1.3: Radicales y expresiones racionales

Objetivos de aprendizaje

• Evaluar raíces cuadradas.
• Utilice la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas.
• Usa la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas.
• Sumar y restar raíces cuadradas.
• Racionalizar denominadores.
• Utilizar raíces racionales.

Una ferretería vende escaleras de$16$ pies y escaleras$24$ de pies. Una ventana se encuentra a$12$ pies sobre el suelo. Se necesita comprar una escalera que llegue a la ventana desde un punto en los$5$ pies del suelo del edificio. Para conocer la longitud de escalera necesaria, podemos dibujar un triángulo rectángulo como se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$, y usar el Teorema de Pitágoras.

Figura $\PageIndex{1}$: Un triángulo rectángulo

$$\begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \label{1.4.1} \\[4pt] 5^2+12^2&=c^2 \label{1.4.2} \\[4pt] 169 &=c^2 \label{1.4.3} \end{align*}$$

Now, we need to find out the length that, when squared, is $169$, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Evaluating Square Roots

When the square root of a number is squared, the result is the original number. Since $4^2=16$, the square root of $16$ is $4$.The square root function is the inverse of the squaring function just as subtraction is the inverse of addition. To undo squaring, we take the square root.

In general terms, if $a$ is a positive real number, then the square root of $a$ is a number that, when multiplied by itself, gives $a$.The square root could be positive or negative because multiplying two negative numbers gives a positive number. The principal square root is the nonnegative number that when multiplied by itself equals $a$. The square root obtained using a calculator is the principal square root.

The principal square root of $a$ is written as $\sqrt{a}$. The symbol is called a radical, the term under the symbol is called the radicand, and the entire expression is called a radical expression.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

¿Lo hace$\sqrt{25} = \pm 5$?

Solución

No. Aunque ambos$5^2$ y$(−5)^2$ son$25$, el símbolo radical implica sólo una raíz no negativa, la raíz cuadrada principal. La raíz cuadrada principal de$25$ es$\sqrt{25}=5$.

Nota

La raíz cuadrada principal de$a$ es el número no negativo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual$a$. Está escrito como una expresión radical, con un símbolo llamado radical sobre el término llamado radicando:$\sqrt{a}$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Evaluating Square Roots

Evaluar cada expresión.

1. $\sqrt{\sqrt{16}}$
2. $\sqrt{49}$-$\sqrt{81}$

Solución

1. $\sqrt{\sqrt{16}}= \sqrt{4} =2$porque$4^2=16$ y$2^2=4$
2. $\sqrt{49} -\sqrt{81} =7−9 =−2$porque$7^2=49$ y$9^2=81$

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Porque$\sqrt{25+144}$, ¿podemos encontrar las raíces cuadradas antes de agregar?

Solución

No. $\sqrt{25} + \sqrt{144} =5+12=17$. Esto no equivale a$\sqrt{25+144}=13$. El orden de las operaciones nos obliga a sumar los términos en el radicando antes de encontrar la raíz cuadrada.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Evaluar cada expresión.

1. $\sqrt{\sqrt{81}}$
2. $\sqrt{36} + \sqrt{121}$

 

Responder a

$3$

Respuesta b

$17$

Uso de la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, la reescribimos de tal manera que no haya cuadrados perfectos en el radicando. Existen varias propiedades de las raíces cuadradas que nos permiten simplificar expresiones radicales complicadas. La primera regla que veremos es la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas, que nos permite separar la raíz cuadrada de un producto de dos números en el producto de dos expresiones racionales separadas. Por ejemplo, podemos reescribir$\sqrt{15}$ como$\sqrt{3}\times\sqrt{5}$. También podemos usar la regla del producto para expresar el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.

La regla del producto para simplificar las raíces cuadradas

Si$a$ y no$b$ son negativos, la raíz cuadrada del producto$ab$ es igual al producto de las raíces cuadradas de$a$ y$b$

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$$

CÓMO: Dada una expresión de radical de raíz cuadrada, utilice la regla del producto para simplificarla.

1. Facturar cualquier cuadrado perfecto desde el radicando.
2. Escribir la expresión radical como producto de expresiones radicales.
3. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Simplificar la expresión radical.

1. $\sqrt{300}$
2. $\sqrt{162a^5b^4}$

Solución

a.$\sqrt{100\times3}$ Factor cuadrado perfecto de radicando.

$\sqrt{100}\times\sqrt{3}$Escribir expresión radical como producto de expresiones radicales.

