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1.2: Clases Básicas de Funciones

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular la pendiente de una función lineal e interpretar su significado.
  • Reconocer el grado de un polinomio.
  • Encontrar las raíces de un polinomio cuadrático.
  • Describir las gráficas de funciones polinómicas pares e impares básicas.
  • Identificar una función racional.
  • Describir las gráficas de poder y funciones raíz.
  • Explicar la diferencia entre funciones algebraicas y trascendentales.
  • Grafique una función definida por partes.
  • Esboce la gráfica de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su posición inicial de gráfico.

Hemos estudiado las características generales de las funciones, así que ahora examinemos algunas clases específicas de funciones. Comenzamos revisando las propiedades básicas de las funciones lineales y cuadráticas, y luego generalizamos para incluir polinomios de mayor grado. Al combinar funciones raíz con polinomios, podemos definir funciones algebraicas generales y distinguirlas de las funciones trascendentales que examinamos más adelante en este capítulo. Terminamos la sección con ejemplos de funciones definidas por partes y echamos un vistazo a cómo esbozar la gráfica de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su forma inicial.

Funciones lineales y pendiente

El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal. Las funciones lineales tienen la formaf(x)=ax+b, dondea yb son constantes. En la Figura1.2.1, vemos ejemplos de funciones lineales cuando a es positivo, negativo y cero. Tenga en cuenta que sia>0, la gráfica de la línea se eleva a medida quex aumenta. En otras palabras,f(x)=ax+b está aumentando en(,). Sia<0, la gráfica de la línea cae a medida quex aumenta. En este caso,f(x)=ax+b está disminuyendo el(,). Sia=0, la línea es horizontal.

Una imagen de una gráfica. El eje y va de -2 a 5 y el eje x va de -2 a 5. La gráfica es de las 3 funciones. La primera función es “f (x) = 3x + 1”, que es una línea recta creciente con una intersección x en ((-1/3), 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es “g (x) = 2”, que es una línea horizontal con una intersección y en (0, 2) y sin intersección x. La tercera función es “h (x) = (-1/2) x”, que es una línea recta decreciente con una intercepción x e intercepción y ambas en el origen. La función f (x) está aumentando a una tasa mayor que la función h (x) está disminuyendo.
Figura1.2.1: Estas funciones lineales están aumentando o disminuyendo(,) y una función es una línea horizontal.

Como sugiere la Figura1.2.1, la gráfica de cualquier función lineal es una línea. Una de las características distintivas de una línea es su pendiente. La pendiente es el cambio eny para cada cambio de unidad enx. La pendiente mide tanto la inclinación como la dirección de una línea. Si la pendiente es positiva, la línea apunta hacia arriba cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, la línea apunta hacia abajo cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es cero, la línea es horizontal. Para calcular la pendiente de una línea, necesitamos determinar la relación del cambio eny versus el cambio enx. Para ello, elegimos dos puntos cualquiera(x1,y1) y(x2,y2) en la línea y calculamosy2y1x2x1. En la Figura1.2.2, vemos que esta relación es independiente de los puntos elegidos.

Una imagen de una gráfica. El eje y va de -1 a 10 y el eje x va de -1 a 6. La gráfica es de una función que es una línea recta creciente. Hay cuatro puntos etiquetados en la función en (1, 1), (2, 3), (3, 5) y (5, 9). Hay una línea horizontal punteada desde el punto de función etiquetado (1, 1) hasta el punto no etiquetado (3, 1) que no está en la función, y luego una línea vertical punteada desde el punto no etiquetado (3, 1), que no está en la función, hasta el punto de función etiquetado (3, 5). Estos dos punteados tienen la etiqueta “(y2 - y1)/(x2 - x1) = (5 -1)/(3 - 1) = 2”. Hay una línea horizontal punteada desde el punto de función etiquetado (2, 3) hasta el punto no etiquetado (5, 3) que no está en la función, y luego una línea vertical punteada desde el punto no etiquetado (5, 3), que no está en la función, hasta el punto de función etiquetado (5, 9). Estos dos punteados tienen la etiqueta “(y2 - y1)/(x2 - x1) = (9 -3)/(5 - 2) = 2”.
Figura1.2.2: Para cualquier función lineal, la pendiente(y2y1)/(x2x1) es independiente de la elección de los puntos(x1,y1) y(x2,y2) en la línea.
Definición: Pendiente de una función lineal

Considere elL paso de línea por puntos(x1,y1) y(x2,y2). DejarΔy=y_2−y_1 yΔx=x_2−x_1 denotar los cambios eny yx, respectivamente. La pendiente de la línea es

m=\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1}=\dfrac{Δy}{Δx} \nonumber

Ahora examinamos la relación entre pendiente y la fórmula para una función lineal. Considera la función lineal dada por la fórmulaf(x)=ax+b. Como se discutió anteriormente, sabemos que la gráfica de una función lineal viene dada por una línea. Podemos usar nuestra definición de pendiente para calcular la pendiente de esta línea. Como se muestra, podemos determinar la pendiente calculando(y_2−y_1)/(x_2−x_1) para cualquier punto(x_1,y_1) y(x_2,y_2) en la línea. Evaluando la funciónf enx=0, vemos que(0,b) es un punto en esta línea. Evaluando esta función enx=1, vemos que también(1,a+b) es un punto en esta línea. Por lo tanto, la pendiente de esta línea es

\dfrac{(a+b)−b}{1−0}=a. \nonumber

Hemos demostrado que el coeficientea es la pendiente de la línea. Podemos concluir que la fórmulaf(x)=ax+b describe una línea con pendientea. Además, debido a que esta línea cruza ely eje -eje en el punto(0,b), vemos que lay -intercepción para esta función lineal es(0,b). Concluimos que la fórmula nosf(x)=ax+b dice la pendiente,a, y lay -intercepción,(0,b), para esta línea. Como a menudo usamos el símbolom para denotar la pendiente de una línea, podemos escribir

\underbrace{f(x)=mx+b}_{\text{slope-intercept form}} \nonumber

para denotar la forma pendiente-intercepción de una función lineal.

A veces es conveniente expresar una función lineal de diferentes maneras. Por ejemplo, supongamos que la gráfica de una función lineal pasa por el punto(x_1,y_1) y la pendiente de la línea esm. Dado que cualquier otro punto(x,f(x)) en la gráfica def debe satisfacer la ecuación

m=\dfrac{f(x)−y_1}{x−x_1}, \nonumber

esta función lineal se puede expresar escribiendo

\underbrace{f(x)−y_1=m(x−x_1)}_{\text{point-slope equation}}. \nonumber

Llamamos a esta ecuación la ecuación de punto-pendiente para esa función lineal.

Dado que cada línea no vertical es la gráfica de una función lineal, los puntos en una línea no vertical se pueden describir usando las ecuaciones de pendiente-intersección o punto-pendiente. Sin embargo, una línea vertical no representa la gráfica de una función y no puede expresarse en ninguna de estas formas. En cambio, una línea vertical es descrita por la ecuaciónx=k para alguna constantek. Como ni la forma pendiente-intersección ni la forma punto-pendiente permiten líneas verticales, usamos la notación

\underbrace{ax+by=c}_{\text{standard form}}, \nonumber

donde ambos noa,b son cero, para denotar la forma estándar de una línea.

Definición: Ecuación de Punto-Pendiente, Forma de Inclinación-Intercepción y Forma Estándar de la Ecuación de una Línea

Considera una línea que pasa por el punto(x_1,y_1) con pendientem. La ecuación

y−y_1=m(x−x_1) \nonumber

es la ecuación de punto-pendiente para esa línea.

