6.6: Estrategia de Factoring
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Cuando te estás concentrando en factorizar problemas de un solo tipo, después de hacer algunos tiendes a meterte en un ritmo, y el resto de los ejercicios, por ser similares, parecen flotar. Sin embargo, cuando te encuentras con una mezcla de problemas de factorización de diferentes tipos, el progreso es más difícil. El objetivo de esta sección es establecer una estrategia a seguir al atacar un problema general de factorización.
Si aún no se ha hecho, es útil organizar los términos del polinomio dado en algún tipo de orden (descendente o ascendente). Entonces quieres aplicar las siguientes pautas.
Estrategia de Factoring
Estos pasos deben seguirse en el orden en que aparezcan.
- Factorizar el mayor factor común (GCF).
- Busca una forma especial.
- Si tienes dos cuadrados perfectos separados por un signo menos, usa el patrón de diferencias de cuadrados para factorizar:a2−b2=(a+b)(a−b)
- Si tienes un trinomio cuyo primer y último término son cuadrados perfectos, debes sospechar que tienes un trinomio cuadrado perfecto. Tomar las raíces cuadradas del primer y último término y factorizar de la siguiente manera. a2+2ab+b2=(a+b)2Asegúrese de verificar que el término medio sea correcto.
- Si tienes dos cuadrados perfectos separados por un signo menos, usa el patrón de diferencias de cuadrados para factorizar:a2−b2=(a+b)(a−b)
- Si tienes un trinomio de la formaax2+bx+c, usa elac método -para factorizar.
- Si tienes una expresión de cuatro términos, intenta factorizar agrupando.
Una vez que hayas aplicado la estrategia anterior al polinomio dado, es muy posible que uno de tus factores resultantes factorizará aún más. Así, tenemos la siguiente regla.
Factor completamente
El proceso de factorización no está completo hasta que ninguno de sus factores restantes pueda ser factorizado más. Este es el significado de la frase, “factor completamente”.
Por último, un muy buen consejo.
Comprueba tu factorización multiplicando
Una vez que hayas factorizado completamente el polinomio dado, es una muy buena práctica verificar tu resultado. Si multiplicas para encontrar el producto de tus factores, y obtienes como resultado el polinomio original dado, entonces sabes que tu factorización es correcta.
Es un poco más de trabajo verificar tu factorización, pero vale la pena el eort. Ayuda a eliminar errores y también ayuda a construir una mejor comprensión del proceso de factoring. Recuerde, el factoring es “no multiplicar”, así que cuanto más se multiplique, mejor se obtiene en el factoring.
¡Veamos qué puede pasar cuando no revisas tu factorización!
¡Advertencia! ¡La siguiente solución es incorrecta!
Factor:2x4+8x2
Solución: factorizar elGCF
2x4+8x2=2x2(x2+4)=2x2(x+2)2
Tenga en cuenta que este alumno no se molestó en revisar su factorización. Hagámoslo por él ahora.
Cheque: Multiplicar para verificar. Recuerda, al cuadrar un binomio, hay un término medio.
2x2(x+2)2=2x2(x2+4x+4)=2x4+8x3+8x2
Esto no es lo mismo que el polinomio original2x4+8x2, por lo que la factorización del estudiante es incorrecta. Si el alumno hubiera realizado esta comprobación, podría haber captado su error, siempre y cuando por supuesto, se multiplique correctamente durante la comprobación.
Sigue la factorización correcta.
2x4+8x2=2x2(x2+4)
La suma de cuadrados no factoriza, así que estamos finalizados.
Cheque: Multiplicar para verificar.
2x2(x2+4)=2x4+8x2
Esto es lo mismo que el polinomio original2x4+8x2, por lo que esta factorización es correcta.
Ejemplo6.6.1
Factor completamente:−3x6+3x2
Solución
La primera regla de factorización es “Factorizar el GCF”. ElGCF de−3x6 y3x2 es3x2, así podríamos factorizar3x2. −3x6+3x2=3x2(−x4+1)
Cheque: Multiplica para verificar el resultado.
−3x2(x2+1)(x+1)(x−1)=−3x2(x2+1)(x2−1)=−3x2(x4−1)=−3x6+3x2
Las comprobaciones de factorización.
Ejercicio6.6.1
Factor completamente:−4x7+64x3
- Contestar
-
−4x3(x2+4)(x+2)(x−2)
Ejemplo6.6.2
Factor completamente:x3y+9xy3+6x2y2
Solución
La primera regla de factorización es “Factorizar el GCF”. ElGCF dex3y,9xy3, y6x2y2 esxy, entonces factorizamosxy. x3y+9xy3+6x2y2=xy(x2+9y2+6xy)
Cheque: Multiplica para verificar el resultado. xy(x+3y)2=xy(x2+6xy+9y2)=x3y+6x2y2+9xy3
Excepto por el orden, este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.
