7.4: Propiedades del logaritmo

Objetivos de aprendizaje

• Aplicar las propiedades inversas del logaritmo.
• Expandir logaritmos usando el producto, el cociente y la regla de potencia para logaritmos.
• Combina logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente 1.

Logaritmos y sus propiedades inversas

Recordemos la definición del\(b\) logaritmo base: dado\(b > 0\) donde\(b ≠ 1\),

\(y=\log _{b} x\)si y solo si\(x=b^{y}\)

Usa esta definición para convertir logaritmos a forma exponencial. Haciendo esto, podemos derivar algunas propiedades:

\(\begin{aligned}\log _{b} 1=0 &\text { because } b^{0}=1 \\ \log _{b} b=1 & \text { because } b^{1}=b \\ \log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1 &\text { because } b^{-1}=\frac{1}{b}\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Evaluar:

1. \(\log 1\)
2. \(\ln e\)
3. \(\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)\)

Solución

1. Cuando la base no está escrita, se supone que es\(10\). Este es el logaritmo común,\[\log 1=\log _{10} 1=0 \nonumber\]
2. El logaritmo natural, por definición, tiene base\(e\),\[\ln e=\log _{e} e=1 \nonumber\]
3. Porque\(5^{-1}=\frac{1}{5}\) tenemos,\[\log _{5}\left(\frac{1}{5}\right)=-1 \nonumber\]

Además, considere las bases fraccionarias de la forma\(1/b\) donde\(b > 1\).

\(\log _{1 / b} b=-1 \quad\)porque\(\left(\frac{1}{b}\right)^{-1}=\frac{1^{-1}}{b^{-1}}=\frac{b}{1}=b\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Evaluar:

1. \(\log _{1 / 4} 4\)
2. \(\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)\)

Solución

1. \(\log _{1 / 4} 4=-1 \quad\)porque\(\quad\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4\)
2. \(\log _{2 / 3}\left(\frac{3}{2}\right)=-1\)porque\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}\)

Dada una función exponencial definida por\(f (x) = b^{x}\), donde\(b > 0\) y\(b ≠ 1\), su inverso es el\(b\) logaritmo base,\(f^{ −1} (x) = log_{b} x\). Y porque\(f\left(f^{-1}(x)\right)=x\) y\(f^{-1}(f(x))=x\), tenemos las siguientes propiedades inversas del logaritmo ¹¹:

\(f^{-1}(f(x))=\log _{b} b^{x}=x\)y
\(f\left(f^{-1}(x)\right)=b^{\log _{b} x}=x, x>0\)

Ya que\(f^{-1}(x)=\log _{b} x\) tiene un dominio que consiste en valores positivos\((0, \infty)\), la propiedad\(b^{\log _{b} x}=x\) se restringe a los valores donde\(x>0\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Evaluar

1. \(\log _{5} 625\)
2. \(5^{\log _{5} 3}\)
3. \(e^{\ln 5}\)

Solución

Aplicar las propiedades inversas del logaritmo.

1. \(\log _{5} 625=\log _{5} 5^{4}=4\)
2. \(5^{\log _{5} 3}=3\)
3. \(e^{\ln 5}=5\)

En resumen, cuando\(b > 0\) y\(b ≠ 1\), tenemos las siguientes propiedades:

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(\log _{b} 1=0\)	\(\log _{b} b=1\)
\(\log _{1 / b} b=-1\)	\(\log _{b}\left(\frac{1}{b}\right)=-1\)
\(\log _{b} b^{x}=x\)	\(b^{\log _{b} x}=x, x>0\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Evaluar:\(\log 0.00001\)

Contestar

\(-5\)

www.youtube.com/v/yfszxkimctg

Propiedades de producto, cociente y potencia de logaritmos

En esta sección se desarrollan tres propiedades muy importantes del logaritmo. Estas propiedades nos permitirán ampliar nuestra capacidad para resolver muchas más ecuaciones. Comenzamos asignando\(u\) y\(v\) a los siguientes logaritmos y luego los escribimos en forma exponencial:

\(\begin{aligned}\log _{b} x=u\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{u}=x \\ \log _{b} y=v\color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{b}^{v}=y\end{aligned}\)

Sustituir\(x = b^{u}\) y\(y = b^{v}\) en el logaritmo de un producto\(log_{b} (xy)\) y el logaritmo de un\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)\) cociente.Luego simplificar usando las reglas de exponentes y las propiedades inversas del logaritmo.