Considerar una línea con pendientem ey -interceptar(0,b). La ecuación

y=mx+b \nonumber

es una ecuación para esa línea en forma de pendiente-intercepción.

La forma estándar de una línea viene dada por la ecuación

ax+by=c, \nonumber

dondea y ambos nob son cero. Esta forma es más general porque permite una línea vertical,x=k.

Ejemplo\PageIndex{1}: Finding the Slope and Equations of Lines

Considera la línea que pasa por los puntos(11,−4) y(−4,5), como se muestra en la Figura\PageIndex{3}.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -5 a 12 y el eje y va de -5 a 6. El gráfico es de la función que es una línea recta decreciente. La función tiene dos puntos trazados, en (-4, 5) y (11, 4).
Figura\PageIndex{3}: Encontrar la ecuación de una función lineal con una gráfica que es una línea entre dos puntos dados.
  1. Encuentra la pendiente de la línea.
  2. Encuentra una ecuación para esta función lineal en forma de punto-pendiente.
  3. Encuentra una ecuación para esta función lineal en forma de pendiente-intercepción.

Solución

1. La pendiente de la línea es

m=\dfrac{y_2−y_1}{x_2−x_1}=\dfrac{5−(−4)}{−4−11}=−\dfrac{9}{15}=−\dfrac{3}{5}. \nonumber

2. Para encontrar una ecuación para la función lineal en forma de punto-pendiente, utilice la pendientem=−3/5 y elija cualquier punto de la línea. Si elegimos el punto(11,−4), obtenemos la ecuación

f(x)+4=−\dfrac{3}{5}(x−11). \nonumber

3. Para encontrar una ecuación para la función lineal en forma pendiente-intersección, resuelva la ecuación en la parte b. paraf(x). Cuando hacemos esto, obtenemos la ecuación

f(x)=−\dfrac{3}{5}x+\dfrac{13}{5}. \nonumber

Ejercicio\PageIndex{1}

Considera la línea que pasa por puntos(−3,2) y(1,4).

  1. Encuentra la pendiente de la línea.
  2. Encuentra una ecuación de esa línea en forma de punto-pendiente.
  3. Encuentra una ecuación de esa línea en forma de pendiente-intercepción.
Pista

La pendientem=Δy/Δx.

Contestar a

m=1/2.

Respuesta b

La forma punto-pendiente esy−4=\dfrac{1}{2}(x−1).

Respuesta c

La forma pendiente-intercepción esy=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}.

Ejemplo\PageIndex{2}:

Jessica sale de su casa a las 5:50 a.m. y va a correr de 9 millas. Ella regresa a su casa a las 7:08 a.m. Responde las siguientes preguntas, asumiendo que Jessica corre a un ritmo constante.

  1. Describir la distanciaD (en millas) que Jessica recorre como una función lineal de su tiempo de ejecuciónt (en minutos).
  2. Esbozar una gráfica deD.
  3. Interpretar el significado de la pendiente.

Solución

a. en su momentot=0, Jessica está en su casa, entoncesD(0)=0. A tiempot=78 minutos, Jessica ha terminado de correr9 mi, entoncesD(78)=9. La pendiente de la función lineal es

m=\dfrac{9−0}{78−0}=\dfrac{3}{26}.\nonumber

Ely -intercept es(0,0), así que la ecuación para esta función lineal es

D(t)=\dfrac{3}{26}t. \nonumber

b. para graficarD, utilizar el hecho de que la gráfica pasa por el origen y tiene pendientem=3/26.

Una imagen de una gráfica. El eje y está etiquetado como “y, distancia en millas”. El eje x está etiquetado como “t, tiempo en minutos”. El gráfico es de la función “D (t) = 3t/26”, que es una línea recta creciente que comienza en el origen. La función termina en el punto trazado (78, 9).

c. La pendientem=3/26≈0.115 describe la distancia (en millas) que Jessica recorre por minuto, o su velocidad promedio.

Polinomios

Una función lineal es un tipo especial de una clase de funciones más general: polinomios. Una función polinómica es cualquier función que se pueda escribir en la forma

f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_1x+a_0 \nonumber

para algunos enterosn≥0 y constantesa_n,a_{n−1},…,a_0, dondea_n≠0. En el caso cuandon=0, permitimosa_0=0; sia_0=0, la funciónf(x)=0 se llama la función cero. El valorn se llama el grado del polinomio; la constantea_n se llama el coeficiente principal. Una función lineal de la formaf(x)=mx+b es un polinomio de grado 1 sim≠0 y grado 0 sim=0. Un polinomio de grado 0 también se llama función constante. Una función polinómica de grado 2 se denomina función cuadrática. En particular, una función cuadrática tiene la forma

f(x)=ax^2+bx+c, \nonumber

dondea≠0. Una función polinómica de grado3 se llama función cúbica.

Funciones de alimentación

Algunas funciones polinómicas son funciones de potencia. Una función de potencia es cualquier función de la formaf(x)=ax^b, dondea yb son los números reales. El exponente en una función de potencia puede ser cualquier número real, pero aquí consideramos el caso cuando el exponente es un entero positivo. (Consideramos otros casos más adelante.) Si el exponente es un entero positivo, entoncesf(x)=ax^n es un polinomio. Sin es par, entoncesf(x)=ax^n es una función par porquef(−x)=a(−x)^n=ax^n sin es par. Sin es impar, entoncesf(x)=ax^n es una función impar porquef(−x)=a(−x)^n=−ax^n ifn es impar (Figura\PageIndex{4}).

Una imagen de dos gráficas. Ambas gráficas tienen un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -6 a 7. La primera gráfica está etiquetada como “a” y es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x a la 4ta”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = x cuadrado”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen, pero aumenta y disminuye a un ritmo más lento que la primera función. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x a la 5ta”, que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve pareja en el origen, y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = x en cubos”, que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve pareja en el origen, y luego vuelve a aumentar después del origen, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura\PageIndex{4}: (a) Para cualquier entero parn,f(x)=ax^n es una función par. (b) Para cualquier entero imparn,f(x)=ax^n es una función impar.

Comportamiento en el Infinito

Para determinar el comportamiento de una función af medida que las entradas se acercan al infinito, observamos los valoresf(x) como las entradas,x, se hacen más grandes. Para algunas funciones, los valores def(x) acercarse a un número finito. Por ejemplo, para la funciónf(x)=2+1/x, los valores1/x se acercan cada vez más a cero para todos los valores de ax medida que se hacen cada vez más grandes. Para esta función, decimos “f(x)se acerca a dos comox va al infinito”, y escribimosf(x)→2 comox→∞. La líneay=2 es una asíntota horizontal para la funciónf(x)=2+1/x porque la gráfica de la función se acerca a la línea a medida quex se hace más grande.

Para otras funciones, esf(x) posible que los valores no se acerquen a un número finito, sino que se hagan más grandes para todos los valores de ax medida que se hacen mayores. En ese caso, decimos “f(x)se acerca al infinito comox se acerca al infinito”, y escribimosf(x)→∞ comox→∞. Por ejemplo, para la funciónf(x)=3x^2, las salidasf(x) se hacen más grandes a medida que las entradas sex hacen más grandes. Podemos concluir que la función sef(x)=3x^2 acerca al infinito comox se acerca al infinito, y escribimos3x^2→∞ comox→∞. El comportamiento comox→−∞ y el significado def(x)→−∞ comox→∞ ox→−∞ puede definirse de manera similar. Podemos describir lo que sucede con los valores def(x) comox→∞ yx→−∞ como el comportamiento final de la función.

