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6.6: Estrategia de Factoring

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Cuando te estás concentrando en factorizar problemas de un solo tipo, después de hacer algunos tiendes a meterte en un ritmo, y el resto de los ejercicios, por ser similares, parecen flotar. Sin embargo, cuando te encuentras con una mezcla de problemas de factorización de diferentes tipos, el progreso es más difícil. El objetivo de esta sección es establecer una estrategia a seguir al atacar un problema general de factorización.

Si aún no se ha hecho, es útil organizar los términos del polinomio dado en algún tipo de orden (descendente o ascendente). Entonces quieres aplicar las siguientes pautas.

Estrategia de Factoring

Estos pasos deben seguirse en el orden en que aparezcan.

  1. Factorizar el mayor factor común (GCF).
  2. Busca una forma especial.
    1. Si tienes dos cuadrados perfectos separados por un signo menos, usa el patrón de diferencias de cuadrados para factorizar:a2b2=(a+b)(ab)
    2. Si tienes un trinomio cuyo primer y último término son cuadrados perfectos, debes sospechar que tienes un trinomio cuadrado perfecto. Tomar las raíces cuadradas del primer y último término y factorizar de la siguiente manera. a2+2ab+b2=(a+b)2
      Asegúrese de verificar que el término medio sea correcto.
  3. Si tienes un trinomio de la formaax2+bx+c, usa elac método -para factorizar.
  4. Si tienes una expresión de cuatro términos, intenta factorizar agrupando.

Una vez que hayas aplicado la estrategia anterior al polinomio dado, es muy posible que uno de tus factores resultantes factorizará aún más. Así, tenemos la siguiente regla.

Factor completamente

El proceso de factorización no está completo hasta que ninguno de sus factores restantes pueda ser factorizado más. Este es el significado de la frase, “factor completamente”.

Por último, un muy buen consejo.

Comprueba tu factorización multiplicando

Una vez que hayas factorizado completamente el polinomio dado, es una muy buena práctica verificar tu resultado. Si multiplicas para encontrar el producto de tus factores, y obtienes como resultado el polinomio original dado, entonces sabes que tu factorización es correcta.

Es un poco más de trabajo verificar tu factorización, pero vale la pena el eort. Ayuda a eliminar errores y también ayuda a construir una mejor comprensión del proceso de factoring. Recuerde, el factoring es “no multiplicar”, así que cuanto más se multiplique, mejor se obtiene en el factoring.

¡Veamos qué puede pasar cuando no revisas tu factorización!

¡Advertencia! ¡La siguiente solución es incorrecta!

Factor:2x4+8x2

Solución: factorizar elGCF

2x4+8x2=2x2(x2+4)=2x2(x+2)2

Tenga en cuenta que este alumno no se molestó en revisar su factorización. Hagámoslo por él ahora.

Cheque: Multiplicar para verificar. Recuerda, al cuadrar un binomio, hay un término medio.

2x2(x+2)2=2x2(x2+4x+4)=2x4+8x3+8x2

Esto no es lo mismo que el polinomio original2x4+8x2, por lo que la factorización del estudiante es incorrecta. Si el alumno hubiera realizado esta comprobación, podría haber captado su error, siempre y cuando por supuesto, se multiplique correctamente durante la comprobación.

Sigue la factorización correcta.

2x4+8x2=2x2(x2+4)

La suma de cuadrados no factoriza, así que estamos finalizados.

Cheque: Multiplicar para verificar.

2x2(x2+4)=2x4+8x2

Esto es lo mismo que el polinomio original2x4+8x2, por lo que esta factorización es correcta.

Ejemplo6.6.1

Factor completamente:3x6+3x2

Solución

La primera regla de factorización es “Factorizar el GCF”. ElGCF de3x6 y3x2 es3x2, así podríamos factorizar3x2. 3x6+3x2=3x2(x4+1)

Esto es perfectamente válido, pero no nos gusta que empiece con el segundo factorx4. Vamos a factorizar3x2 en su lugar. 3x6+3x2=3x2(x41)
El segundo factor es la diferencia de dos cuadrados. Toma las raíces cuadradas, separando un par con un signo más, un par con un signo menos. =3x2(x2+1)(x21)
La suma de cuadrados no factoriza. Pero el último factor es la diferencia de dos cuadrados. Toma las raíces cuadradas, separando un par con un signo más, un par con un signo menos. =3x2(x2+1)(x+1)(x1)

Cheque: Multiplica para verificar el resultado.

