7.4: Propiedades del logaritmo

Objetivos de aprendizaje

• Aplicar las propiedades inversas del logaritmo.
• Expandir logaritmos usando el producto, el cociente y la regla de potencia para logaritmos.
• Combina logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente 1.

Logaritmos y sus propiedades inversas

Recordemos la definición del$b$ logaritmo base: dado$b > 0$ donde$b ≠ 1$,

$y=\log _{b} x$si y solo si$x=b^{y}$

Usa esta definición para convertir logaritmos a forma exponencial. Haciendo esto, podemos derivar algunas propiedades:

$\begin{aligned}\log _{b} 1=0 &\text { because } b^{0}=1 \\ \log _{b} b=1 & \text { because } b^{1}=b \\ \log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1 &\text { because } b^{-1}=\frac{1}{b}\end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Evaluar:

1. $\log 1$
2. $\ln e$
3. $\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)$

Solución

1. Cuando la base no está escrita, se supone que es$10$. Este es el logaritmo común, $$\log 1=\log _{10} 1=0 \nonumber$$
2. El logaritmo natural, por definición, tiene base$e$, $$\ln e=\log _{e} e=1 \nonumber$$
3. Porque$5^{-1}=\frac{1}{5}$ tenemos, $$\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)=-1 \nonumber$$

Además, considere las bases fraccionarias de la forma$1/b$ donde$b > 1$.

$\log _{1 / b} b=-1 \quad$porque$\left(\frac{1}{b}\right)^{-1}=\frac{1^{-1}}{b^{-1}}=\frac{b}{1}=b$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Evaluar:

1. $\log _{1 / 4} 4$
2. $\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)$

Solución

1. $\log _{1 / 4} 4=-1 \quad$porque$\quad\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4$
2. $\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)=-1$porque$\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}$

Dada una función exponencial definida por$f (x) = b^{x}$, donde$b > 0$ y$b ≠ 1$, su inverso es el$b$ logaritmo base,$f^{ −1} (x) = log_{b} x$. Y porque$f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ y$f^{-1}(f(x))=x$, tenemos las siguientes propiedades inversas del logaritmo ¹¹:

$f^{-1}(f(x))=\log _{b} b^{x}=x$y
$f\left(f^{-1}(x)\right)=b^{\log _{b} x}=x, x>0$

Ya que$f^{-1}(x)=\log _{b} x$ tiene un dominio que consiste en valores positivos$(0, \infty)$, la propiedad$b^{\log _{b} x}=x$ se restringe a los valores donde$x>0$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Evaluar

1. $\log _{5} 625$
2. $5^{\log _{5} 3}$
3. $e^{\ln 5}$

Solución

Aplicar las propiedades inversas del logaritmo.

1. $\log _{5} 625=\log _{5} 5^{4}=4$
2. $5^{\log _{5} 3}=3$
3. $e^{\ln 5}=5$

En resumen, cuando$b > 0$ y$b ≠ 1$, tenemos las siguientes propiedades:

Mesa$\PageIndex{1}$

$\log _{b} 1=0$	$\log _{b} b=1$
$\log _{1 / b} b=-1$	$\log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1$
$\log _{b} b^{x}=x$	$b^{\log _{b} x}=x, x>0$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Evaluar:$\log 0.00001$

Contestar

$-5$

www.youtube.com/v/yfszxkimctg

Propiedades de producto, cociente y potencia de logaritmos

En esta sección se desarrollan tres propiedades muy importantes del logaritmo. Estas propiedades nos permitirán ampliar nuestra capacidad para resolver muchas más ecuaciones. Comenzamos asignando$u$ y$v$ a los siguientes logaritmos y luego los escribimos en forma exponencial:

$\begin{aligned}\log _{b} x=u\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{u}=x \\ \log _{b} y=v\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{v}=y\end{aligned}$

Sustituir$x = b^{u}$ y$y = b^{v}$ en el logaritmo de un producto$log_{b} (xy)$ y el logaritmo de un$\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)$ cociente.Luego simplificar usando las reglas de exponentes y las propiedades inversas del logaritmo.

Mesa$\PageIndex{2}$

Logaritmo de un Producto	Logaritmo de un cociente
$\begin{aligned} \log _{b}(x y) &=\log _{b}\left(b^{u} b^{v}\right) \\ &=\log _{b} b^{u+v} \\ &=u+v \\ &=\log _{b} x+\log _{b} y \end{aligned}$	$\begin{aligned} \log _{b}\left(\frac{x}{y}\right) &=\log _{b}\left(\frac{b^{u}}{b^{v}}\right) \\ &=\log _{b} b^{u-v} \\ &=u-v \\ &=\log _{b} x-\log _{b} y \end{aligned}$

Esto nos da dos propiedades esenciales: la propiedad producto de logaritmos ¹²,

$\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y$

y el cociente de propiedad de logaritmos ¹³,

$\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y$

En palabras, el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores. De igual manera, el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Escribir como suma$\log _{2}(8 x)$.