Para entender el comportamiento final de las funciones polinómicas, podemos enfocarnos en funciones cuadráticas y cúbicas. El comportamiento de polinomios de mayor grado se puede analizar de manera similar. Considera una función cuadráticaf(x)=ax^2+bx+c. Sia>0, los valoresf(x)→∞ comox→±∞. Sia<0, los valoresf(x)→−∞ comox→±∞. Dado que la gráfica de una función cuadrática es una parábola, la parábola se abre hacia arriba sia>0.; la parábola se abre hacia abajo sia<0 (Figura\PageIndex{5a}).

Consideremos ahora una función cúbicaf(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Sia>0, entoncesf(x)→∞ comox→∞ yf(x)→−∞ comox→−∞. Sia<0, entoncesf(x)→−∞ comox→∞ yf(x)→∞ comox→−∞. Como podemos ver en ambas gráficas, el término principal del polinomio determina el comportamiento final (Figura\PageIndex{5b}).

Una imagen de dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene un eje x que va de -4 a 5 y un eje y que va de -4 a 6. La gráfica contiene dos funciones. La primera función es “f (x) = - (x cuadrado) - 4x -4”, que es una parábola. La función aumenta hasta alcanzar el máximo en el punto (-2, 0) y luego comienza a disminuir. La intercepción x está en (-2, 0) y la intercepción y está en (0, -4). La segunda función es “f (x) = 2 (x cuadrado) -12x + 16”, que es una parábola. La función disminuye hasta alcanzar el punto mínimo en (3, -2) y luego comienza a aumentar. Las intercepciones x están en (2, 0) y (4, 0) y no se muestra la intercepción y. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y tiene un eje x que va de -4 a 3 y un eje y que va de -4 a 6. La gráfica contiene dos funciones. La primera función es “f (x) = - (x en cubos) - 3 (x al cuadrado) + x + 3”. La gráfica disminuye hasta el punto aproximado en (-2.2, -3.1), luego aumenta hasta el punto aproximado en (0.2, 3.1), luego comienza a disminuir nuevamente. Las intercepciones x están en (-3, 0), (-1, 0) y (1, 0). La intercepción y está en (0, 3). La segunda función es “f (x) = (x cúbico) -3 (x cuadrado) + 3x - 1”. Se trata de una función curva que aumenta hasta el punto (1, 0), donde se nivela. Después de este punto, la función comienza a aumentar de nuevo. Tiene una intercepción x en (1, 0) y una intercepción y en (0, -1).
Figura\PageIndex{5}: (a) Para una función cuadrática, si el coeficiente iniciala>0, la parábola se abre hacia arriba. Sia<0, la parábola se abre hacia abajo. (b) Para una función cúbicaf, si el coeficiente principala>0, los valoresf(x)→∞ asx→∞ y los valoresf(x)→−∞ asx→−∞. Si el coeficiente principala<0, lo contrario es cierto.

Ceros de funciones polinómicas

Otra característica de la gráfica de una función polinómica es donde se cruza con elx eje -eje. Para determinar dónde una funciónf se cruza con elx eje -eje, necesitamos resolver la ecuaciónf(x)=0 parax. En el caso de la función linealf(x)=mx+b, lax -intercepción se da resolviendo la ecuaciónmx+b=0. En este caso, vemos que lax -intercepción viene dada por(−b/m,0). En el caso de una función cuadrática, encontrar la (s)x intersección (s) requiere encontrar los ceros de una ecuación cuadrática:ax^2+bx+c=0. En algunos casos, es fácil factorizar el polinomioax^2+bx+c para encontrar los ceros. Si no, hacemos uso de la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática

Considerar la ecuación cuadrática

ax^2+bx+c=0, \nonumber

dondea≠0. Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por la fórmula cuadrática

x=\dfrac{−b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}. \label{quad}

Si el discriminanteb^2−4ac>0, la Ecuación\ ref {quad} nos dice que hay dos números reales que satisfacen la ecuación cuadrática. Sib^2−4ac=0, esta fórmula nos dice que sólo hay una solución, y es un número real. Sib^2−4ac<0, ningún número real satisface la ecuación cuadrática.

En el caso de polinomios de mayor grado, puede ser más complicado determinar dónde la gráfica se cruza con elx eje -eje. En algunos casos, es posible encontrar lasx -intercepciones factorizando el polinomio para encontrar sus ceros. En otros casos, es imposible calcular los valores exactos de lasx -intercepciones. Sin embargo, como vemos más adelante en el texto, en casos como este, podemos utilizar herramientas analíticas para aproximar (en un grado muy alto) dónde se encuentran lasx -intercepciones. Aquí nos enfocamos en las gráficas de polinomios para los cuales podemos calcular sus ceros explícitamente.

Ejemplo\PageIndex{3}: Graphing Polynomial Functions

Para las siguientes funciones,

  1. f(x)=−2x^2+4x−1
  2. f(x)=x^3−3x^2−4x
  1. describir el comportamiento def(x) comox→±∞,
  2. encontrar todos los ceros def, y
  3. bosquejar una gráfica def.

Solución

1. La funciónf(x)=−2x^2+4x−1 es una función cuadrática.

1. Porquea=−2<0, comox→±∞,f(x)→−∞.

2. Para encontrar los ceros def, usa la fórmula cuadrática. Los ceros son

x=\dfrac{−4±\sqrt{4^2−4(−2)(−1)}}{2(−2)}=\dfrac{−4±\sqrt{8}}{−4}=\dfrac{−4±2\sqrt{2}}{−4}=\dfrac{2±\sqrt{2}}{2}.

3. Para bosquejar la gráfica def, usa la información de tus respuestas anteriores y combínala con el hecho de que la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -2 a 5 y el eje y va de -8 a 2. El gráfico es de la función “f (x) = -2 (x cuadrado) + 4x - 1”, que es una parábola. La función aumenta hasta el punto máximo en (1, 1) y luego disminuye. Ambos puntos de intercepción x se trazan en la función, aproximadamente a (0.2929, 0) y (1.7071, 0). La intercepción y está en el punto (0, -1).

2. La funciónf(x)=x^3−3x^2−4x es una función cúbica.

1. Porquea=1>0, comox→∞,f(x)→∞. Comox→−∞,f(x)→−∞.

2. Para encontrar los ceros def, necesitamos factorial el polinomio. Primero, cuando tenemosx en cuenta todos los términos, encontramos

f(x)=x(x^2−3x−4).

Entonces, cuando facteamos la función cuadráticax^2−3x−4, encontramos

f(x)=x(x−4)(x+1).

Por lo tanto, los ceros def sonx=0,4,−1.

3. Combinando los resultados de las partes i. y ii., dibujar un boceto aproximado def.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -2 a 5 y el eje y va de -14 a 7. La gráfica es de la función curva “f (x) = (x cúbico) - 3 (x cuadrado) - 4x”. La función aumenta hasta el punto aproximado en (-0.5, 1.1), luego disminuye hasta el punto aproximado (2.5, -13.1), luego comienza a aumentar nuevamente. Los puntos de intercepción x se trazan en la función, en (-1, 0), (0, 0) y (4, 0). La intercepción y está en el origen.

Ejercicio\PageIndex{2}

Considera la función cuadráticaf(x)=3x^2−6x+2. Encuentra los ceros def. ¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

Pista

Usa la fórmula cuadrática.