Mesa\(\PageIndex{2}\)

Logaritmo de un Producto	Logaritmo de un cociente
\(\begin{aligned} \log _{b}(x y) &=\log _{b}\left(b^{u} b^{v}\right) \\ &=\log _{b} b^{u+v} \\ &=u+v \\ &=\log _{b} x+\log _{b} y \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} \log _{b}\left(\frac{x}{y}\right) &=\log _{b}\left(\frac{b^{u}}{b^{v}}\right) \\ &=\log _{b} b^{u-v} \\ &=u-v \\ &=\log _{b} x-\log _{b} y \end{aligned}\)

Esto nos da dos propiedades esenciales: la propiedad producto de logaritmos ¹²,

\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\)

y el cociente de propiedad de logaritmos ¹³,

\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\)

En palabras, el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores. De igual manera, el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Escribir como suma\(\log _{2}(8 x)\).

Solución

Aplicar la propiedad del producto de logaritmos y luego simplificar.

\(\begin{aligned} \log _{2}(8 x) &=\log _{2} 8+\log _{2} x \\[4pt] &=\log _{2} 2^{3}+\log _{2} x \\[4pt] &=3+\log _{2} x \end{aligned}\)

Contestar

\[3+\log _{2} x \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Escribir como diferencia\(\log \left(\frac{x}{10}\right)\).

Solución

Aplicar la propiedad cociente de logaritmos y luego simplificar.

\(\begin{aligned} \log \left(\frac{x}{10}\right) &=\log x-\log 10 \\ &=\log x-1 \end{aligned}\)

Contestar

\[\log x-1 \nonumber\]

A continuación comenzamos\(log_{b}x = u\) y lo reescribimos en forma exponencial. Después de elevar ambos lados a la potencia\(n\) th, convertir de nuevo a la forma logarítmica, y luego volver a sustituir.

\(\begin{aligned} \log _{b} x&=u \color{Cerulean}{\Longrightarrow}\color{black}{ b}^{u}=x \\&\left(b^{u}\right)^{n} =(x)^{n} \\ \log_{b}x^{n}&=nu\color{Cerulean}{\Longleftarrow}\color{black}{b}^{nu}=x^{n}\\\log_{b}x^{n}&=n\log_{b}x\end{aligned}\)

Esto nos lleva a la propiedad de poder de los logaritmos ¹⁴,

\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\)

En palabras, el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Escribir como un producto:

1. \(\log _{2} x^{4}\)
2. \(\log _{5}(\sqrt{x})\)

Solución

1. Aplicar la propiedad de poder de logaritmos. \[\log _{2} x^{4}=4 \log _{2} x\]
2. Recordemos que una raíz cuadrada se puede expresar utilizando exponentes racionales,\(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\). Hacer este reemplazo y luego aplicar la propiedad de poder de logaritmos. \(\begin{aligned} \log _{5}(\sqrt{x}) &=\log _{5} x^{1 / 2} \\ &=\frac{1}{2} \log _{5} x \end{aligned}\)

En resumen,

Mesa\(\PageIndex{3}\)

Propiedad del producto de logaritmos	\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\)
Propiedad del cociente de logaritmos	\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\)
Propiedad de potencia de logaritmos	\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\)

Podemos usar estas propiedades para expandir logaritmos que involucran productos, cocientes y potencias usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo no se pueden aplicar más.

Precaución

Es importante señalar lo siguiente:

\[\log (x y) \neq \log x \cdot \log y\]

y

\[\log \left(\frac{x}{y}\right) \neq \frac{\log x}{\log y}\]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ampliar completamente:\(\ln \left(2 x^{3}\right)\).

Solución

Recordemos que el logaritmo natural es una base logaritmo\(e\),\(\ln x=\log _{e} x\). Por lo tanto, se aplican todas las propiedades del logaritmo.

