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LibreTexts Español

9.2: Simplificar las raíces cuadradas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

  • Utilice la propiedad del producto para simplificar las raíces cuadradas
  • Utilice la propiedad Cociente para simplificar las raíces cuadradas
ESTAR PREPARADO

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Simplificar:80176.
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
  2. Simplificar:n9n3.
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].
  3. Simplificar:q4q12.
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

En la última sección, se estimó la raíz cuadrada de un número entre dos números enteros consecutivos. Podemos decir que50 es entre 7 y 8. Esto es bastante fácil de hacer cuando los números son lo suficientemente pequeños como para que podamos usar [link].

Pero, ¿y si queremos estimar500? Si primero simplificamos la raíz cuadrada, podremos estimarla fácilmente. También hay otras razones para simplificar las raíces cuadradas como verás más adelante en este capítulo.

Una raíz cuadrada se considera simplificada si su radicando no contiene factores cuadrados perfectos.

Definición: Raíz cuadrada simplificada

ase considera simplificado si a no tiene factores cuadrados perfectos.

Así31 se simplifica. Pero no32 se simplifica, porque 16 es un factor cuadrado perfecto de 32.

Utilice la propiedad del producto para simplificar las raíces cuadradas

Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones con raíces cuadradas son similares a las propiedades de los exponentes. Eso lo sabemos(ab)m=ambm. Eso dice la propiedad correspondiente de raíces cuadradasab=a·b.

Definición: PROPIEDAD DE PRODUCTO DE RAÍCES

Si a, b son números reales no negativos, entoncesab=a·b.

Utilizamos la Propiedad del Producto de Raíces Cuadradas para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de un radical. Mostraremos cómo hacer esto en Ejemplo.

Cómo utilizar la propiedad del producto para simplificar una raíz cuadrada

Ejemplo9.2.1

Simplificar:50.

Contestar

Esta cifra tiene tres columnas y tres filas. La primera fila dice: “Paso 1. Encuentra el factor cuadrado perfecto más grande del radicando. Reescribe el radicando como un producto usando el factor cuadrado perfecto”. Luego dice: “25 es el factor cuadrado perfecto más grande de 50. 50 equivale a 25 veces 2. Siempre escribe primero el factor cuadrado perfecto”. Después se muestra la raíz cuadrada de 50 y la raíz cuadrada de 25 veces 2.La segunda fila dice: “Paso 2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales”. La segunda columna está vacía, pero la tercera columna muestra la raíz cuadrada de 25 veces la raíz cuadrada de 2.La tercera fila dice: “Paso 3. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto”. La segunda columna está vacía, pero la tercera columna muestra 5 veces la raíz cuadrada de 2.

Ejemplo9.2.2

Simplificar:48.

Contestar

43

Ejemplo9.2.3

Simplificar:45.

Contestar

35

Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de50 is 52, which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.

Definición: SIMPLIFICAR UNA RAÍZ CUADRADA UTILIZANDO
  1. Encuentra el factor cuadrado perfecto más grande del radicando. Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto.
  2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
  3. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
Ejemplo9.2.4

Simplificar:500.

Contestar

500Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor100·5Rewrite the radical as the product of two radicals100·5Simplify105

Ejemplo9.2.5

Simplificar:288.

Contestar

122

Ejemplo9.2.6

Simplificar:432.

Contestar

123

Podríamos usar la forma simplificada105 para estimar500. Sabemos que5 es entre 2 y 3, y500 es105. Así500 es entre 20 y 30.

El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables.

Ejemplo9.2.7

Simplificar:x3.

Contestar

x3Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factorx2·xRewrite the radical as the product of two radicalsx2·xSimplifyxx

Ejemplo9.2.8

Simplificar:b5.

Contestar

b2b

Ejemplo9.2.9

Simplificar:p9.

Contestar

p4p

Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en lo radical, también.

Ejemplo9.2.10

Simplificar:25y5.

Contestar

25y5Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.25y4·yRewrite the radical as the product of two radicals.25y4·ySimplify.5y2y

Ejemplo9.2.11

Simplificar:16x7.