3x2(x2+1)(x+1)(x1)=3x2(x2+1)(x21)=3x2(x41)=3x6+3x2

Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.1

Factor completamente:4x7+64x3

Contestar

4x3(x2+4)(x+2)(x2)

Ejemplo6.6.2

Factor completamente:x3y+9xy3+6x2y2

Solución

La primera regla de factorización es “Factorizar el GCF”. ElGCF dex3y,9xy3, y6x2y2 esxy, entonces factorizamosxy. x3y+9xy3+6x2y2=xy(x2+9y2+6xy)

Ordenemos ese segundo factor en poderes descendentes dex. =xy(x2+6xy+9y2)
El primer y último término del factor trinomial son cuadrados perfectos. Sospechamos que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, así que tomamos las raíces cuadradas del primer y último término, verificamos el término medio, y escribimos:=xy(x+3y)2
Así,x3y+9xy3+6x2y2=xy(x+3y)2.
Cheque: Multiplica para verificar el resultado. xy(x+3y)2=xy(x2+6xy+9y2)=x3y+6x2y2+9xy3

Excepto por el orden, este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.2

Factor completamente:3a2b4+12a4b212a3b3

Contestar

3a2b2(2ab)2

Ejemplo6.6.3

Factor completamente:2x348x+20x2

Solución

En el último ejemplo, reconocimos la necesidad de reorganizar nuestros términos después de que sacamos elGCF. Esta vez, arreglemos nuestros términos en poderes descendentes dex inmediato. 2x348x+20x2=2x3+20x248x

Ahora, vamos a factorizar elGCF. =2x(x2+10x24)
El último término del factor trinomio no es un cuadrado perfecto. Pasemos al método ac a factorizar. El par entero2,12 tiene un producto igual aac=24 y una suma igual ab=10. Debido a que el coeciente dex2 es uno, esta es una situación de “caída en el lugar”. Dejamos caer nuestro par en su lugar y escribimos:=2x(x2)(x+12)
Así,2x348x+20x2=2x(x2)(x+12).

Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y cálculos mentales para acelerar las cosas. 2x(x2)(x+12)=2x(x2+10x24)=2x3+20x248x

Excepto por el orden, este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.3

Agrega texto de ejercicios aquí.

Contestar

3x2(x4)(x5)

Ejemplo6.6.4

Factor completamente:2a213ab24b2

Solución

No hay un factor común que podamos factorizar. Tenemos un trinomio, pero el primer y último término no son cuadrados perfectos, así que vamos a aplicar elac método -. Ignorando las variables por un momento, necesitamos un par entero cuyo producto esac=48 y cuya suma es13. El par entero3,16 viene a la mente (si nada viene a la mente, empieza a enumerar pares enteros). Dividir el término medio en una suma de términos similares usando el par entero3,16, luego factorizar agrupando

2a213ab24b2=2a2+3ab16ab24b2=a(2a+3b)8b(2a+3b)=(a8b)(2a+3b)

Por lo tanto,2a213ab24b2=(a8b)(2a+3b).

Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Utilizamos el método abreviado FOIL y cálculos mentales para acelerar las cosas. (a8b)(2a+3b)=2a213ab24b2

Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.4

Factor completamente:8x2+14xy15y2

Contestar

(2x+5y)(4x3y)

Ejemplo6.6.5

Factor completamente:30x4+38x320x2

Solución

El primer paso es factorizar elGCF, que en este caso lo es2x2. 30x4+38x320x2=2x2(15x2+19x10)

El primer y último término del factor trinomio no son cuadrados perfectos, así que volvamos alac método -. Comparando15x2+19x10 conax2+bx+c, tenga en cuenta queac=(15)(10)=150. Necesitamos un par entero cuyo producto es150 y cuya suma es19. El par entero6 y25 satisface estos requisitos. Porquea1, esta no es una situación de “caída en el lugar”, por lo que necesitamos romper el término medio como una suma de términos similares usando el par6 y25. =2x2(15x26x+25x10)
Factorizar por agrupación. Factor3x de los dos primeros términos y5 del tercer y cuarto términos. =2x2(3x(5x2)+5(5x2))
Finalmente, factorizar el factor común5x2. =2x2(3x+5)(5x2)
Así,30x4+38x320x2=2x2(3x+5)(5x2).

