas por hora

www.youtube.com/v/8iscyu3ywqw

Claves para llevar

  • Para simplificar una expresión radical, buscar factores del radicando con potencias que coincidan con el índice. Si se encuentran, pueden simplificarse aplicando las reglas de producto y cociente para radicales, así como la propiedadnan=a, dondea es no negativa.
  • Una expresión radical se simplifica si su radicando no contiene ningún factor que pueda escribirse como poderes perfectos del índice.
  • Normalmente asumimos que todas las expresiones variables dentro del radical no son negativas. Esto nos permite enfocarnos en simplificar los radicales sin los problemas técnicos asociados con lan raíz principal. Si no se hace esta suposición, aseguraremos un resultado positivo mediante el uso de valores absolutos a la hora de simplificar los radicales con índices pares.

Ejercicio5.2.3

Supongamos que la variable podría representar cualquier número real y luego simplificar.

  1. 9x2
  2. 16y2
  3. 38y3
  4. 3125a3
  5. 464x4
  6. 481y4
  7. 36a4
  8. 100a8
  9. 4a6
  10. a10
  11. 18a4b5
  12. 48a5b3
  13. 6128x6y8
  14. 6a6b7c8
  15. (5x4)2
  16. (3x5)4
  17. x26x+9
  18. x210x+25
  19. 4x2+12x+9
  20. 9x2+6x+1
Responder

1. 3|x|

3. 2y

5. 2|x|

7. 6a2

9. 2|a3|

11. 3a2b22b

13. 2|xy|62y2

15. |5x4|

17. |x3|

19. |2x+3|

Ejercicio5.2.4

Simplificar. (Supongamos que todas las expresiones variables representan números positivos.)

  1. 49a2
  2. 64b2
  3. x2y2
  4. 25x2y2z2
  5. 180x3
  6. 150y3
  7. 49a3b2
  8. 4a4b3c
  9. 45x5y3
  10. 50x6y4
  11. 64r2s6t5
  12. 144r8s6t2
  13. (x+1)2
  14. (2x+3)2
  15. 4(3x1)2
  16. 9(2x+3)2
  17. 9x325y2
  18. 4x59y4
  19. m736n4
  20. 147m9n6
  21. 2r2s525t4
  22. 36r5s2t6
  23. 327a3
  24. 3125b3
  25. 3250x4y3
  26. 3162a3b5
  27. 364x3y6z9
  28. 3216x12y3
  29. 38x3y4
  30. 327x5y3
  31. 3a4b5c6
  32. 3a7b5c3
  33. 38x427y3
  34. 3x5125y6
  35. 3360r5s12t13
  36. 3540r3s2t9
  37. 481x4
  38. 4x4y4
  39. 416x4y8
  40. 481x12y4
  41. 4a4b5c6
  42. 454a6c8
  43. 4128x6
  44. 4243y7
  45. 532m10n5
  46. 537m9n10
  47. 34x2
  48. 79y2
  49. 5x4x2y
  50. 3y16x3y2
  51. 12aba5b3
  52. 6a2b9a7b2
  53. 2x38x6
  54. 5x2327x3
  55. 2ab38a4b5
  56. 5a2b327a3b3
Responder

1. 7a

3. xy

5. 6x5x

7. 7aba

9. 3x2y5xy

11. 8rs3t2t

13. x+1

15. 2(3x1)

17. 3xx5y

19. m3m6n2

21. rs22s5t2

23. 3a

25. 5xy32x

27. 4xy2z3

29. 2xy3y

31. abc23ab2

33. 2x3x3y

35. 2rs4t4345r2t

37. 3x

39. 2xy2

41. abc4bc2

43. 2x48x2

45. 2m2n

47. 6x

49. 10x2y

51. 12a3b2ab

53. 4x3

55. 4a2b23ab2

Ejercicio5.2.5

Reescribe lo siguiente como una expresión radical con coeficiente1.

  1. 3x6x
  2. 5y5y
  3. ab10a
  4. 2ab2a
  5. m2nmn
  6. 2m2n33n
  7. 2x33x
  8. 3y3y2
  9. 2y244y
  10. x2y59xy2
Responder

1. 54x3

3. 10a3b2

5. m5n3

7. 324x4

9. 464y9

Ejercicio5.2.6

El periodoT en segundos de un péndulo viene dado por la fórmula

T=2πL32

dondeL representa la longitud en pies del péndulo. Calcular el periodo, dada cada una de las siguientes longitudes. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