\(\begin{aligned} \ln \left(2 x^{3}\right) &=\ln 2+\ln x^{3}\quad \color{Cerulean} { Product\: rule\: for\: logarithms } \\ &=\ln 2+3 \ln x \quad\color{Cerulean} { Power\: rule\: for\: logarithms } \end{aligned}\)

Contestar

\[\ln 2+3 \ln x \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Ampliar completamente:\(\log \sqrt[3]{10 x y^{2}}\).

Solución

Comience por reescribir la raíz cubo usando el exponente racional\(\frac{1}{3}\) y luego aplique las propiedades del logaritmo.

\(\begin{aligned} \log \sqrt[3]{10 x y^{2}} &=\log \left(10 x y^{2}\right)^{1 / 3} \\ &=\frac{1}{3} \log \left(10 x y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(\log 10+\log x+\log y^{2}\right) \\ &=\frac{1}{3}(1+\log x+2 \log y) \\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \end{aligned}\)

Contestar

\[\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \log x+\frac{2}{3} \log y \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Ampliar completamente:\(\log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right)\).

Solución

Al aplicar la propiedad del producto al denominador, tenga cuidado de distribuir el negativo obtenido de aplicar la propiedad del cociente.

\(\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{(x+1)^{2}}{5 y}\right) &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2}(5 y) \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\left(\log _{2} 5+\log _{2} y\right)\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\log _{2}(x+1)^{2}-\log _{2} 5-\log _{2} y \\ &=2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \end{aligned}\)

Contestar

\[2 \log _{2}(x+1)-\log _{2} 5-\log _{2} y \nonumber\]

Precaución

No existe una regla que nos permita ampliar el logaritmo de una suma o diferencia. En otras palabras,

\(\log (x \pm y) \neq \log x \pm \log y\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ampliar completamente:\(\ln \left(\frac{5 y^{4}}{\sqrt{x}}\right)\)

Contestar

\(\ln 5+4 \ln y-\frac{1}{2} \ln x\)

www.youtube.com/v/h_zu-skatl0

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Dado eso\(\log _{2} x=a, \log _{2} y=b\), y eso\(\log _{2} z=c\), escribir lo siguiente en términos de\(a\),\(b\), y\(c\):

1. \(\log _{2}\left(8 x^{2} y\right)\)
2. \(\log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right)\)

Solución

1. Comience expandiendo usando sumas y coeficientes y luego reemplace\(a\) y\(b\) con el logaritmo apropiado. \[\begin{aligned} \log _{2}\left(8 x^{2} y\right) &=\log _{2} 8+\log _{2} x^{2}+\log _{2} y \\ &=\log _{2} 8+2 \log _{2} x+\log _{2} y \\ &=3+2 a+b \end{aligned}\]
2. Ampliar y luego reemplazar\(a, b\), y\(c\) en su caso. \[\begin{aligned} \log _{2}\left(\frac{2 x^{4}}{\sqrt{z}}\right) &=\log _{2}\left(2 x^{4}\right)-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+\log _{2} x^{4}-\log _{2} z^{1 / 2} \\ &=\log _{2} 2+4 \log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} z \\ &=1+4 a-\frac{1}{2} b \end{aligned}\]

A continuación condensaremos expresiones logarítmicas. Como veremos, es importante poder combinar una expresión que involucre logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente\(1\). Este será uno de los primeros pasos a la hora de resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Escribir como un logaritmo único con coeficiente\(1\):\(3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5\).

Solución

Comience reescribiendo todos los términos logarítmicos con coeficiente 1. Usa la regla de poder para hacer esto. Luego use las reglas de producto y cociente para simplificar aún más.

\(\begin{aligned} 3 \log _{3} x-\log _{3} y+2 \log _{3} 5 &=\left\{\log _{3} x^{3}-\log _{3} y\right\}+\log _{3} 5^{2}\quad\color{Cerulean}{quotient\:property} \\ &=\left\{\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y}\right)+\log _{3} 25\right\} \quad\quad\:\color{Cerulean}{product\:property}\\ &=\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y} \cdot 25\right) \\ &=\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \end{aligned}\)

Contestar

\[\log _{3}\left(\frac{25 x^{3}}{y}\right) \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

Escribir como un logaritmo único con coeficiente\(1\):\(\frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z\).

