9.2: Simplificar las raíces cuadradas
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Al final de esta sección, podrás:
- Utilice la propiedad del producto para simplificar las raíces cuadradas
- Utilice la propiedad Cociente para simplificar las raíces cuadradas
En la última sección, se estimó la raíz cuadrada de un número entre dos números enteros consecutivos. Podemos decir que\(\sqrt{50}\) es entre 7 y 8. Esto es bastante fácil de hacer cuando los números son lo suficientemente pequeños como para que podamos usar [link].
Pero, ¿y si queremos estimar\(\sqrt{500}\)? Si primero simplificamos la raíz cuadrada, podremos estimarla fácilmente. También hay otras razones para simplificar las raíces cuadradas como verás más adelante en este capítulo.
Una raíz cuadrada se considera simplificada si su radicando no contiene factores cuadrados perfectos.
\(\sqrt{a}\)se considera simplificado si a no tiene factores cuadrados perfectos.
Así\(\sqrt{31}\) se simplifica. Pero no\(\sqrt{32}\) se simplifica, porque 16 es un factor cuadrado perfecto de 32.
Utilice la propiedad del producto para simplificar las raíces cuadradas
Las propiedades que usaremos para simplificar expresiones con raíces cuadradas son similares a las propiedades de los exponentes. Eso lo sabemos\((ab)^m=a^{m}b^{m}\). Eso dice la propiedad correspondiente de raíces cuadradas\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Si a, b son números reales no negativos, entonces\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Utilizamos la Propiedad del Producto de Raíces Cuadradas para eliminar todos los factores cuadrados perfectos de un radical. Mostraremos cómo hacer esto en Ejemplo.
Cómo utilizar la propiedad del producto para simplificar una raíz cuadrada
Simplificar:\(\sqrt{50}\).
- Contestar
-
Simplificar:\(\sqrt{48}\).
- Contestar
-
\(4\sqrt{3}\)
Simplificar:\(\sqrt{45}\).
- Contestar
-
\(3\sqrt{5}\)
Observe en el ejemplo anterior que la forma simplificada de\(\sqrt{50}\) is \(5\sqrt{2}\), which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.
- Encuentra el factor cuadrado perfecto más grande del radicando. Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto.
- Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
- Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
Simplificar:\(\sqrt{500}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{288}\).
- Contestar
-
\(12\sqrt{2}\)
Simplificar:\(\sqrt{432}\).
- Contestar
-
\(12\sqrt{3}\)
Podríamos usar la forma simplificada\(10\sqrt{5}\) para estimar\(\sqrt{500}\). Sabemos que\(\sqrt{5}\) es entre 2 y 3, y\(\sqrt{500}\) es\(10\sqrt{5}\). Así\(\sqrt{500}\) es entre 20 y 30.
El siguiente ejemplo es muy parecido a los ejemplos anteriores, pero con variables.
Simplificar:\(\sqrt{x^3}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{b^5}\).
- Contestar
-
\(b^2\sqrt{b}\)
Simplificar:\(\sqrt{p^9}\).
- Contestar
-
\(p^4\sqrt{p}\)
Seguimos el mismo procedimiento cuando hay un coeficiente en lo radical, también.
Simplificar:\(\sqrt{25y^5}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{16x^7}\).
- Contestar
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\(4x^3\sqrt{x}\)
Simplificar:\(\sqrt{49v^9}\).
- Contestar
-
\(7v^4\sqrt{v}\)
En el siguiente ejemplo tanto la constante como la variable tienen factores cuadrados perfectos.
Simplificar:\(\sqrt{72n^7}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{32y^5}\).
- Contestar
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\(4y^2\sqrt{2y}\)
Simplificar:\(\sqrt{75a^9}\).
- Contestar
-
\(5a^4\sqrt{3a}\)
Simplificar:\(\sqrt{63u^{3}v^{5}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{98a^{7}b^{5}}\).
- Contestar
-
\(7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}\)
Simplificar:\(\sqrt{180m^{9}n^{11}}\).
- Contestar
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\(6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}\)
Hemos visto cómo usar el Orden de Operaciones para simplificar algunas expresiones con radicales. Para simplificar\(\sqrt{25}+\sqrt{144}\) we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.
La expresión\(\sqrt{17}+\sqrt{7}\) no se puede simplificar, para empezar necesitaríamos simplificar cada raíz cuadrada, pero ni 17 ni 7 contienen un factor cuadrado perfecto.
En el siguiente ejemplo, tenemos la suma de un entero y una raíz cuadrada. Simplificamos la raíz cuadrada pero no podemos agregar la expresión resultante al entero.
Simplificar:\(3+\sqrt{32}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Los términos no son como y así no podemos agregarlos. Tratar de agregar un entero y un radical es como intentar agregar un entero y una variable, ¡no son como términos!