  1. 8pies
  2. 32pies
  3. 12pie
  4. 18pie
Responder

1. πsegundos;3.1 segundos

3. \frac { \pi } { 4 }segundos;0.8 segundos

Ejercicio\PageIndex{7}

El tiempot en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula

t = \frac { \sqrt { s } } { 4 }

dondes representa la distancia en pies que ha caído el objeto. Calcula el tiempo que tarda un objeto en caer, dadas cada una de las siguientes distancias. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

  1. 48pies
  2. 80pies
  3. 192pies
  4. 288pies
  5. La velocidad de un vehículo antes de que se aplicaran los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de derrape dejadas en la carretera. En pavimento seco, la velocidadv en millas por hora se puede estimar por la fórmulav = 2 \sqrt { 6 d }, donded representa la longitud de las marcas de derrape en pies. Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos sobre pavimento seco si las marcas de derrape dejadas miden27 pies. Redondear a la milla por hora más cercana.
  6. El radior de una esfera se puede calcular usando la fórmular = \frac { \sqrt [ 3 ] { 6 \pi ^ { 2 } V } } { 2 \pi }, dondeV representa el volumen de la esfera. ¿Cuál es el radio de una esfera si el volumen es de centímetros36π cúbicos?
Responder

1. \sqrt{3}segundos;1.7 segundos

3. 2\sqrt{3}segundos;3.5 segundos

5. 25millas por hora

Ejercicio\PageIndex{8}

Dada la función encontrar ely -intercept

  1. f ( x ) = \sqrt { x + 12 }
  2. f ( x ) = \sqrt { x + 8 } - 3
  3. f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 8 }
  4. f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 27 }
  5. f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 16 }
  6. f ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 3 } - 1
Responder

1. ( 0,2 \sqrt { 3 } )

3. (0,-2)

5. ( 0,2 \sqrt [ 3 ] { 2 } )

Ejercicio\PageIndex{9}

Usa la fórmula de distancia para calcular la distancia entre los dos puntos dados.

  1. (5,-7)y(3,-8)
  2. (-9,7)y(-8,4)
  3. (-3,-4)y(3,-6)
  4. (-5,-2)y(1,-6)
  5. (-1,1)y(-4,10)
  6. (8,-3)y(2,-12)
  7. (0,-6)y(-3,0)
  8. (0,0)y(8,-4)
  9. \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)y\left( - 1 , \frac { 3 } { 2 } \right)
  10. \left( - \frac { 1 } { 3 } , 2 \right) y\left( \frac { 5 } { 3 } , - \frac { 2 } { 3 } \right)
Responder

1. \sqrt{5}unidades

3. 2\sqrt{10}unidades

5. 3\sqrt{10}unidades

7. 3\sqrt{5}unidades

9. \frac{5}{2}unidades

Ejercicio\PageIndex{10}

Determina si los tres puntos forman o no un triángulo rectángulo. Usa el teorema de Pitágoras para justificar tu respuesta.

  1. ( 2 , - 1 ) , ( - 1,2 ) , \text { and } ( 6,3 )
  2. ( - 5,2 ) , ( - 1 , - 2 ) , \text { and } ( - 2,5 )
  3. ( - 5,0 ) , ( 0,3 ) , \text { and } ( 6 , - 1 )
  4. ( - 4 , - 1 ) , ( - 2,5 ) , \text { and } ( 7,2 )
  5. ( 1 , - 2 ) , ( 2,3 ) , \text { and } ( - 3,4 )
  6. ( - 2,1 ) , ( - 1 , - 1 ) , \text { and } ( 1,3 )
  7. ( - 4,0 ) , ( - 2 , - 10 ) , \text { and } ( 3 , - 9 )
  8. ( 0,0 ) , ( 2,4 ) , \text { and } ( - 2,6 )
Responder

1. Triángulo recto

3. No es un triángulo rectángulo

5. Triángulo recto

7. Triángulo recto

Ejercicio\PageIndex{11}

  1. Dar un valor parax tal que\sqrt { x ^ { 2 } } \neq x. Explique por qué es importante asumir que las variables representan números no negativos.
  2. Investigar y discutir los logros de Christoph Rudolff. ¿Por qué se le atribuye?
  3. ¿Qué es un surd y de dónde viene la palabra?
  4. Investigar formas en que los investigadores policiales puedan determinar la velocidad de un vehículo después de que se haya producido un accidente. Comparta sus hallazgos en el panel de discusión.
Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

14 Una expresión algebraica que contiene radicales.

15 Dados dos puntos(x_{1} , y_{1} ) y(x_{2}, y_{2}), calcular la distanciad entre ellos usando la fórmulad=\sqrt { \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { 2 } - y _ { 1 } \right) ^ { 2 } }.


This page titled 5.2: Simplificar expresiones radicales is shared under a CC BY-NC-SA 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Anonymous via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?