Contestar

4x3x

Ejemplo9.2.12

Simplificar:49v9.

Contestar

7v4v

En el siguiente ejemplo tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos.

Ejemplo9.2.13

Simplificar:72n7.

Contestar

72n7Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.36n6·2nRewrite the radical as the product of two radicals.36n6·2nSimplify.6n32n

Ejemplo9.2.14

Simplificar:32y5.

Contestar

4y22y

Ejemplo9.2.15

Simplificar:75a9.

Contestar

5a43a

Ejemplo9.2.16

Simplificar:63u3v5.

Contestar

63u3v5Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.9u2v4·7uvRewrite the radical as the product of two radicals.9u2v4·7uvSimplify.3uv27uv

Ejemplo9.2.17

Simplificar:98a7b5.

Contestar

7a3b22ab

Ejemplo9.2.18

Simplificar:180m9n11.

Contestar

6m4n55mn

Hemos visto cómo usar el Orden de Operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. Para simplificar25+144 we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.

La expresión17+7 no se puede simplificar, para empezar necesitaríamos simplificar cada raíz cuadrada, pero ni 17 ni 7 contienen un factor cuadrado perfecto.

En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero.

Ejemplo9.2.19

Simplificar:3+32.

Contestar

3+32Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.3+16·2Rewrite the radical as the product of two radicals.3+16·2Simplify.3+42

Los términos no son como y así no podemos agregarlos. Tratar de agregar un entero y un radical es como intentar agregar un entero y una variable, ¡no son como términos!

Ejemplo9.2.20

Simplificar:5+75.

Contestar

5+53

Ejemplo9.2.21

Simplificar:2+98.

Contestar

2+72

El siguiente ejemplo incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.

Ejemplo9.2.22

Simplificar:4482.

Contestar

4482Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.416·32Rewrite the radical as the product of two radicals.416·32Simplify.4432Factor the common factor from thenumerator.4(13)2Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.2(13)

Ejemplo9.2.23

Simplificar:10755.

Contestar

23

Ejemplo9.2.24

Simplificar:6453.

Contestar

25

Utilice la propiedad Cociente para simplificar las raíces cuadradas

Siempre que tengas que simplificar una raíz cuadrada, el primer paso que debes dar es determinar si el radicando es un cuadrado perfecto. Una fracción cuadrada perfecta es una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son cuadrados perfectos.

Ejemplo9.2.25

Simplificar:964.

Contestar

964Since(38)238

Ejemplo9.2.26

Simplificar:2516.

Contestar

54

Ejemplo9.2.27

Simplificar:4981.

Contestar

79

Si el numerador y el denominador tienen algún factor común, quítelos. ¡Puede encontrar una fracción cuadrada perfecta!

Ejemplo9.2.28

Simplificar:4580.

Contestar

4580Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.5·95·16Simplify the fraction by removing common factors.916Simplify.(34)2=91634

Ejemplo9.2.29

Simplificar:7548.

Contestar

54

Ejemplo9.2.30

Simplificar:98162.

Contestar

79

En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo el radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos la Propiedad Cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes,aman=amn,a0.

Ejemplo9.2.31

Simplificar:m6m4.

Contestar

m6m4Simplify the fraction inside the radical firstm2Divide the like bases by subtracting the exponents.Simplify.m

Ejemplo9.2.32

Simplificar:a8a6.

Contestar

a

Ejemplo9.2.33

Simplificar:x14x10.

Contestar

x2

Ejemplo9.2.34

Simplificar:48p73p3.

Contestar

48p73p3Simplify the fraction inside the radical first.16p4Simplify.4p2

Ejemplo9.2.35

Simplificar:75x53x.

Contestar

5x2

Ejemplo9.2.36

Simplificar:72z122z10.

Contestar

6z

¿Recuerdas el cociente de una propiedad eléctrica? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador al poder por separado.