Simplificar:\(5+\sqrt{75}\).
- Contestar
-
\(5+5\sqrt{3}\)
Simplificar:\(2+\sqrt{98}\).
- Contestar
-
\(2+7\sqrt{2}\)
El siguiente ejemplo incluye una fracción con un radical en el numerador. Recuerda que para simplificar una fracción necesitas un factor común en el numerador y denominador.
Simplificar:\(\frac{4−\sqrt{48}}{2}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\frac{10−\sqrt{75}}{5}\).
- Contestar
-
\(2−\sqrt{3}\)
Simplificar:\(\frac{6−\sqrt{45}}{3}\).
- Contestar
-
\(2−\sqrt{5}\)
Utilice la propiedad Cociente para simplificar las raíces cuadradas
Siempre que tengas que simplificar una raíz cuadrada, el primer paso que debes dar es determinar si el radicando es un cuadrado perfecto. Una fracción cuadrada perfecta es una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son cuadrados perfectos.
Simplificar:\(\sqrt{\frac{9}{64}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{25}{16}}\).
- Contestar
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{49}{81}}\).
- Contestar
-
\(\frac{7}{9}\)
Si el numerador y el denominador tienen algún factor común, quítelos. ¡Puede encontrar una fracción cuadrada perfecta!
Simplificar:\(\sqrt{\frac{45}{80}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{75}{48}}\).
- Contestar
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{98}{162}}\).
- Contestar
-
\(\frac{7}{9}\)
En el último ejemplo, nuestro primer paso fue simplificar la fracción bajo el radical eliminando factores comunes. En el siguiente ejemplo usaremos la Propiedad Cociente para simplificar bajo el radical. Dividimos las bases similares restando sus exponentes,\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\),\(a \ne 0\).
Simplificar:\(\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}\).
- Contestar
-
a
Simplificar:\(\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}\).
- Contestar
-
\(x^2\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}\).
- Contestar
-
\(5x^2\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}\).
- Contestar
-
6z
¿Recuerdas el cociente de una propiedad eléctrica? Decía que podíamos elevar una fracción a una potencia elevando el numerador y el denominador al poder por separado.
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}\),\( b \ne 0\)
Podemos usar una propiedad similar para simplificar una raíz cuadrada de una fracción. Después de eliminar todos los factores comunes del numerador y denominador, si la fracción no es un cuadrado perfecto simplificamos el numerador y el denominador por separado.
Si a, b son números reales no negativos y\(b \ne 0\), entonces
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{21}{64}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{19}{49}}\).
- Contestar
-
\(\frac{\sqrt{19}}{7}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{28}{81}}\)
- Contestar
-
\(\frac{2\sqrt{7}}{9}\)
Cómo utilizar la propiedad de cociente para simplificar una raíz cuadrada
Simplificar:\(\sqrt{\frac{27m^3}{196}}\).
- Contestar
-
Simplificar:\(\sqrt{\frac{24p^3}{49}}\)
- Contestar
-
\(\frac{2p\sqrt{6p}}{7}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{48x^5}{100}}\)
- Contestar
-
\(\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}\)
- Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
- Utilice la Propiedad Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
- Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.
Simplificar:\(\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}\)
- Contestar
-
\(\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}\).
- Contestar
-
\(\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}\)
Asegúrese de simplificar primero la fracción en el radicando, si es posible.
Simplificar:\(\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}\).
- Contestar
-
\(\frac{8x^2}{3}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}\).
- Contestar
-
\(\frac{2a^2}{5}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}\).
- Contestar
-
\(\frac{5y\sqrt{x}}{6}\)
Simplificar:\(\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}\).
- Contestar
-
\(\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}\)
Conceptos clave
- \(\sqrt{a}\)La raíz cuadrada simplificada se considera simplificada si a no tiene factores cuadrados perfectos.
- Propiedad del producto de las raíces cuadradas Si a, b son números reales no negativos, entonces
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\)
- Simplifique una raíz cuadrada usando la propiedad del producto Para simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Product:
- Encuentra el factor cuadrado perfecto más grande del radicando. Reescribe el radicando como producto usando el factor cuadrado perfecto.
- Usa la regla del producto para reescribir el radical como producto de dos radicales.
- Simplifica la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
- Propiedad del cociente de las raíces cuadradas Si a, b son números reales no negativos y\(b \ne 0\), entonces
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- Simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Cocient Para simplificar una raíz cuadrada usando la propiedad Cocient:
- Simplificar la fracción en el radicando, si es posible.
- Usa la Regla del Cociente para reescribir el radical como el cociente de dos radicales.
- Simplifica los radicales en el numerador y el denominador.