Cheque: Multiplica para verificar el resultado. Usa el método FOIL para multiplicar primero los binomios. 2x2(3x+5)(5x2)=2x2(15x2+19x10)

Distribuir el2x2. =30x4+38x320x2
Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.5

Factor completamente:36x3+60x2+9x

Contestar

3x(6x+1)(2x+3)

Ejemplo6.6.6

Factor completamente:8x5+10x472x390x2

Solución

Cada uno de los términos es divisible por3x3. Factorizar hacia fuera3x3. 15x633x5240x4+528x3=3x3[5x311x280x+176]

El segundo factor es una expresión de cuatro términos. Factorizar por agrupación.

=3x3[x2(5x11)16(5x11)]=3x3(x216)(5x11)

El factorx216 es una diferencia de dos cuadrados. Toma las raíces cuadradas, separa un par con un plus, un par con un menos. =3x3(x+4)(x4)(5x11)

Por lo tanto,15x633x5240x4+528x3=3x3(x+4)(x4)(5x11).

Cheque: Multiplica para verificar el resultado.

3x3(x+4)(x4)(5x11)=3x3(x216)(5x11)=3x3(5x311x280x+176=15x633x5240x4+528x3

Este resultado es el mismo que el polinomio dado. Las comprobaciones de factorización.

Ejercicio6.6.6

Factor completamente:15x633x5240x4+528x3

Contestar

2x2(x3)(x+3)(4x+5)

Uso de la Calculadora para Ayudar alac Método

Cuando se usa elac método -para factorizarax2+bx+c yac es un número muy grande, entonces puede ser difícil encontrar un par cuyo producto esac y cuya suma enb. Por ejemplo, considera el trinomio:12y211y36

Necesitamos un par entero cuyo producto esac=432 y cuya suma esb=11. Comenzamos a enumerar las posibilidades de pares enteros, pero el proceso rápidamente se vuelve desalentador.

1,4322,216

Tenga en cuenta que los números en la segunda columna se encuentran dividiendoac=432 por el número en la primera columna. Ahora usaremos este hecho y la función TABLE en nuestra calculadora para buscar el par entero deseado.

  1. Ingrese la expresión432/X enY1 en el menú Y= (vea la primera imagen en la Figura6.6.1).
  2. Encima del botón VENTANA verás TBLSET. Use la tecla 2nd, luego presione el botón VENTANA para acceder al menú que se muestra en la segunda imagen de la Figura6.6.1. Establezca tblStart=1Tbl=1, y luego resalte AUTO para las variables independientes y dependientes.
  3. Encima del botón GRÁFICO verás TABLA. Use la tecla 2nd, luego presione el botón GRAPH para acceder a la tabla que se muestra en la tercera imagen de la Figura6.6.1. Utilice las teclas de flecha arriba y abajo para desplazarse por el contenido de la tabla. Tenga en cuenta que puede ignorar la mayoría de los pares, porque no son ambos enteros. Presta atención sólo cuando ambos son enteros. En este caso, recuerda que estás buscando un par cuya suma seab=11. Tenga en cuenta que el par que16,27 se muestra en la tercera imagen de Figura6.6.1 es el par que buscamos.
higo 6.6.1.png
Figura6.6.1: Uso de la función TABLE para ayudar alac método.

Ahora podemos dividir el término medio de12y211y36 en una suma de términos similares usando el par ordenado16,27, luego factorizar por agrupación.

12y211y36=12y2+16y27y36=4y(3y+4)9(3y+4)=(4y9)(3y+4)

Comprobar: Utilice el método abreviado FOIL y los cálculos mentales para multiplicar. (4y9)(3y+4)=12y211y36

Las comprobaciones de factorización.


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