Solución

Aplicar la propiedad del producto de logaritmos y luego simplificar.

$\begin{aligned} \log _{2}(8 x) &=\log _{2} 8+\log _{2} x \\[4pt] &=\log _{2} 2^{3}+\log _{2} x \\[4pt] &=3+\log _{2} x \end{aligned}$

Contestar

$$3+\log _{2} x \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Escribir como diferencia$\log \left(\frac{x}{10}\right)$.

Solución

Aplicar la propiedad cociente de logaritmos y luego simplificar.

$\begin{aligned} \log \left(\frac{x}{10}\right) &=\log x-\log 10 \\ &=\log x-1 \end{aligned}$

Contestar

$$\log x-1 \nonumber$$

A continuación comenzamos$log_{b}x = u$ y lo reescribimos en forma exponencial. Después de elevar ambos lados a la potencia$n$ th, convertir de nuevo a la forma logarítmica, y luego volver a sustituir.

$\begin{aligned} \log _{b} x&=u \color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{ b}^{u}=x \\&\left(b^{u}\right)^{n} =(x)^{n} \\ \log_{b}x^{n}&=nu\color{Cerulean}{\Longleftarrow}\color{black}{b}^{nu}=x^{n}\\\log_{b}x^{n}&=n\log_{b}x\end{aligned}$

Esto nos lleva a la propiedad de poder de los logaritmos ¹⁴,

$\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x$

En palabras, el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Escribir como un producto:

1. $\log _{2} x^{4}$
2. $\log _{5}(\sqrt{x})$

Solución

1. Aplicar la propiedad de poder de logaritmos. $$\log _{2} x^{4}=4 \log _{2} x$$
2. Recordemos que una raíz cuadrada se puede expresar utilizando exponentes racionales,$\sqrt{x}=x^{1 / 2}$. Hacer este reemplazo y luego aplicar la propiedad de poder de logaritmos. $\begin{aligned} \log _{5}(\sqrt{x}) &=\log _{5} x^{1 / 2} \\ &=\frac{1}{2} \log _{5} x \end{aligned}$

En resumen,

Mesa$\PageIndex{3}$

Propiedad del producto de logaritmos	$\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y$
Propiedad del cociente de logaritmos	$\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y$
Propiedad de potencia de logaritmos	$\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x$

Podemos usar estas propiedades para expandir logaritmos que involucran productos, cocientes y potencias usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo no se pueden aplicar más.

Precaución

Es importante señalar lo siguiente:

$$\log (x y) \neq \log x \cdot \log y$$

y

$$\log \left(\frac{x}{y}\right) \neq \frac{\log x}{\log y}$$

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Ampliar completamente:$\ln \left(2 x^{3}\right)$.

Solución

Recordemos que el logaritmo natural es una base logaritmo$e$,$\ln x=\log _{e} x$. Por lo tanto, se aplican todas las propiedades del logaritmo.

$\begin{aligned} \ln \left(2 x^{3}\right) &=\ln 2+\ln x^{3}\quad \color{Cerulean} { Product\: rule\: for\: logarithms } \\ &=\ln 2+3 \ln x \quad\color{Cerulean} { Power\: rule\: for\: logarithms } \end{aligned}$

Contestar

$$\ln 2+3 \ln x \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Ampliar completamente:$\log \sqrt[3]{10 x y^{2}}$.

Solución

Comience por reescribir la raíz cubo usando el exponente racional$\frac{1}{3}$ y luego aplique las propiedades del logaritmo.

$\begin{aligned} \log \sqrt[3]{10 x y^{2}} &=\log \left(10 x y^{2}\right)^{1 / 3} \\ &=\frac{1}{3} \log \left(10 x y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(\log 10+\log x+\log y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}(1+\log x+2 \log y) \\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \end{aligned}$

Contestar

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Ampliar completamente:$\log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right)$.

Solución

Al aplicar la propiedad del producto al denominador, tenga cuidado de distribuir el negativo obtenido de aplicar la propiedad del cociente.