Contestar

Los ceros sonx=1±\sqrt{3}/3. La parábola se abre hacia arriba.

Modelos matemáticos

Una gran variedad de situaciones del mundo real se pueden describir utilizando modelos matemáticos. Un modelo matemático es un método para simular situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para desarrollar ecuaciones, funciones, gráficas y otras herramientas matemáticas para describir el comportamiento de varios sistemas con precisión. Los modelos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Ejemplos de modelos matemáticos incluyen el estudio de la dinámica poblacional, investigaciones de patrones climáticos y predicciones de ventas de productos.

Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría utilizar para describir sus ingresos por la venta de un artículo en particular. El monto de ingresos que recibeR una empresa por la venta den artículos vendidos a un precio dep dólares por artículo se describe en la ecuaciónR=p⋅n. A la compañía le interesa cómo cambian las ventas a medida que cambia el precio del artículo. Supongamos que los datos de la Tabla\PageIndex{1} muestran el número de unidades que una empresa vende en función del precio por artículo.

Tabla\PageIndex{1}: Número de unidades vendidasn (en miles) en función del precio por unidadp (en dólares)
p 6 8 10 12 14
n 19.4 18.5 16.2 13.8 12.2

En la Figura\PageIndex{6}, vemos en la gráfica el número de unidades vendidas (en miles) en función del precio (en dólares). Observamos a partir de la forma de la gráfica que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse estrechamente por la función linealn= −1.04p+26 para0≤p≤25, donden predice el número de unidades vendidas en miles. Usando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden ser estimados por la función cuadrática

R(p)=p⋅ (−1.04p+26)=−1.04p^2+26p \text{ for }0≤p≤25. \nonumber

En Ejemplo\PageIndex{4}, utilizamos esta función cuadrática para predecir la cantidad de ingresos que recibe la compañía dependiendo del precio que cobra la compañía por artículo. Tenga en cuenta que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas por valores dep, para los cuales no se recogen datos. Sin embargo, dados los otros valores de datos y la gráfica mostrada, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado esp dólares pueda estar cerca de los valores pronosticados por la función linealn=−1.04p+26.

Una imagen de una gráfica. El eje y va de 0 a 28 y está etiquetado como “n, unidades vendidas en miles”. El eje x va del 0 al 28 y está etiquetado como “p, precio en dólares”. El gráfico es de la función “n = -1.04p + 26”, que es una función de línea decreciente que comienza en el punto de intersección y (0, 26). Hay 5 puntos trazados en la gráfica en (6, 19.4), (8, 18.5), (10, 16.2), (12, 13.8) y (14, 12.2). Los puntos no están en la gráfica de la línea de función, sino que están muy cerca de ella. La función tiene una intercepción x en el punto (25, 0).
Figura\PageIndex{6}: Los datos recopilados para el número de artículos vendidos en función del precio son aproximadamente lineales. Utilizamos la función linealn=−1.04p+26 para estimar esta función.
Ejemplo\PageIndex{4}: Maximizing Revenue

Una empresa está interesada en predecir la cantidad de ingresos que recibirá dependiendo del precio que cobre por un artículo en particular. Utilizando los datos de Table\PageIndex{1}, la compañía llega a la siguiente función cuadrática para modelarR los ingresos en función del precio por artículop:

R(p)=p⋅(−1.04p+26)=−1.04p^2+26p \nonumber

para0≤p≤25.

  1. Predecir los ingresos si la compañía vende el artículo a un precio dep=$5 yp=$17.
  2. Encuentra los ceros de esta función e interpreta el significado de los ceros.
  3. Esbozar una gráfica deR.
  4. Utilice la gráfica para determinar el valor dep que maximiza los ingresos. Encuentra los ingresos máximos.

Solución

a. Evaluando la función de ingresos enp=5 yp=17, podemos concluir que

R(5)=−1.04(5)^2+26(5)=104,\text{ so revenue}=$104,000;

R(17)=−1.04(17)^2+26(17)=141.44,\text{ so revenue}=$141,440.

b. Los ceros de esta función se pueden encontrar resolviendo la ecuación−1.04p^2+26p=0. Cuando facetamos la expresión cuadrática, obtenemosp(−1.04p+26)=0. Las soluciones a esta ecuación vienen dadas porp=0,25. Para estos valores dep, los ingresos son cero. Cuandop=$0, los ingresos son cero porque la empresa está regalando su mercancía de forma gratuita. Cuandop=$25, los ingresos son cero porque el precio es demasiado alto, y nadie va a comprar ningún artículo.

c. Sabiendo que la función es cuadrática, también sabemos que la gráfica es una parábola. Dado que el coeficiente principal es negativo, la parábola se abre a la baja. Una propiedad de las parábolas es que son simétricas alrededor del eje de simetría, por lo que dado que los ceros están enp=0 yp=25, la parábola debe ser simétrica alrededor de la línea a medio camino entre ellos, op=12.5.

Una imagen de una gráfica. El eje y va de 0 a 170 y está etiquetado como “R, ingresos en miles de dólares”. El eje x va del 0 al 28 y está etiquetado como “p, precio en dólares”. El gráfico es de la función “n = -1.04 (p al cuadrado) + 26p”, que es una parábola que inicia en el origen. La función aumenta hasta el punto máximo en (12.5, 162.5) y luego comienza a disminuir. La función tiene x intercepciones en el origen y el punto (25, 0). La intercepción y está en el origen.

d. La función es una parábola con ceros ap=0 yp=25, y es simétrica respecto a la líneap=12.5, por lo que el ingreso máximo se produce a un precio dep=$12.50 por artículo. A ese precio, los ingresos sonR(p)=−1.04(12.5)^2+26(12.5)=$162,500.

Funciones algebraicas

Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en funciones polinómicas, creamos una clase más grande de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, poderes racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz.

Así como los números racionales son cocientes de enteros, las funciones racionales son cocientes de polinomios. En particular, una función racional es cualquier función de la formaf(x)=p(x)/q(x), dondep(x) yq(x) son polinomios. Por ejemplo,

f(x)=\dfrac{3x−1}{5x+2}yg(x)=\dfrac{4}{x^2+1}

son funciones racionales. Una función raíz es una función de potencia de la formaf(x)=x^{1/n}, donden es un entero positivo mayor que uno. Por ejemplo,f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x} es la función de raíz cuadrada yg(x)=x^{1/3}=\sqrt[3]{x} es la función de raíz cúbica. Al permitir composiciones de funciones raíz y funciones racionales, podemos crear otras funciones algebraicas. Por ejemplo,f(x)=\sqrt{4−x^2} es una función algebraica.

Ejemplo\PageIndex{5}: Finding Domain and Range for Algebraic Functions

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango.

  1. f(x)=\dfrac{3x−1}{5x+2}
  2. f(x)=\sqrt{4−x^2}

Solución

1. No es posible dividir por cero, por lo que el dominio es el conjunto de números realesx tales quex≠−2/5. Para encontrar el rango, necesitamos encontrar los valoresy para los que existe un número realx tal que

y=\dfrac{3x−1}{5x+2}

Cuando multiplicamos ambos lados de esta ecuación por5x+2, vemos quex debe satisfacer la ecuación

5xy+2y=3x−1.

A partir de esta ecuación, podemos ver quex debe satisfacer

2y+1=x(3−5y).

Si y=3/5, esta ecuación no tiene solución. Por otra parte, siempre y cuandoy≠3/5,

x=\dfrac{2y+1}{3−5y}

satisface esta ecuación. Podemos concluir que el rango def es\{y\,|\,y≠3/5\}.