Ejercicio6.6.2
Factor completamente:3a2b4+12a4b2−12a3b3
- Contestar
-
3a2b2(2a−b)2
Ejemplo6.6.3
Factor completamente:2x3−48x+20x2
Solución
En el último ejemplo, reconocimos la necesidad de reorganizar nuestros términos después de que sacamos elGCF. Esta vez, arreglemos nuestros términos en poderes descendentes dex inmediato. 2x3−48x+20x2=2x3+20x2−48x
Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y cálculos mentales para acelerar las cosas. 2x(x−2)(x+12)=2x(x2+10x−24)=2x3+20x2−48x
Ejercicio6.6.3
Agrega texto de ejercicios aquí.
- Contestar
-
−3x2(x−4)(x−5)
Ejemplo6.6.4
Factor completamente:2a2−13ab−24b2
Solución
No hay un factor común que podamos factorizar. Tenemos un trinomio, pero el primer y último término no son cuadrados perfectos, así que vamos a aplicar elac método -. Ignorando las variables por un momento, necesitamos un par entero cuyo producto esac=−48 y cuya suma es−13. El par entero3,−16 viene a la mente (si nada viene a la mente, empieza a enumerar pares enteros). Dividir el término medio en una suma de términos similares usando el par entero3,−16, luego factorizar agrupando
2a2−13ab−24b2=2a2+3ab−16ab−24b2=a(2a+3b)−8b(2a+3b)=(a−8b)(2a+3b)
Por lo tanto,2a2−13ab−24b2=(a−8b)(2a+3b).
Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y cálculos mentales para acelerar las cosas. (a−8b)(2a+3b)=2a2−13ab−24b2
Ejercicio6.6.4
Factor completamente:8x2+14xy−15y2
- Contestar
-
(2x+5y)(4x−3y)
Ejemplo6.6.5
Factor completamente:30x4+38x3−20x2
Solución
El primer paso es factorizar elGCF, que en este caso lo es2x2. 30x4+38x3−20x2=2x2(15x2+19x−10)
Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Usa el método FOIL para multiplicar primero los binomios. 2x2(3x+5)(5x−2)=2x2(15x2+19x−10)
Ejercicio6.6.5
Factor completamente:36x3+60x2+9x
- Contestar
-
3x(6x+1)(2x+3)
Ejemplo6.6.6
Factor completamente:8x5+10x4−72x3−90x2
Solución
Cada uno de los términos es divisible por3x3. Factorizar hacia fuera3x3. 15x6−33x5−240x4+528x3=3x3[5x3−11x2−80x+176]
=3x3[x2(5x−11)−16(5x−11)]=3x3(x2−16)(5x−11)
El factorx2−16 es una diferencia de dos cuadrados. Toma las raíces cuadradas, separa un par con un plus, un par con un menos. =3x3(x+4)(x−4)(5x−11)
Cheque: Multiplica para verificar el resultado.
3x3(x+4)(x−4)(5x−11)=3x3(x2−16)(5x−11)=3x3(5x3−11x2−80x+176=15x6−33x5−240x4+528x3
Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.
Ejercicio6.6.6
Factor completamente:15x6−33x5−240x4+528x3
- Contestar
-
2x2(x−3)(x+3)(4x+5)
Uso de la Calculadora para Ayudar alac Método
Cuando se usa elac método -para factorizarax2+bx+c yac es un número muy grande, entonces puede ser difícil encontrar un par cuyo producto esac y cuya suma enb. Por ejemplo, considera el trinomio:12y2−11y−36
1,−4322,−216…
Tenga en cuenta que los números en la segunda columna se encuentran dividiendoac=−432 por el número en la primera columna. Ahora usaremos este hecho y la función TABLE en nuestra calculadora para buscar el par entero deseado.
- Ingrese la expresión−432/X enY1 en el menú Y= (vea la primera imagen en la Figura6.6.1).
- Encima del botón VENTANA verás TBLSET. Use la tecla 2nd, luego presione el botón VENTANA para acceder al menú que se muestra en la segunda imagen de la Figura6.6.1. Establezca tblStart=1△Tbl=1, y luego resalte AUTO para las variables independientes y dependientes.
- Encima del botón GRÁFICO verás TABLA. Use la tecla 2nd, luego presione el botón GRAPH para acceder a la tabla que se muestra en la tercera imagen de la Figura6.6.1. Utilice las teclas de flecha arriba y abajo para desplazarse por el contenido de la tabla. Tenga en cuenta que puede ignorar la mayoría de los pares, porque no son ambos enteros. Presta atención sólo cuando ambos son enteros. En este caso, recuerda que estás buscando un par cuya suma seab=−11. Tenga en cuenta que el par que16,−27 se muestra en la tercera imagen de Figura6.6.1 es el par que buscamos.

Ahora podemos dividir el término medio de12y2−11y−36 en una suma de términos similares usando el par ordenado16,−27, luego factorizar por agrupación.
12y2−11y−36=12y2+16y−27y−36=4y(3y+4)−9(3y+4)=(4y−9)(3y+4)
Comprobar: Utilice el método abreviado FOIL y los cálculos mentales para multiplicar. (4y−9)(3y+4)=12y2−11y−36