Solución

Comience por escribir los coeficientes de los logaritmos como poderes de su argumento, después de lo cual aplicaremos la regla del cociente dos veces trabajando de izquierda a derecha.

\(\begin{aligned} \frac{1}{2} \ln x-3 \ln y-\ln z &=\ln x^{1 / 2}-\ln y^{3}-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}}\right)-\ln z \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \div z\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3}} \cdot \frac{1}{z}\right) \\ &=\ln \left(\frac{x^{1 / 2}}{y^{3} z}\right) \quad \text { or } \quad=\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3} z}\right) \end{aligned}\)

Contestar

\[\ln \left(\frac{\sqrt{x}}{y^{3}z}\right) \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe como un logaritmo único con coeficiente\(1\):\(3 \log (x+y)-6 \log z+2 \log 5\)

Contestar

\(\log \left(\frac{25(x+y)^{3}}{z^{6}}\right)\)

www.youtube.com/v/o1avbms9au8

Claves para llevar

• Dada cualquier base\(b > 0\) y\(b ≠ 1\), podemos decir eso\(log_{b} 1 = 0\),\(log_{b} b = 1\),\(log_{1/b} b = −1\) y eso\(log_{b} (\frac{1}{b}) = −1\).
• Las propiedades inversas del logaritmo son\(log_{b} b^{x} = x\) y\(b^{log_{b} x} = x\) dónde\(x > 0\).
• La propiedad producto del logaritmo nos permite escribir un producto como suma:\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\).
• La propiedad de cociente del logaritmo nos permite escribir un cociente como diferencia:\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\).
• La propiedad power del logaritmo nos permite escribir exponentes como coeficientes:\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\).
• Dado que el logaritmo natural es un\(e\) logaritmo base\(\ln x=\log _{e} x\),, todas las propiedades del logaritmo se aplican a él.
• Podemos usar las propiedades del logaritmo para expandir expresiones logarítmicas usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo no se pueden aplicar más.
• Podemos usar las propiedades del logaritmo para combinar expresiones que involucran logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente\(1\). Esta es una habilidad esencial que hay que aprender en este capítulo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Evaluar:

1. \(\log _{7} 1\)
2. \(\log _{1 / 2} 2\)
3. \(\log 10^{14}\)
4. \(\log 10^{-23}\)
5. \(\log _{3} 3^{10}\)
6. \(\log _{6} 6\)
7. \(\ln e^{7}\)
8. \(\ln \left(\frac{1}{e}\right)\)
9. \(\log _{1 / 2}\left(\frac{1}{2}\right)\)
10. \(\log _{1 / 5} 5\)
11. \(\log _{3 / 4}\left(\frac{4}{3}\right)\)
12. \(\log _{2 / 3} 1\)
13. \(2^{\log _{2} 100}\)
14. \(3^{\log _{3} 1}\)
15. \(10^{\log 18}\)
16. \(e^{\ln 23}\)
17. \(e^{\ln x^{2}}\)
18. \(e^{\ln e^{x}}\)

Contestar

1. \(0\)

3. \(14\)

5. \(10\)

7. \(7\)

9. \(1\)

11. \(−1\)

13. \(100\)

15. \(18\)

17. \(x^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra\(a\):

1. \(\ln a=1\)
2. \(\log a=-1\)
3. \(\log _{9} a=-1\)
4. \(\log _{12} a=1\)
5. \(\log _{2} a=5\)
6. \(\log a=13\)
7. \(2^{a}=7\)
8. \(e^{a}=23\)
9. \(\log _{a} 4^{5}=5\)
10. \(\log _{a} 10=1\)

Contestar

1. \(e\)

3. \(\frac{1}{9}\)

5. \(2^{5}=32\)

7. \(\log _{2} 7\)

9. \(4\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Ampliar completamente.