2. Para encontrar el dominio def, necesitamos4−x^2≥0. Cuando facetamos, escribimos4−x^2=(2−x)(2+x)≥0. Esta desigualdad se mantiene si y sólo si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos. Para que ambos términos sean positivos, necesitamos encontrarx tal que

2−x≥0y2+x≥0.

Estas dos desigualdades se reducen a2≥x yx≥−2. Por lo tanto, el conjunto\{x\,|\,−2≤x≤2\} debe ser parte del dominio. Para que ambos términos sean negativos, necesitamos

2−x≤0y2+x\le 0.

Estas dos desigualdades también reducen a2≤x yx\le −2. No hay valores dex que satisfagan ambas desigualdades. Así, podemos concluir que el dominio de esta función es\{x\,|\,−2≤x≤2\}.

Si−2≤x≤2, entonces0≤4−x^2≤4. Por lo tanto0≤\sqrt{4−x2}≤2,, y el rango def es\{y\,|\,0≤y≤2\}.

Ejercicio\PageIndex{3}

Encuentra el dominio y el rango para la funciónf(x)=(5x+2)/(2x−1).

Pista

El denominador no puede ser cero. Resuelve la ecuacióny=(5x+2)/(2x−1)x para encontrar el rango.

Responder

El dominio es el conjunto de números realesx tales quex≠1/2. El rango es el conjunto\{y\,|\,y≠5/2\}.

Las funciones raízf(x)=x^{1/n} tienen características definitorias dependiendo de sin es impar o par. Para todos los enteros paresn≥2, el dominio def(x)=x^{1/n} es el intervalo[0,∞). Para todos los enteros imparesn≥1, el dominio def(x)=x^{1/n} es el conjunto de todos los números reales. Dado quex^{1/n}=(−x)^{1/n} para los enteros imparesn,f(x)=x^{1/n} es una función impar sin es impar. Consulte las gráficas de funciones raíz para diferentes valores den en la Figura\PageIndex{7}.

Una imagen de dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene un eje x que va de -2 a 9 y un eje y que va de -4 a 4. La primera gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = raíz cuadrada de x”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta. La segunda función es “f (x) = x a la 4ta raíz”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y tiene un eje x que va de -8 a 8 y un eje y que va de -4 a 4. La segunda gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = raíz cúbica de x”, que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve vertical en el origen, y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = x a la quinta raíz”, que es una función curva que aumenta hasta el origen, se vuelve vertical en el origen, y luego aumenta nuevamente después del origen, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura\PageIndex{7}: (a) Sin es par, el dominio def(x)=\sqrt[n]{x} is[0,∞). (b) Sin es impar, el dominio def(x)=\sqrt[n]{x} is(−∞,∞) y la funciónf(x)=\sqrt[n]{x} es una función impar.
Ejemplo\PageIndex{6}: Finding Domains for Algebraic Functions

Para cada una de las siguientes funciones, determinar el dominio de la función.

  1. f(x)=\dfrac{3}{x^2−1}
  2. f(x)=\dfrac{2x+5}{3x^2+4}
  3. f(x)=\sqrt{4−3x}
  4. f(x)=\sqrt[3]{2x−1}

Solución

  1. No se puede dividir por cero, por lo que el dominio es el conjunto de valoresx tales quex^2−1≠0. Por lo tanto, el dominio es\{x\,|\,x≠±1\}.
  2. Es necesario determinar los valores dex para los cuales el denominador es cero. Ya que3x^2+4≥4 para todos los números realesx, el denominador nunca es cero. Por lo tanto, el dominio es(−∞,∞).
  3. Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, el dominio es el conjunto de valoresx para los cuales4−3x≥0. Por lo tanto, el dominio es\{x\,|\,x≤4/3\}.
  4. La raíz cúbica se define para todos los números reales, por lo que el dominio es el intervalo(−∞, ∞).
Ejercicio\PageIndex{4}

Encuentra el dominio para cada una de las siguientes funciones:f(x)=(5−2x)/(x^2+2) yg(x)=\sqrt{5x−1}.

Pista

Determinar los valores dex cuando la expresión en el denominador def es distinta de cero, y encontrar los valores dex cuando la expresión dentro del radical de nog es negativa.

Responder

El dominio def es(−∞, ∞). El dominio deg es\{x\,|\,x≥1/5\}.

Funciones trascendentales

Hasta el momento, hemos discutido las funciones algebraicas. Algunas funciones, sin embargo, no pueden ser descritas por operaciones algebraicas básicas. Estas funciones son conocidas como funciones trascendentales porque se dice que “trascienden”, o van más allá, del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Una función trigonométrica relaciona las proporciones de dos lados de un triángulo rectángulo. Ellos son\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x,\text{ and }\csc x. (Se discuten las funciones trigonométricas más adelante en el capítulo.) Una función exponencial es una función de la formaf(x)=b^x, donde la baseb>0,\, b≠1. Una función logarítmica es una función de la formaf(x)=\log_b(x) para alguna constanteb>0,\,b≠1, donde\log_b(x)=y si y solo sib^y=x. (También discutimos las funciones exponenciales y logarítmicas más adelante en el capítulo.)

Ejemplo\PageIndex{7}: Classifying Algebraic and Transcendental Functions

Clasificar cada una de las siguientes funciones, a. a c., como algebraicas o trascendentales.

  1. f(x)=\dfrac{\sqrt{x^3+1}}{4x+2}
  2. f(x)=2^{x^2}
  3. f(x)=\sin(2x)

Solución

  1. Dado que esta función implica únicamente operaciones algebraicas básicas, es una función algebraica.
  2. Esta función no puede escribirse como una fórmula que involucra únicamente operaciones algebraicas básicas, por lo que es trascendental. (Tenga en cuenta que las funciones algebraicas solo pueden tener poderes que son números racionales.)
  3. Al igual que en la parte b, esta función no puede escribirse usando una fórmula que involucre únicamente operaciones algebraicas básicas; por lo tanto, esta función es trascendental.
Ejercicio\PageIndex{5}:

¿Esf(x)=x/2 una función algebraica o trascendental?

Responder

Algebraico

Funciones definidas por piezas

A veces una función se define por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Una función con esta propiedad se conoce como una función definida por partes. La función de valor absoluto es un ejemplo de una función definida por partes porque la fórmula cambia con el signo dex:

f(x)=\begin{cases}−x, & \text{if } x<0\\x, & \text{if } x≥0\end{cases}. \nonumber

Otras funciones definidas por partes pueden ser representadas por fórmulas completamente diferentes, dependiendo de la parte del dominio en la que caiga un punto. Para graficar una función definida por partes, graficamos cada parte de la función en su respectivo dominio, en el mismo sistema de coordenadas. Si la fórmula para una función es diferente parax<a yx>a, debemos prestar especial atención a lo que sucedex=a cuando graficamos la función. A veces la gráfica necesita incluir un círculo abierto o cerrado para indicar el valor de la función atx=a. Esto lo examinamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\PageIndex{8}: Graphing a Piecewise-Defined Function

Esboce un gráfico de la siguiente función definida por partes:

f(x)=\begin{cases}x+3, & \text{if } x<1\\(x−2)^2, & \text{if } x≥1\end{cases} \nonumber

Solución

Grafica la función linealy=x+3 en el intervalo(−∞,1) y grafica la función cuadráticay=(x−2)^2 en el intervalo[1,∞). Ya que el valor de la función atx=1 viene dado por la fórmulaf(x)=(x−2)^2, vemos esof(1)=1. Para indicarlo en la gráfica, dibujamos un círculo cerrado en el punto(1,1). El valor de la función viene dado porf(x)=x+3 para todosx<1, pero no enx=1. Para indicarlo en la gráfica, dibujamos un círculo abierto en(1,4).