$10\sqrt{3}$Simplificar

b.$\sqrt{81a^4b^4\times2a}$ factor cuadrado perfecto de radicando

$\sqrt{81a^4b^4}\times\sqrt{2a}$Escribir expresión radical como producto de expresiones radicales

$9a^2b^2\sqrt{2a}$Simplificar

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar$\sqrt{50x^2y^3z}$

Responder

$5|x||y|\sqrt{2yz}$

Observe los signos de valor absoluto alrededor$x$ y$y$? ¡Eso es porque su valor debe ser positivo!

Cómo: Dado el producto de múltiples expresiones radicales, use la regla de producto para combinarlas en una sola expresión radical

1. Expresar el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.
2. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Simplificar la expresión radical.

$\sqrt{12}\times\sqrt{3}$

Solución

$$\begin{align*} &\sqrt{12\times3}\qquad \text{Express the product as a single radical expression}\\ &\sqrt{36}\qquad \text{Simplify}\\ &6 \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Simplificar$\sqrt{50x}\times\sqrt{2x}$ asumiendo$x>0$.

Responder

$10|x|$

Uso de la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas

Así como podemos reescribir la raíz cuadrada de un producto como producto de raíces cuadradas, también podemos reescribir la raíz cuadrada de un cociente como cociente de raíces cuadradas, utilizando la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas. Puede ser útil separar el numerador y denominador de una fracción bajo un radical para que podamos tomar sus raíces cuadradas por separado. Podemos reescribir

$$\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}. \nonumber$$

LA REGLA DEL COCIENTE PARA SIMPLIFICAR RAÍCES

La raíz cuadrada del cociente$\dfrac{a}{b}$ es igual al cociente de las raíces cuadradas de$a$ y$b$, donde$b≠0$.

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Cómo: Dada una expresión radical, usa la regla del cociente para simplificarla

1. Escribir la expresión radical como el cociente de dos expresiones radicales.
2. Simplifica el numerador y denominador.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Simplificar la expresión radical.

$\sqrt{\dfrac{5}{36}}$

Solución

$$\begin{align*} &\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{\sqrt{5}}{6}\qquad \text {Simplify denominator} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Simplificar$\sqrt{\dfrac{2x^2}{9y^4}}$

Responder

$\dfrac{x\sqrt{2}}{3y^2}$

No necesitamos los signos de valor absoluto$y^2$ porque ese término siempre será no negativo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Simplificar la expresión radical.

$\dfrac{\sqrt{234x^{11}y}}{\sqrt{26x^7y}}$

Solución

$$\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{234x^{11}y}{26x^7y}}\qquad \text{Combine numerator and denominator into one radical expression}\\ &\sqrt{9x^4}\qquad \text{Simplify fraction}\\ &3x^2\qquad \text{Simplify square root} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Simplificar$\dfrac{\sqrt{9a^5b^{14}}}{\sqrt{3a^4b^5}}$

Responder

$b^4\sqrt{3ab}$

Sumando y restando raíces cuadradas

Podemos sumar o restar expresiones radicales sólo cuando tienen el mismo radicando y cuando tienen el mismo tipo radical como las raíces cuadradas. Por ejemplo, la suma de$\sqrt{2}$ y$3\sqrt{2}$ es$4\sqrt{2}$. Sin embargo, a menudo es posible simplificar las expresiones radicales, y eso puede cambiar el radicando. La expresión radical se$\sqrt{18}$ puede escribir con un$2$ en el radicando, como$3\sqrt{2}$, así$\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Cómo: Dada una expresión radical que requiere suma o resta de raíces cuadradas, resolver

1. Simplifica cada expresión radical.
2. Sumar o restar expresiones con radicandos iguales.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Adding Square Roots

Agregar$5\sqrt{12}+2\sqrt{3}$.

Solución

Podemos reescribir$5\sqrt{12}$ como$5\sqrt{4\times3}$. De acuerdo con la regla del producto, esto se convierte en$5\sqrt{4}\sqrt{3}$. La raíz cuadrada de$\sqrt{4}$ es$2$, así la expresión se convierte$5\times2\sqrt{3}$, que es$10\sqrt{3}$. Ahora podemos los términos tener el mismo radicand así podemos agregar.

$$10\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3} \nonumber$$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Agregar$\sqrt{5}+6\sqrt{20}$

Responder

$13\sqrt{5}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Subtracting Square Roots

Restar$20\sqrt{72a^3b^4c}-14\sqrt{8a^3b^4c}$

Solución

Reescribe cada término para que tengan radicandos iguales.

$$\begin{align*} 20\sqrt{72a^3b^4c} &= 20\sqrt{9}\sqrt{4}\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 20(3)(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 120|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

$$\begin{align*} 14\sqrt{8a^3b^4c} &= 14\sqrt{2}\sqrt{4}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 14(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 28|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

Ahora los términos tienen el mismo radicando así podemos restar.

$$120|a|b^2\sqrt{2ac}-28|a|b^2\sqrt{2ac}=92|a|b^2\sqrt{2ac}$$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Restar$3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}$

Responder

$0$

Racionalización de denominadores

Cuando una expresión que involucra radicales de raíz cuadrada se escribe en la forma más simple, no contendrá un radical en el denominador. Podemos eliminar radicales de los denominadores de fracciones mediante un proceso llamado racionalización del denominador.