1. \(\log _{4}(x y)\)
2. \(\log (6 x)\)
3. \(\log _{3}\left(9 x^{2}\right)\)
4. \(\log _{2}\left(32 x^{7}\right)\)
5. \(\ln \left(3 y^{2}\right)\)
6. \(\log \left(100 x^{2}\right)\)
7. \(\log _{2}\left(\frac{x}{y^{2}}\right)\)
8. \(\log _{5}\left(\frac{25}{x}\right)\)
9. \(\log \left(10 x^{2} y^{3}\right)\)
10. \(\log _{2}\left(2 x^{4} y^{5}\right)\)
11. \(\log _{3}\left(\frac{x^{3}}{y z^{2}}\right)\)
12. \(\log \left(\frac{x}{y^{3} z^{2}}\right)\)
13. \(\log _{5}\left(\frac{1}{x^{2} y z}\right)\)
14. \(\log _{4}\left(\frac{1}{16 x^{2} z^{3}}\right)\)
15. \(\log _{6}\left[36(x+y)^{4}\right]\)
16. \(\ln \left[e^{4}(x-y)^{3}\right]\)
17. \(\log _{7}(2 \sqrt{x y})\)
18. \(\ln (2 x \sqrt{y})\)
19. \(\log _{3}\left(\frac{x^{2} \sqrt[3]{y}}{z}\right)\)
20. \(\log \left(\frac{2(x+y)^{3}}{z^{2}}\right)\)
21. \(\log \left(\frac{100 x^{3}}{(y+10)^{3}}\right)\)
22. \(\log _{7}\left(\frac{x}{\sqrt[5]{(y+z)^{3}}}\right)\)
23. \(\log _{5}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{y z^{2}}}\right)\)
24. \(\log \left(\frac{x^{2}}{\sqrt[5]{y^{3} z^{2}}}\right)\)

Contestar

1. \(\log _{4} x+\log _{4} y\)

3. \(2+2 \log _{3} x\)

5. \(\ln 3+2 \ln y\)

7. \(\log _{2} x-2 \log _{2} y\)

9. \(1+2 \log x+3 \log y\)

11. \(3 \log _{3} x-\log _{3} y-2 \log _{3} z\)

13. \(-2 \log _{5} x-\log _{5} y-\log _{5} z\)

15. \(2+4 \log _{6}(x+y)\)

17. \(\log _{7} 2+\frac{1}{2} \log _{7} x+\frac{1}{2} \log _{7} y\)

19. \(2 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y-\log _{3} z\)

21. \(2+3 \log x-3 \log (y+10)\)

23. \(3 \log _{5} x-\frac{1}{3} \log _{5} y-\frac{2}{3} \log _{5} z\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dado\(\log _{3} x=a, \log _{3} y=b\), y\(\log _{3} z=c\), escribir los siguientes logaritmos en términos de\(a, b\), y y\(c\).

1. \(\log _{3}\left(27 x^{2} y^{3} z\right)\)
2. \(\log _{3}\left(x y^{3} \sqrt{z}\right)\)
3. \(\log _{3}\left(\frac{9 x^{2} y}{z^{3}}\right)\)
4. \(\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{y z^{2}}\right)\)

Contestar

1. \(3+2 a+3 b+c\)

3. \(2+2 a+b-3 c\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dado\(\log _{b} 2=0.43, \log _{b} 3=0.68\), y\(\log _{b} 7=1.21\), calcular lo siguiente. (Pista: Expandir usando sumas, diferencias y cocientes de los factores\(2, 3\), y\(7\).)

1. \(\log _{b} 42\)
2. \(\log _{b}(36)\)
3. \(\log _{b}\left(\frac{28}{9}\right)\)
4. \(\log _{b} \sqrt{21}\)

Contestar

1. \(2.32\)

3. \(0.71\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Expandir usando las propiedades del logaritmo y luego aproximar usando una calculadora a la décima más cercana.

1. \(\log \left(3.10 \times 10^{25}\right)\)
2. \(\log \left(1.40 \times 10^{-33}\right)\)
3. \(\ln \left(6.2 e^{-15}\right)\)
4. \(\ln \left(1.4 e^{22}\right)\)

Contestar

1. \(\log (3.1)+25 \approx 25.5\)

3. \(\ln (6.2)-15 \approx-13.2\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Escribir como un logaritmo único con coeficiente\(1\).