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -7 a 5 y el eje y va de -4 a 6. La gráfica es de una función que tiene dos piezas. La primera pieza es una línea creciente que termina en el punto del círculo abierto (1, 4) y tiene la etiqueta “f (x) = x + 3, para x < 1”. La segunda pieza es parabólica y comienza en el punto de círculo cerrado (1, 1). Después del punto (1, 1), la pieza comienza a disminuir hasta que el punto (2, 0) luego comienza a aumentar. Esta pieza tiene la etiqueta “f (x) = (x - 2) al cuadrado, para x = 1” .La función tiene x intercepta en (-3, 0) y (2, 0) y una intersección y en (0, 3)." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...5976625651.png">
Figura\PageIndex{8}: Esta función definida por partes es lineal parax<1 y cuadrática parax≥1.

2) Esbozar un gráfico de la función

f(x)=\begin{cases}2−x, & \text{if } x≤2\\x+2, & \text{if } x>2\end{cases}.

Solución:

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -6 a 5 y el eje y va de -2 a 7. La gráfica es de una función que tiene dos piezas. La primera pieza es una línea decreciente que termina en el punto del círculo cerrado (2, 0) y tiene la etiqueta “f (x) = 2 - x, para x <= 2. La segunda pieza es una línea creciente y comienza en el punto del círculo abierto (2, 4) y tiene la etiqueta “f (x) = x + 2, para x 2.La función tiene una intercepción x en (2, 0) y una intercepción y en (0, 2)." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...8509006001.png">

Ejemplo\PageIndex{9}: Parking Fees Described by a Piecewise-Defined Function

En una gran ciudad, a los conductores se les cobran tarifas variables por estacionar en una cochera de estacionamiento. Se les cobra $10 por la primera hora o cualquier parte de la primera hora y $2 adicionales por cada hora o parte de la misma hasta un máximo de $30 por día. El garaje de estacionamiento está abierto de 6 a.m. a 12 de la medianoche.

  1. Escriba una función definida por partes que describa el costoC para estacionar en el estacionamiento en función de las horas estacionadasx.
  2. Esbozar un gráfico de esta funciónC(x).

Solución

1.Dado que la cochera de estacionamiento está abierta 18 horas todos los días, el dominio para esta función es\{x\,|\,0<x≤18\}. El costo para estacionar un automóvil en este estacionamiento se puede describir por partes por la función

C(x)=\begin{cases}10, & \text{for } 0<x≤1\\12, & \text{for } 1<x≤2\\14, & \text{for } 2<x≤3\\16, & \text{for } 3<x≤4\\ ⋮\\30, & \text{for } 10<x≤18\end{cases}. \nonumber

2.La gráfica de la función consta de varios segmentos de línea horizontales.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de 0 a 18 y está etiquetado como “x, horas”. El eje y va de 0 a 32 y está etiquetado como “y, costo en dólares”. La función consta de 11 piezas, todos segmentos de línea horizontales que comienzan con un círculo abierto y terminan con un círculo cerrado. La primera pieza comienza en x = 0 y termina en x = 1 y está en y = 10. La segunda pieza comienza en x = 1 y termina en x = 2 y está en y = 12. La tercera pieza comienza en x = 2 y termina en x = 3 y está en y = 14. La cuarta pieza comienza en x = 3 y termina en x = 4 y está en y = 16. La quinta pieza comienza en x = 4 y termina en x = 5 y está en y = 18. La sexta pieza comienza en x = 5 y termina en x = 6 y está en y = 20. La séptima pieza comienza en x = 6 y termina en x = 7 y está en y = 22. La octava pieza comienza en x = 7 y termina en x = 8 y está en y = 24. La novena pieza comienza en x = 8 y termina en x = 9 y está en y = 26. La décima pieza comienza en x = 9 y termina en x = 10 y está en y = 28. La undécima pieza comienza en x = 10 y termina en x = 18 y está en y = 30.

Ejercicio\PageIndex{6}

El costo de enviar una carta es una función del peso de la carta. Supongamos que el costo de enviar una carta es49¢ por la primera onza y21¢ por cada onza adicional. Escribir una función definida por partes describiendo el costoC como una función del pesox para0<x≤3, dondeC se mide en centavos yx se mide en onzas.

Pista

La función definida por partes es constante en los intervalos(0,1],\,(1,2],\,….

Responder

C(x)=\begin{cases}49, 0<x≤1\\70, 1<x≤2\\91, 2<x≤3\end{cases} \nonumber

Transformaciones de funciones

Hemos visto varios casos en los que hemos sumado, restado o multiplicado constantes para formar variaciones de funciones simples. En el ejemplo anterior, por ejemplo, restamos 2 del argumento de la funcióny=x^2 para obtener la funciónf(x)=(x−2)^2. Esta resta representa un desplazamiento de la funcióny=x^2 dos unidades hacia la derecha. Un desplazamiento, horizontal o verticalmente, es un tipo de transformación de una función. Otras transformaciones incluyen escalados horizontales y verticales, y reflexiones sobre los ejes.

Se produce un desplazamiento vertical de una función si sumamos o restamos la misma constante a cada saliday. Parac>0, la gráfica def(x)+c es un desplazamiento de la gráfica dec unidadesf(x) ascendentes, mientras que la gráfica def(x)−c es un desplazamiento de la gráfica dec unidadesf(x) descendentes. Por ejemplo, la gráfica de la funciónf(x)=x^3+4 es la gráfica de4 unidadesy=x^3 desplazadas hacia arriba; la gráfica de la funciónf(x)=x^3−4 es la gráfica de4 unidadesy=x^3 desplazadas hacia abajo (Figura\PageIndex{9}).

Una imagen de dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -1 a 10. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cuadrado”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = (x cuadrado) + 4”, que es una parábola que disminuye hasta el punto (0, 4) y luego vuelve a aumentar después del origen. Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplaza hacia arriba 4 unidades. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -5 a 6. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cuadrado”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = (x al cuadrado) - 4”, que es una parábola que disminuye hasta el punto (0, -4) y luego vuelve a aumentar después del origen. Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplaza hacia abajo 4 unidades.
Figura\PageIndex{9}: (a) Parac>0, la gráfica dey=f(x)+c es un desplazamiento vertical hacia arribac unidades de la gráfica dey=f(x). (b) Parac>0, la gráfica dey=f(x)−c es un desplazamiento vertical hacia abajo c unidades de la gráfica dey=f(x).

Se produce un desplazamiento horizontal de una función si sumamos o restamos la misma constante a cada entradax. Parac>0, la gráfica def(x+c) es un desplazamiento de la gráfica def(x) a lasc unidades de la izquierda; la gráfica def(x−c) es un desplazamiento de la gráfica def(x) a lasc unidades de la derecha. ¿Por qué la gráfica se desplaza a la izquierda cuando se suma una constante y se desplaza a la derecha al restar una constante? Para responder a esta pregunta, veamos un ejemplo.

Considere la funciónf(x)=|x+3| y evalúe esta función enx−3. Desdef(x−3)=|x| yx−3<x, la gráfica def(x)=|x+3| es la gráfica de3 unidadesy=|x| desplazadas a la izquierda. De igual manera, la gráfica def(x)=|x−3| es la gráfica de3 unidadesy=|x| desplazadas a la derecha (Figura\PageIndex{10}).