Sabemos que multiplicar por$1$ no cambia el valor de una expresión. Utilizamos esta propiedad de multiplicación para cambiar expresiones que contienen radicales en el denominador. Para eliminar radicales de los denominadores de fracciones, multiplicar por la forma de$1$ que eliminará al radical.

Para un denominador que contenga un solo término, multiplique por el radical en el denominador sobre sí mismo. Es decir, si el denominador es$b\sqrt{c}$, multiplicar por$\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$.

Para un denominador que contenga la suma o diferencia de un término racional y uno irracional, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que se encuentra cambiando el signo de la porción radical del denominador. Si el denominador es$a+b\sqrt{c}$, entonces el conjugado es$a-b\sqrt{c}$.

HowTo: Dada una expresión con un solo término radical de raíz cuadrada en el denominador, racionalizar el denominador

1. Multiplique el numerador y el denominador por el radical en el denominador.
2. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{10}$: Rationalizing a Denominator Containing a Single Term

Escribe$\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}$ en la forma más simple.

Solución

El radical en el denominador es$\sqrt{10}$. Entonces multiplicar la fracción por$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$. Entonces simplifique.

$$\begin{align*} &\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\times\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\ &\dfrac{2\sqrt{30}}{30}\\ &\dfrac{\sqrt{30}}{15} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Escribe$\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ en la forma más simple.

Responder

$6\sqrt{6}$

Cómo: Dada una expresión con un término radical y una constante en el denominador, racionalizar el denominador

1. Encuentra el conjugado del denominador.
2. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
3. Utilice la propiedad distributiva.
4. Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{11}$: Rationalizing a Denominator Containing Two Terms

Escribe$\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}$ en la forma más simple.

Solución

Comience por encontrar el conjugado del denominador escribiendo el denominador y cambiando el signo. Entonces el conjugado de$1+\sqrt{5}$ es$1-\sqrt{5}$. Después multiplicar la fracción por$\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$.

$$\begin{align*} &\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\times\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\\ &\dfrac{4-4\sqrt{5}}{-4}\qquad \text{Use the distributive property}\\ &\sqrt{5}-1\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Escribe$\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}$ en la forma más simple.

Responder

$14-7\sqrt{3}$

Uso de raíces racionales

Aunque las raíces cuadradas son las raíces racionales más comunes, también podemos encontrar raíces cúbicas,$4^{th}$$5^{th}$ raíces, raíces y más. Así como la función de raíz cuadrada es la inversa de la función de cuadratura, estas raíces son la inversa de sus respectivas funciones de potencia. Estas funciones pueden ser útiles cuando necesitamos determinar el número que, cuando se eleva a una determinada potencia, da un cierto número.

Entender $n^{th}$las raíces

Supongamos que sabemos eso$a^3=8$. Queremos encontrar a qué número elevado a la$3^{rd}$ potencia es igual$8$. Ya que$2^3=8$, decimos que$2$ es la raíz cúbica de$8$.

La$n^{th}$ raíz de$a$ es un número que, cuando se eleva al$n^{th}$ poder, da a. por ejemplo,$−3$ es la$5^{th}$ raíz de$−243$ porque${(-3)}^5=-243$. Si$a$ es un número real con al menos una$n^{th}$ raíz, entonces la$n^{th}$ raíz principal de$a$ es el número con el mismo signo$a$ que ese, cuando se eleva a la$n^{th}$ potencia, es igual$a$.

La$n^{th}$ raíz principal de$a$ se escribe como$\sqrt[n]{a}$, donde$n$ es un entero positivo mayor o igual a$2$. En la expresión radical,$n$ se llama el índice del radical.

Nota: Principal$n^{th}$ Root

Si$a$ es un número real con al menos una$n^{th}$ raíz, entonces la $n^{th}$raíz principal de$a$, escrito como$\sqrt[n]{a}$, es el número con el mismo signo$a$ que ese, cuando se eleva a la$n^{th}$ potencia, es igual$a$. El índice del radical es$n$.