(ab)m=ambm,b0

Podemos usar una propiedad similar para simplificar una raíz cuadrada de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador, si la fracción no es un cuadrado perfecto simplificamos el numerador y el denominador por separado.

Definición: PROPIEDAD COCIENTE DE RAÍCES CUADRADAS

Si a, b son números reales no negativos yb0, entonces

ab=ab

Ejemplo9.2.37

Simplificar:2164.

Contestar

2164We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.2164Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.218

Ejemplo9.2.38

Simplificar:1949.

Contestar

197

Ejemplo9.2.39

Simplificar:2881

Contestar

279

Cómo utilizar la propiedad de cociente para simplificar una raíz cuadrada

Ejemplo9.2.40

Simplificar:27m3196.

Contestar

Esta tabla tiene tres columnas y tres filas. La primera fila dice: “Paso 1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible”. Entonces muestra que 27 m cubicados sobre 196 no se pueden simplificar. Después se muestra la raíz cuadrada de 27 m en cubos sobre 196.La segunda fila dice: “Paso 2. Usa la Propiedad Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales”. Entonces dice: “Reescribimos la raíz cuadrada de 27 m cubos sobre 196 como el cociente de la raíz cuadrada de 27 m cubos y la raíz cuadrada de 196”. Después se muestra la raíz cuadrada de 27 m en cubos sobre la raíz cuadrada de 196.La tercera fila dice: “Paso 3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador”. Entonces dice: “9 m cuadrados y 196 son cuadrados perfectos”. Luego muestra la raíz cuadrada de 9 m cuadrados tiempo la raíz cuadrada de 3 m sobre la raíz cuadrada de 196. Luego muestra 3 m veces la raíz cuadrada de 3 m sobre 14.

Ejemplo9.2.41

Simplificar:24p349

Contestar

2p6p7

Ejemplo9.2.42

Simplificar:48x5100

Contestar

2x23x5

Definición: SIMPLIFICAR UNA RAÍZ CUADRADA USANDO EL COCIENTE
  1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
  2. Utilice la Propiedad Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
  3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.
Ejemplo9.2.43

Simplificar:45x5y4.

Contestar

45x5y4We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.45x5y4Simplify the radicals in the numerator and the denominator.9x45xy2Simplify.3x25xy2

Ejemplo9.2.44

Simplificar:80m3n6

Contestar

4m5mn3

Ejemplo9.2.45

Simplificar:54u7v8.

Contestar

3u36uv4

Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.

Ejemplo9.2.46

Simplificar:81d925d4.

Contestar

81d925d4Simplify the fraction in the radicand.81d525Rewrite using the quotient property.81d525Simplify the radicals in the numerator and the denominator.81d4d5Simplify.9d2d5

Ejemplo9.2.47

Simplificar:64x79x3.

Contestar

8x23

Ejemplo9.2.48

Simplificar:16a9100a5.

Contestar

2a25

Ejemplo9.2.49

Simplificar:18p5q732pq2.

Contestar

18p5q732pq2Simplify the fraction in the radicand.9p4q516Rewrite using the quotient property.9p4q516Simplify the radicals in the numerator and the denominator.9p4q4q4Simplify.3p2q2q4

Ejemplo9.2.50

Simplificar:50x5y372x4y.

Contestar

5yx6

Ejemplo9.2.51

Simplificar:48m7n2125m5n9.

Contestar

4m35n35n

Conceptos clave

  • aLa raíz cuadrada simplificada se considera simplificada si a no tiene factores cuadrados perfectos.
  • Propiedad del producto de las raíces cuadradas Si a, b son números reales no negativos, entonces

    ab=a·b

  • Simplifique una raíz cuadrada usando la propiedad del producto Para simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Product:
    1. Encuentra el factor cuadrado perfecto más grande del radicando. Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto.
    2. Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
    3. Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
  • Propiedad del cociente de las raíces cuadradas Si a, b son números reales no negativos yb0, entonces

    ab=ab

  • Simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Cocient Para simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Cocient:
    1. Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
    2. Usa la Regla del Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
    3. Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.

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