Una imagen de dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene un eje x que va de -8 a 5 y un eje y que va de -3 a 5. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = valor absoluto de x”, que disminuye en línea recta hasta el origen y luego aumenta en línea recta nuevamente después del origen. La segunda función es “f (x) = valor absoluto de (x + 3)”, que disminuye en línea recta hasta el punto (-3, 0) y luego aumenta en línea recta nuevamente después del punto (-3, 0). Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplaza a la izquierda 3 unidades. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y tiene un eje x que va de -5 a 8 y un eje y que va de -3 a 5. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = valor absoluto de x”, que disminuye en línea recta hasta el origen y luego aumenta en línea recta nuevamente después del origen. La segunda función es “f (x) = valor absoluto de (x - 3)”, que disminuye en línea recta hasta el punto (3, 0) y luego aumenta en línea recta nuevamente después del punto (3, 0). Las dos funciones tienen la misma forma, pero la segunda función se desplaza a la derecha 3 unidades.
Figura\PageIndex{10}: (a) Parac>0, la gráfica dey=f(x+c) es un desplazamiento horizontal a la izquierdac unidades de la gráfica dey=f(x). (b) Parac>0, la gráfica dey=f(x−c) es un desplazamiento horizontal a la derechac unidades de la gráfica dey=f(x).

Un escalado vertical de una gráfica ocurre si multiplicamos todas las salidasy de una función por la misma constante positiva. Parac>0, la gráfica de la funcióncf(x) es la gráfica def(x) escalado verticalmente por un factor dec. Sic>1, los valores de las salidas para la funcióncf(x) son mayores que los valores de las salidas para la funciónf(x); por lo tanto, la gráfica se ha estirado verticalmente. Si0<c<1, entonces las salidas de la funcióncf(x) son más pequeñas, por lo que la gráfica ha sido comprimida. Por ejemplo, la gráfica de la funciónf(x)=3x^2 es la gráfica dey=x^2 estirada verticalmente por un factor de 3, mientras que la gráfica def(x)=x^2/3 es la gráfica dey=x^2 comprimida verticalmente por un factor de3 (Figura\PageIndex{11b}).

Una imagen de dos gráficas. La primera gráfica está etiquetada como “a” y tiene un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -2 a 9. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cuadrado”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = 3 (x cuadrado)”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen, pero se estira verticalmente y así aumenta a un ritmo más rápido que la primera función. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y tiene un eje x que va de -4 a 4 y un eje y que va de -2 a 9. La gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cuadrado”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen. La segunda función es “f (x) = (1/3) (x cuadrado)”, que es una parábola que disminuye hasta el origen y luego vuelve a aumentar después del origen, pero se comprime verticalmente y así aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura\PageIndex{11}: (a) Sic>1, la gráfica dey=cf(x) es un estiramiento vertical de la gráfica dey=f(x). (b) Si0<c<1, la gráfica dey=cf(x) es una compresión vertical de la gráfica dey=f(x).

El escalado horizontal de una función ocurre si multiplicamos las entradasx por la misma constante positiva. Parac>0, la gráfica de la funciónf(cx) es la gráfica def(x) escalado horizontalmente por un factor dec. Sic>1, la gráfica def(cx) es la gráfica def(x) comprimida horizontalmente. Si0<c<1, la gráfica def(cx) es la gráfica def(x) estirada horizontalmente. Por ejemplo, considere la funciónf(x)=\sqrt{2x} y evalúef enx/2. Ya quef(x/2)=\sqrt{x}, la gráfica def(x)=\sqrt{2x} es la gráfica dey=\sqrt{x} comprimida horizontalmente. La gráfica dey=\sqrt{x/2} es un tramo horizontal de la gráfica dey=\sqrt{x} (Figura\PageIndex{12}).

Una imagen de dos gráficas. Ambas gráficas tienen un eje x que va de -2 a 4 y un eje y que va de -2 a 5. La primera gráfica está etiquetada como “a” y es de dos funciones. La primera gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = raíz cuadrada de x”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta. La segunda función es “f (x) = raíz cuadrada de 2x”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero aumenta a un ritmo más rápido que la primera función. La segunda gráfica está etiquetada como “b” y es de dos funciones. La primera función es “f (x) = raíz cuadrada de x”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta. La segunda función es “f (x) = raíz cuadrada de (x/2)”, que es una función curva que comienza en el origen y aumenta, pero aumenta a un ritmo más lento que la primera función.
Figura\PageIndex{12}: (a) Sic>1, la gráfica dey=f(cx) es una compresión horizontal de la gráfica dey=f(x). (b) Si0<c<1, la gráfica dey=f(cx) es un tramo horizontal de la gráfica dey=f(x).

Hemos explorado lo que sucede con la gráfica de una funciónf cuando multiplicamosf por una constantec>0 para obtener una nueva funcióncf(x). También hemos discutido qué sucede con la gráfica de una funciónf cuando multiplicamos la variable independientex porc>0 para obtener una nueva funciónf(cx). Sin embargo, no hemos abordado lo que le sucede a la gráfica de la función si la constantec es negativa. Si tenemos una constantec<0, podemos escribirc como un número positivo multiplicado por−1; pero, qué tipo de transformación obtenemos cuando multiplicamos la función o su argumento por−1? Cuando multiplicamos todas las salidas por−1, obtenemos una reflexión sobre elx eje -eje. Cuando multiplicamos todas las entradas por−1, obtenemos una reflexión sobre ely eje -eje. Por ejemplo, la gráfica def(x)=−(x^3+1) es la gráfica dey=(x^3+1) reflejada alrededor delx eje -. La gráfica def(x)=(−x)^3+1 es la gráfica dey=x^3+1 reflejada alrededor dely eje -( Figura\PageIndex{13}).

Una imagen de dos gráficas. Ambas gráficas tienen un eje x que va de -3 a 3 y un eje y que va de -5 a 6. La primera gráfica está etiquetada como “a” y es de dos funciones. La primera gráfica es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cubo + 1”, que es una función creciente curvada que tiene una intercepción x en (-1, 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es “f (x) = - (x cubed + 1)”, que es una función decreciente curva que tiene una intercepción x en (-1, 0) y una intersección y en (0, -1). La segunda gráfica está etiquetada como “b” y es de dos funciones. La primera función es “f (x) = x cubo + 1”, que es una función creciente curvada que tiene una intercepción x en (-1, 0) y una intersección y en (0, 1). La segunda función es “f (x) = (-x) en cubos + 1”, que es una función decreciente curva que tiene una intercepción x en (1, 0) y una intersección y en (0, 1). La primera función aumenta a la misma velocidad que la segunda función disminuye para los mismos valores de x.
Figura\PageIndex{13}: (a) La gráfica dey=−f(x) es la gráfica dey=f(x) reflejado alrededor delx eje. (b) La gráfica dey=f(−x) es la gráfica dey=f(x) reflejada alrededor dely eje.

Si la gráfica de una función consiste en más de una transformación de otra gráfica, es importante transformar la gráfica en el orden correcto. Dada una funciónf(x), la gráfica de la función relacionada sey=cf(a(x+b))+d puede obtener a partir de la gráfica dey=f(x) realizando las transformaciones en el siguiente orden.