$\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right) &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2}(5 y) \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\left(\log _{2} 5+\log _{2} y\right)\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2} 5-\log _{2} y \\ &=2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \end{aligned}$

Contestar

$$2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \nonumber$$

Precaución

No existe una regla que nos permita ampliar el logaritmo de una suma o diferencia. En otras palabras,

$\log (x \pm y) \neq \log x \pm \log y$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Ampliar completamente:$\ln \left(\frac{5 y^{4}}{\sqrt{x}}\right)$

Contestar

$\ln 5+4 \ln y-\frac{1}{2} \ln x$

www.youtube.com/v/h_zu-skatl0

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Dado eso$\log _{2} x=a, \log _{2} y=b$, y eso$\log _{2} z=c$, escribir lo siguiente en términos de$a$,$b$, y$c$:

1. $\log _{2}\left(8 x^{2} y\right)$
2. $\log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right)$

Solución

1. Comience expandiendo usando sumas y coeficientes y luego reemplace$a$ y$b$ con el logaritmo apropiado. $$\begin{aligned} \log _{2}\left(8 x^{2} y\right) &=\log _{2} 8+\log _{2} x^{2}+\log _{2} y \\ &=\log _{2} 8+2 \log _{2} x+\log _{2} y \\ &=3+2 a+b \end{aligned}$$
2. Ampliar y luego reemplazar$a, b$, y$c$ en su caso. $$\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right) &=\log _{2}\left(2 x^{4}\right)-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+\log _{2} x^{4}-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+4 \log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} z \\ &=1+4 a-\frac{1}{2} b \end{aligned}$$

A continuación condensaremos expresiones logarítmicas. Como veremos, es importante poder combinar una expresión que involucre logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente$1$. Este será uno de los primeros pasos a la hora de resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo$\PageIndex{11}$:

Escribir como un logaritmo único con coeficiente$1$:$3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5$.

Solución

Comience reescribiendo todos los términos logarítmicos con coeficiente 1. Usa la regla de poder para hacer esto. Luego use las reglas de producto y cociente para simplificar aún más.

$\begin{aligned} 3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5 &=\left\{\log _{3} x^{3}-\log _{3} y\right\}+\log _{3} 5^{2}\quad\color{Cerulean}{quotient\:property} \\ &=\left\{\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y}\right)+\log _{3} 25\right\} \quad\quad\:\color{Cerulean}{product\:property}\\ &=\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y} \cdot 25\right) \\ &=\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \end{aligned}$

Contestar

$$\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{12}$:

Escribir como un logaritmo único con coeficiente$1$:$\frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z$.

Solución

Comience por escribir los coeficientes de los logaritmos como poderes de su argumento, después de lo cual aplicaremos la regla del cociente dos veces trabajando de izquierda a derecha.

$\begin{aligned} \frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z &=\ln x^{1 / 2}-\ln y^{3}-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}}\right)-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \div z\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \cdot \frac{1}{z}\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3} z}\right) \quad \text { or } \quad=\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3} z}\right) \end{aligned}$

Contestar

$$\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3}z}\right) \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Escribe como un logaritmo único con coeficiente$1$:$3 \log (x+y)-6 \log z+2 \log 5$

Contestar

$\log \left(\frac{25(x+y)^{3}}{z^{6}}\right)$

www.youtube.com/v/o1avbms9au8

Claves para llevar

• Dada cualquier base$b > 0$ y$b ≠ 1$, podemos decir eso$log_{b} 1 = 0$,$log_{b} b = 1$,$log_{1/b} b = −1$ y eso$log_{b} (\frac{1}{b}) = −1$.
• Las propiedades inversas del logaritmo son$log_{b} b^{x} = x$ y$b^{log_{b} x} = x$ dónde$x > 0$.
• La propiedad producto del logaritmo nos permite escribir un producto como suma:$\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y$.
• La propiedad de cociente del logaritmo nos permite escribir un cociente como diferencia:$\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y$.
• La propiedad power del logaritmo nos permite escribir exponentes como coeficientes:$\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x$.
• Dado que el logaritmo natural es un$e$ logaritmo base$\ln x=\log _{e} x$,, todas las propiedades del logaritmo se aplican a él.
• Podemos usar las propiedades del logaritmo para expandir expresiones logarítmicas usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo no se pueden aplicar más.
• Podemos usar las propiedades del logaritmo para combinar expresiones que involucran logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente$1$. Esta es una habilidad esencial que hay que aprender en este capítulo.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Evaluar:

1. $\log _{7} 1$
2. $\log _{1 / 2} 2$
3. $\log 10^{14}$
4. $\log 10^{-23}$
5. $\log _{3} 3^{10}$
6. $\log _{6} 6$
7. $\ln e^{7}$
8. $\ln \left(\frac{1}{e}\right)$
9. $\log _{1 / 2}\left(\frac{1}{2}\right)$
10. $\log _{1 / 5} 5$
11. $\log _{3 / 4}\left(\frac{4}{3}\right)$
12. $\log _{2 / 3} 1$
13. $2^{\log _{2} 100}$
14. $3^{\log _{3} 1}$
15. $10^{\log 18}$
16. $e^{\ln 23}$
17. $e^{\ln x^{2}}$
18. $e^{\ln e^{x}}$

Contestar

1. $0$

3. $14$

5. $10$

7. $7$

9. $1$

11. $−1$

13. $100$

15. $18$

17. $x^{2}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra$a$:

1. $\ln a=1$
2. $\log a=-1$
3. $\log _{9} a=-1$
4. $\log _{12} a=1$
5. $\log _{2} a=5$
6. $\log a=13$
7. $2^{a}=7$
8. $e^{a}=23$
9. $\log _{a} 4^{5}=5$
10. $\log _{a} 10=1$

Contestar

1. $e$

3. $\frac{1}{9}$

5. $2^{5}=32$

7. $\log _{2} 7$

9. $4$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Ampliar completamente.

1. $\log _{4}(x y)$
2. $\log (6 x)$
3. $\log _{3}\left(9 x^{2}\right)$
4. $\log _{2}\left(32 x^{7}\right)$
5. $\ln \left(3 y^{2}\right)$
6. $\log \left(100 x^{2}\right)$
7. $\log _{2}\left(\frac{x}{y^{2}}\right)$
8. $\log _{5}\left(\frac{25}{x}\right)$
9. $\log \left(10 x^{2} y^{3}\right)$
10. $\log _{2}\left(2 x^{4} y^{5}\right)$
11. $\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y z^{2}}\right)$
12. $\log \left(\frac{x}{y^{3} z^{2}}\right)$
13. $\log _{5}\left(\frac{1}{x^{2} y z}\right)$
14. $\log _{4}\left(\frac{1}{16 x^{2} z^{3}}\right)$
15. $\log _{6}\left[36(x+y)^{4}\right]$
16. $\ln \left[e^{4}(x-y)^{3}\right]$
17. $\log _{7}(2 \sqrt{x y})$
18. $\ln (2 x \sqrt{y})$
19. $\log _{3}\left(\frac{x^{2} \sqrt[3]{y}}{z}\right)$
20. $\log \left(\frac{2(x+y)^{3}}{z^{2}}\right)$
21. $\log \left(\frac{100 x^{3}}{(y+10)^{3}}\right)$
22. $\log _{7}\left(\frac{x}{\sqrt[5]{(y+z)^{3}}}\right)$
23. $\log _{5}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{y z^{2}}}\right)$
24. $\log \left(\frac{x^{2}}{\sqrt[5]{y^{3} z^{2}}}\right)$

Contestar

1. $\log _{4} x+\log _{4} y$

3. $2+2 \log _{3} x$

5. $\ln 3+2 \ln y$

7. $\log _{2} x-2 \log _{2} y$

9. $1+2 \log x+3 \log y$

11. $3 \log _{3} x-\log _{3} y-2 \log _{3} z$

13. $-2 \log _{5} x-\log _{5} y-\log _{5} z$

15. $2+4 \log _{6}(x+y)$

17. $\log _{7} 2+\frac{1}{2} \log _{7} x+\frac{1}{2} \log _{7} y$

19. $2 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y-\log _{3} z$

21. $2+3 \log x-3 \log (y+10)$

23. $3 \log _{5} x-\frac{1}{3} \log _{5} y-\frac{2}{3} \log _{5} z$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Dado$\log _{3} x=a, \log _{3} y=b$, y$\log _{3} z=c$, escribir los siguientes logaritmos en términos de$a, b$, y y$c$.

1. $\log _{3}\left(27 x^{2} y^{3} z\right)$
2. $\log _{3}\left(x y^{3} \sqrt{z}\right)$
3. $\log _{3}\left(\frac{9 x^{2} y}{z^{3}}\right)$
4. $\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{y z^{2}}\right)$

Contestar

1. $3+2 a+3 b+c$

3. $2+2 a+b-3 c$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Dado$\log _{b} 2=0.43, \log _{b} 3=0.68$, y$\log _{b} 7=1.21$, calcular lo siguiente. (Pista: Expandir usando sumas, diferencias y cocientes de los factores$2, 3$, y$7$.)