1. \(\log x+\log y\)
2. \(\log _{3} x-\log _{3} y\)
3. \(\log _{2} 5+2 \log _{2} x+\log _{2} y\)
4. \(\log _{3} 4+3 \log _{3} x+\frac{1}{2} \log _{3} y\)
5. \(3 \log _{2} x-2 \log _{2} y+\frac{1}{2} \log _{2} z\)
6. \(4 \log x-\log y-\log 2\)
7. \(\log 5+3 \log (x+y)\)
8. \(4 \log _{5}(x+5)+\log _{5} y\)
9. \(\ln x-6 \ln y+\ln z\)
10. \(\log _{3} x-2 \log _{3} y+5 \log _{3} z\)
11. \(7 \log x-\log y-2 \log z\)
12. \(2 \ln x-3 \ln y-\ln z\)
13. \(\frac{2}{3} \log _{3} x-\frac{1}{2}\left(\log _{3} y+\log _{3} z\right)\)
14. \(\frac{1}{5}\left(\log _{7} x+2 \log _{7} y\right)-2 \log _{7}(z+1)\)
15. \(1+\log _{2} x-\frac{1}{2} \log _{2} y\)
16. \(2-3 \log _{3} x+\frac{1}{3} \log _{3} y\)
17. \(\frac{1}{3} \log _{2} x+\frac{2}{3} \log _{2} y\)
18. \(-2 \log _{5} x+\frac{3}{5} \log _{5} y\)
19. \(-\ln 2+2 \ln (x+y)-\ln z\)
20. \(-3 \ln (x-y)-\ln z+\ln 5\)
21. \(\frac{1}{3}(\ln x+2 \ln y)-(3 \ln 2+\ln z)\)
22. \(4 \log 2+\frac{2}{3} \log x-4 \log (y+z)\)
23. \(\log _{2} 3-2 \log _{2} x+\frac{1}{2} \log _{2} y-4 \log _{2} z\)
24. \(2 \log _{5} 4-\log _{5} x-3 \log _{5} y+\frac{2}{3} \log _{5} z\)

Contestar

1. \(\log (x y)\)

3. \(\log _{2}\left(5 x^{2} y\right)\)

5. \(\log _{2}\left(\frac{x^{3} \sqrt{z}}{y^{2}}\right)\)

7. \(\log \left[5(x+y)^{3}\right]\)

9. \(\ln \left(\frac{x z}{y^{6}}\right)\)

11. \(\log \left(\frac{x^{7}}{y z^{2}}\right)\)

13. \(\log _{3}\left(\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{y z}}\right)\)

15. \(\log _{2}\left(\frac{2 x}{\sqrt{y}}\right)\)

17. \(\log _{2}\left(\sqrt[3]{x y^{2}}\right)\)

19. \(\ln \left(\frac{(x+y)^{2}}{2 z}\right)\)

21. \(\ln \left(\frac{\sqrt[3]{x y^{2}}}{8 z}\right)\)

23. \(\log _{2}\left(\frac{3 \sqrt{y}}{x^{2} z^{4}}\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Expresar como un solo logaritmo y simplificar.

1. \(\log (x+1)+\log (x-1)\)
2. \(\log _{2}(x+2)+\log _{2}(x+1)\)
3. \(\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)-\ln (x+1)\)
4. \(\ln \left(x^{2}-9\right)-\ln (x+3)\)
5. \(\log _{5}\left(x^{3}-8\right)-\log _{5}(x-2)\)
6. \(\log _{3}\left(x^{3}+1\right)-\log _{3}(x+1)\)
7. \(\log x+\log (x+5)-\log \left(x^{2}-25\right)\)
8. \(\log (2 x+1)+\log (x-3)-\log \left(2 x^{2}-5 x-3\right)\)

Contestar

1. \(\log \left(x^{2}-1\right)\)

3. \(\ln (x+1)\)

5. \(\log _{5}\left(x^{2}+2 x+4\right)\)

7. \(\log \left(\frac{x}{x-5}\right)\)

Notas al pie

¹¹ Dado\(b > 0\) que tenemos\(\log _{b} b^{x}=x\) y\(b^{\log _{b} x}=x\) cuándo\(x > 0\).

¹²\(\log _{b}(x y)=\log _{b} x+\log _{b} y\); el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores.

¹³\(\log _{b}\left(\frac{x}{y}\right)=\log _{b} x-\log _{b} y\); el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

¹⁴\(\log _{b} x^{n}=n \log _{b} x\); el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.]