  • Desplazamiento horizontal de la gráfica dey=f(x). Sib>0, desplace a la izquierda. Sib<0 desplace a la derecha.
  • Escalado horizontal de la gráfica dey=f(x+b) por un factor de|a|. Sia<0, refleje la gráfica sobre ely eje -eje.
  • Escalado vertical de la gráfica dey=f(a(x+b)) por un factor de|c|. Sic<0, refleje la gráfica sobre elx eje -eje.
  • Desplazamiento vertical de la gráfica dey=cf(a(x+b)). Sid>0, cambiar hacia arriba. Sid<0, cambiar hacia abajo.

Podemos resumir las diferentes transformaciones y sus efectos relacionados en la gráfica de una función en la siguiente tabla.

Transformación def (c>0) Efecto de la gráfica def
\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">f(x)+c \ (f\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; "c>Unidades de desplazamiento vertical hacia arriba
\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">f(x)-c \ (f\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; "c>Unidades de desplazamiento vertical hacia abajo
\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">f(x+c) \ (f\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">Desplazar a la izquierda porc unidades
\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">f(x-c) \ (f\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">Desplazar a la derecha porc unidades
\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">cf(x) \ (f\)” style="vertical-align:middle; ">

Estiramiento vertical sic>1;

compresión vertical si0<c<1

\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">f(cx) \ (f\)” style="vertical-align:middle; ">

Estiramiento horizontal si0<c<1;

compresión horizontal sic>1

\ (f (c>0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">-f(x) \ (f\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">Reflexión sobre elx eje
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Ejemplo\PageIndex{10}: Transforming a Function

Para cada una de las siguientes funciones, a. y b., esbozar una gráfica utilizando una secuencia de transformaciones de una función bien conocida.

  1. f(x)=−|x+2|−3
  2. f(x)=\sqrt[3]{x}+1

Solución

1.Comenzando con la gráfica dey=|x|, desplaza2 las unidades hacia la izquierda, reflexiona sobre elx eje y luego desplaza3 las unidades hacia abajo.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -7 a 7 y un eje y va de -7 a 7. La gráfica contiene cuatro funciones. La primera función es “f (x) = valor absoluto de x” y se etiqueta como función de inicio. Disminuye en línea recta hasta el origen y luego aumenta en línea recta nuevamente después del origen. La segunda función es “f (x) = valor absoluto de (x + 2)”, que disminuye en línea recta hasta el punto (-2, 0) y luego aumenta en línea recta nuevamente después del punto (-2, 0). La segunda función tiene la misma forma que la primera función, pero se desplaza a la izquierda 2 unidades. La tercera función es “f (x) = - (valor absoluto de (x + 2))”, que aumenta en línea recta hasta el punto (-2, 0) y luego disminuye en línea recta nuevamente después del punto (-2, 0). La tercera función es la segunda función reflejada alrededor del eje x. La cuarta función es “f (x) = - (valor absoluto de (x + 2)) - 3” y se etiqueta como “función transformada”. Aumenta en línea recta hasta el punto (-2, -3) y luego disminuye en línea recta nuevamente después del punto (-2, -3). La cuarta función es la tercera función desplazada hacia abajo 3 unidades.
Figura\PageIndex{14}: La funciónf(x)=−|x+2|−3 puede ser vista como una secuencia de tres transformaciones de la funcióny=|x|.

2. Comenzando con la gráfica dey=sqrt{x}, reflejar alrededor dely eje -eje, estirar la gráfica verticalmente por un factor de 3, y mover hacia arriba 1 unidad.

Una imagen de una gráfica. El eje x va de -7 a 7 y un eje y va de -2 a 10. La gráfica contiene cuatro funciones. La primera función es “f (x) = raíz cuadrada de x” y está etiquetada como función de inicio. Se trata de una función curva que comienza en el origen y aumenta. La segunda función es “f (x) = raíz cuadrada de -x”, que es una función curva que disminuye hasta llegar al origen, donde se detiene. La segunda función es la primera función reflejada alrededor del eje y. La tercera función es “f (x) = 3 (raíz cuadrada de -x)”, que es una función curva que disminuye hasta llegar al origen, donde se detiene. La tercera función disminuye a un ritmo más rápido que la segunda función. La cuarta función es “f (x) = 3 (raíz cuadrada de -x) + 1” y se etiqueta como “función transformada”. Es una función curva que disminuye hasta llegar al punto (0, 1), donde se detiene. La cuarta función es la tercera función desplazada hacia arriba 1 unidad.
Figura\PageIndex{15}: La funciónf(x)=\sqrt[3]{x}+1 puede ser vista como una secuencia de tres transformaciones de la funcióny=\sqrt{x}.
Ejercicio\PageIndex{7}

Describir cómo sef(x)=−(x+1)^2−4 puede graficar la función usando la gráfica dey=x^2 y una secuencia de transformaciones

Responder

Desplace la gráficay=x^2 hacia la izquierda 1 unidad, reflexione sobre elx eje -y luego desplace hacia abajo 4 unidades.

Conceptos clave

  • La función powerf(x)=x^n es una función par si n es par yn≠0, y es una función impar sin es impar.
  • La función raízf(x)=x^{1/n} tiene el dominio[0,∞) si n es par y el dominio(−∞,∞) ifn es impar. Sin es impar, entoncesf(x)=x^{1/n} es una función impar.
  • El dominio de la función racionalf(x)=p(x)/q(x), dondep(x) yq(x) son funciones polinómicas, es el conjunto dex tal queq(x)≠0.
  • Las funciones que involucran las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y poderes son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales.
  • Una función polinómicaf con gradon≥1 satisfacef(x)→±∞ comox→±∞. El signo de la salida comox→∞ depende únicamente del signo del coeficiente principal y de sin es par o impar.
  • Los desplazamientos verticales y horizontales, los escalamientos verticales y horizontales y las reflexiones sobre losy ejesx - y -son ejemplos de transformaciones de funciones.

Ecuaciones Clave

  • Ecuación de pendiente puntual de una líneay−y_1=m(x−x_1)\nonumber
  • Forma pendiente-intercepción de una líneay=mx+b\nonumber
  • Forma estándar de una líneaax+by=c\nonumber
  • Función polinomialf(x)=a_n{x^n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_1x+a_0\nonumber

Glosario

función algebraica
una función que involucra cualquier combinación de solo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces aplicadas a una variable de entradax
función cúbica
un polinomio de grado 3; es decir, una función de la formaf(x)=ax^3+bx^2+cx+d, dondea≠0
grado
para una función polinómica, el valor del exponente más grande de cualquier término
función lineal
una función que se puede escribir en la formaf(x)=mx+b
función logarítmica
una función de la formaf(x)=\log_b(x) para alguna baseb>0,\,b≠1 tal quey=\log_b(x) si y solo sib^y=x
modelo matemático
Un método para simular situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas
función definida por partes
una función que se define de manera diferente en diferentes partes de su dominio
ecuación de punto-pendiente
ecuación de una función lineal que indica su pendiente y un punto en la gráfica de la función
función polinomial
una función de la formaf(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_1x+a_0
función de potencia
una función de la formaf(x)=x^n para cualquier entero positivon≥1
función cuadrática
un polinomio de grado 2; es decir, una función de la formaf(x)=ax^2+bx+c dondea≠0
función racional
una función de la formaf(x)=p(x)/q(x), dondep(x) yq(x) son polinomios
función raíz
una función de la formaf(x)=x^{1/n} para cualquier enteron≥2
pendiente
el cambio eny para cada unidad cambio enx
forma pendiente-intercepción
ecuación de una función lineal que indica su pendiente ey -intercepción
función trascendental
una función que no puede expresarse mediante una combinación de operaciones aritméticas básicas
transformación de una función
un cambio, escalado o reflejo de una función

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