1. $\log _{b} 42$
2. $\log _{b}(36)$
3. $\log _{b}\left(\frac{28}{9}\right)$
4. $\log _{b} \sqrt{21}$

Contestar

1. $2.32$

3. $0.71$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Expandir usando las propiedades del logaritmo y luego aproximar usando una calculadora a la décima más cercana.

1. $\log \left(3.10 \times 10^{25}\right)$
2. $\log \left(1.40 \times 10^{-33}\right)$
3. $\ln \left(6.2 e^{-15}\right)$
4. $\ln \left(1.4 e^{22}\right)$

Contestar

1. $\log (3.1)+25 \approx 25.5$

3. $\ln (6.2)-15 \approx-13.2$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Escribir como un logaritmo único con coeficiente$1$.

1. $\log x+\log y$
2. $\log _{3} x-\log _{3} y$
3. $\log _{2} 5+2 \log _{2} x+\log _{2} y$
4. $\log _{3} 4+3 \log _{3} x+\frac{1}{2} \log _{3} y$
5. $3 \log _{2} x-2 \log _{2} y+\frac{1}{2} \log _{2} z$
6. $4 \log x-\log y-\log 2$
7. $\log 5+3 \log (x+y)$
8. $4 \log _{5}(x+5)+\log _{5} y$
9. $\ln x-6 \ln y+\ln z$
10. $\log _{3} x-2 \log _{3} y+5 \log _{3} z$
11. $7 \log x-\log y-2 \log z$
12. $2 \ln x-3 \ln y-\ln z$
13. $\frac{2}{3} \log _{3} x-\frac{1}{2}\left(\log _{3} y+\log _{3} z\right)$
14. $\frac{1}{5}\left(\log _{7} x+2 \log _{7} y\right)-2 \log _{7}(z+1)$
15. $1+\log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} y$
16. $2-3 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y$
17. $\frac{1}{3} \log _{2} x+\frac{2}{3} \log _{2} y$
18. $-2 \log _{5} x+\frac{3}{5} \log _{5} y$
19. $-\ln 2+2 \ln (x+y)-\ln z$
20. $-3 \ln (x-y)-\ln z+\ln 5$
21. $\frac{1}{3}(\ln x+2 \ln y)-(3 \ln 2+\ln z)$
22. $4 \log 2+\frac{2}{3} \log x-4 \log (y+z)$
23. $\log _{2} 3-2 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} y-4 \log _{2} z$
24. $2 \log _{5} 4-\log _{5} x-3 \log _{5} y+\frac{2}{3} \log _{5} z$

Contestar

1. $\log (x y)$

3. $\log _{2}\left(5 x^{2} y\right)$

5. $\log _{2}\left(\frac{x^{3} \sqrt{z}}{y^{2}}\right)$

7. $\log \left[5(x+y)^{3}\right]$

9. $\ln \left(\frac{x z}{y^{6}}\right)$

11. $\log \left(\frac{x^{7}}{y z^{2}}\right)$

13. $\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y z}}\right)$

15. $\log _{2}\left(\frac{2 x}{\sqrt{y}}\right)$

17. $\log _{2}\left(\sqrt[3]{x y^{2}}\right)$

19. $\ln \left(\frac{(x+y)^{2}}{2 z}\right)$

21. $\ln \left(\frac{\sqrt[3]{x y^{2}}}{8 z}\right)$

23. $\log _{2}\left(\frac{3 \sqrt{y}}{x^{2} z^{4}}\right)$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Expresar como un solo logaritmo y simplificar.

1. $\log (x+1)+\log (x-1)$
2. $\log _{2}(x+2)+\log _{2}(x+1)$
3. $\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)-\ln (x+1)$
4. $\ln \left(x^{2}-9\right)-\ln (x+3)$
5. $\log _{5}\left(x^{3}-8\right)-\log _{5}(x-2)$
6. $\log _{3}\left(x^{3}+1\right)-\log _{3}(x+1)$
7. $\log x+\log (x+5)-\log \left(x^{2}-25\right)$
8. $\log (2 x+1)+\log (x-3)-\log \left(2 x^{2}-5 x-3\right)$

Contestar

1. $\log \left(x^{2}-1\right)$

3. $\ln (x+1)$

5. $\log _{5}\left(x^{2}+2 x+4\right)$

7. $\log \left(\frac{x}{x-5}\right)$

Notas al pie

¹¹ Dado$b > 0$ que tenemos$\log _{b} b^{x}=x$ y$b^{\log _{b} x}=x$ cuándo$x > 0$.

¹²$\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y$; el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores.

¹³$\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y$; el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

¹⁴$\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x$; el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.]