9.3: Suma y resta raíces cuadradas
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Al final de esta sección, podrás:
- Sumar y restar como raíces cuadradas
- Sumar y restar raíces cuadradas que necesitan simplificación
Sabemos que debemos seguir el orden de las operaciones para simplificar expresiones con raíces cuadradas. El radical es un símbolo de agrupación, por lo que primero trabajamos dentro del radical. Simplificamos\(\sqrt{2+7}\) de esta manera:
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}\]
Entonces, si tenemos que sumar\(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), no debemos combinarlos en un solo radical.
\(\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}\)
Tratar de agregar raíces cuadradas con diferentes radicandos es como tratar de agregar términos diferentes.
\[\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Agregar raíces cuadradas con el mismo radicando es como agregar términos similares. Llamamos raíces cuadradas con el mismo radicando como raíces cuadradas para recordarnos que funcionan igual que términos similares.
Las raíces cuadradas con el mismo radicando se llaman como raíces cuadradas.
Sumamos y restamos como raíces cuadradas de la misma manera que sumamos y restamos términos similares. Sabemos que 3x +8x es 11x. Del mismo modo agregamos\(3\sqrt{x}+8\sqrt{x}\) and the result is \(11\sqrt{x}\).
Sumar y restar como raíces cuadradas
Piense en agregar términos similares con variables como lo hace en los siguientes ejemplos. Cuando tienes como radicandos, simplemente sumas o restas los coeficientes. Cuando los radicandos no son como, no se pueden combinar los términos.
Simplificar:\(2\sqrt{2}−7\sqrt{2}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(8\sqrt{2}−9\sqrt{2}\).
- Contestar
-
\(−\sqrt{2}\)
Simplificar:\(5\sqrt{3}−9\sqrt{3}\).
- Contestar
-
\(−4\sqrt{3}\)
Simplificar:\(3\sqrt{y}+4\sqrt{y}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(2\sqrt{x}+7\sqrt{x}\).
- Contestar
-
\(9\sqrt{x}\)
Simplificar:\(5\sqrt{u}+3\sqrt{u}\).
- Contestar
-
\(8\sqrt{u}\)
Simplificar:\(4\sqrt{x}−2\sqrt{y}\)
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\).
- Contestar
-
\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\)
Simplificar:\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\).
- Contestar
-
\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\)
Simplificar:\(5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}\).
- Contestar
-
\(9\sqrt{11}\)
Simplificar:\(6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}\).
- Contestar
-
\(11\sqrt{10}\)
Simplificar:\(2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}\).
- Contestar
-
\(\sqrt{5}+2\sqrt{6}\)
Simplificar:\(3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}\).
- Contestar
-
\(−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}\)
Simplificar:\(2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}\).
- Contestar
-
\(−2\sqrt{7x}\)
Simplificar:\(4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}\).
- Contestar
-
\(−3\sqrt{y}\)
Cuando los radicales contienen más de una variable, siempre y cuando todas las variables y sus exponentes sean idénticos, los radicales son como.
Simplificar:\(\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}\).
- Contestar
-
\(−2\sqrt{5xy}\)
Simplificar:\(3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}\).
- Contestar
-
0
Sumar y restar raíces cuadradas que necesitan simplificación
Recuerda que siempre simplificamos las raíces cuadradas al eliminar el factor cuadrado perfecto más grande. A veces cuando tenemos que sumar o restar raíces cuadradas que no parecen tener como radicales, encontramos como radicales después de simplificar las raíces cuadradas.
Simplificar:\(\sqrt{20}+3\sqrt{5}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{18}+6\sqrt{2}\).
- Contestar
-
\(9\sqrt{2}\)
Simplificar:\(\sqrt{27}+4\sqrt{3}\).
- Contestar
-
\(7\sqrt{3}\)
Simplificar:\(\sqrt{48}−\sqrt{75}\)
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{32}−\sqrt{18}\).
- Contestar
-
\(\sqrt{2}\)
Simplificar:\(\sqrt{20}−\sqrt{45}\).
- Contestar
-
\(−\sqrt{5}\)
Al igual que usamos la Propiedad Asociativa de Multiplicación para simplificar 5 (3x) y obtener 15x, podemos simplificar\(5(3\sqrt{x})\) and get \(15\sqrt{x}\). We will use the Associative Property to do this in the next example.
Simplificar:\(5\sqrt{18}−2\sqrt{8}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(4\sqrt{27}−3\sqrt{12}\).
- Contestar
-
\(6\sqrt{3}\)
Simplificar:\(3\sqrt{20}−7\sqrt{45}\).
- Contestar
-
\(−15\sqrt{5}\)
Simplificar:\(\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}\).
- Contestar
-
\(−\sqrt{3}\)
Simplificar:\(\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}\).
- Contestar
-
0
Simplificar:\(\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}\]
Simplificar:\(\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}\)
- Contestar
-
\(\frac{14}{15}\sqrt{2}\)
Simplificar:\(\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}\)
- Contestar
-
\(\frac{1}{12}[\sqrt{5}\)
En el siguiente ejemplo, eliminaremos los factores constantes y variables de las raíces cuadradas.
Simplificar:\(\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}\)
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}\).
- Contestar
-
\(−m^3\sqrt{2m}\)
Simplificar:\(\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}\)
- Contestar
-
\(−p^3\sqrt{p}\)
Simplificar:\(9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}\).
- Contestar
-
\(20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}\)
Simplificar:\(7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}\).
- Contestar
-
\(28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}\)
Simplificar:\(2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}\).
- Contestar
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplificar:\(3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}\)
- Contestar
-
\(10x\sqrt{3}\)
Simplificar:\(3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}\).
- Contestar
-
\(−5x\sqrt{2}\)
Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la suma y resta de raíces cuadradas.
- Añadir/restar raíces cuadradas
Glosario
- como raíces cuadradas
- Las raíces cuadradas con el mismo radicando se llaman como raíces cuadradas.