Ejemplo$\PageIndex{12}$: Simplifying $n^{th}$ Roots

Simplifica cada una de las siguientes opciones:

1. $\sqrt[5]{-32}$
2. $\sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{10234}$
3. $-\sqrt[3]{\dfrac{8x^6}{125}}$
4. $8\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{48}$

Solución

a.$\sqrt[5]{-32}=-2$ porque$(-2)^5=-32$

b. primero, expresar el producto como una sola expresión radical. $\sqrt[4]{4096}=8$porque$8^4=4096$

c. $$\begin{align*} &\dfrac{-\sqrt[3]{8x^6}}{\sqrt[3]{125}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{-2x^2}{5}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

d. $$\begin{align*} &8\sqrt[4]{3}-2\sqrt[4]{3}\qquad \text{Simplify to get equal radicands}\\ &6\sqrt[4]{3}\qquad \text{Add} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Simplificar

1. $\sqrt[3]{-216}$
2. $\dfrac{3\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$
3. $6\sqrt[3]{9000}+7\sqrt[3]{576}$

Responder a

$-6$

Respuesta b

$6$

Respuesta c

$88\sqrt[3]{9}$

Uso de exponentes racionales

Las expresiones radicales también se pueden escribir sin usar el símbolo radical. Podemos usar exponentes racionales (fraccionarios). El índice debe ser un entero positivo. Si el índice$n$ es par, entonces a no puede ser negativo.

$$a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$

También podemos tener exponentes racionales con numeradores distintos a$1$. En estos casos, el exponente debe ser una fracción en términos más bajos. Elevamos la base a un poder y tomamos una enésima raíz. El numerador nos dice el poder y el denominador nos dice la raíz.

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Todas las propiedades de los exponentes que aprendimos para los exponentes enteros también se mantienen para los exponentes racionales.

Nota: Exponentes racionales

Los exponentes racionales son otra forma de expresar$n^{th}$ raíces principales. La forma general para convertir entre una expresión radical con un símbolo radical y otra con un exponente racional es

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Cómo: Dada una expresión con un exponente racional, escribir la expresión como radical

1. Determinar la potencia mirando el numerador del exponente.
2. Determinar la raíz observando el denominador del exponente.
3. Usando la base como radicando, elevar el radicando al poder y usar la raíz como índice.

Ejemplo$\PageIndex{13}$: Writing Rational Exponents as Radicals

Escribir$343^{\tfrac{2}{3}}$ como radical. Simplificar.

Solución

El nos$2$ dice el poder y el nos$3$ dice la raíz.

$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=\sqrt[3]{{343}^2}$

Eso lo sabemos$\sqrt[3]{343}=7$ porque$7^3 =343$. Debido a que la raíz cúbica es fácil de encontrar, es más fácil encontrar la raíz cúbica antes de cuadrar para este problema. En general, es más fácil encontrar primero la raíz y luego elevarla a una potencia.

$$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=7^2=49$$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Escribir$9^{\tfrac{5}{2}}$ como radical. Simplificar.

Responder

${(\sqrt{9})}^5=3^5=243$

Ejemplo$\PageIndex{14}$: Writing Radicals as Rational Exponents

Escribir$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}$ usando un exponente racional.

Solución

El poder es$2$ y la raíz es$7$, así será el exponente racional$\dfrac{2}{7}$. Obtenemos$\dfrac{4}{a^{\tfrac{2}{7}}}$. Usando propiedades de exponentes, obtenemos$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}=4a^{\tfrac{-2}{7}}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Escribir$x\sqrt{{(5y)}^9}$ usando un exponente racional.

Responder

$x(5y)^{\dfrac{9}{2}}$

Ejemplo$\PageIndex{15}$: Simplifying Rational Exponents

Simplificar:

a.$5(2x^{\tfrac{3}{4}})(3x^{\tfrac{1}{5}})$

b.$\left(\dfrac{16}{9}\right)^{-\tfrac{1}{2}}$

Solución

a.

$$\begin{align*} &30x^{\tfrac{3}{4}}\: x^{\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Multiply the coefficients}\\ &30x^{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Use properties of exponents}\\ &30x^{\tfrac{19}{20}}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

b.

$$\begin{align*} &{\left(\dfrac{9}{16}\right)}^{\tfrac{1}{2}}\qquad \text{Use definition of negative exponents}\\ &\sqrt{\dfrac{9}{16}}\qquad \text{Rewrite as a radical}\\ &\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\qquad \text{Use the quotient rule}\\ &\dfrac{3}{4}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Simplificar${(8x)}^{\tfrac{1}{3}}\left(14x^{\tfrac{6}{5}}\right)$

Responder

$28x^{\tfrac{23}{15}}$

Medios

Acceda a estos recursos en línea para una instrucción adicional y práctica con radicales y exponentes racionales.

Radicales

Exponentes racionales

Simplificar los radicales

Racionalizar denominador

Conceptos clave

• La raíz cuadrada principal de un número \(a\)es el número no negativo que cuando se multiplica por sí mismo es igual$a$ . Ver Ejemplo.
• Si \(a\)y no$b$ son negativos, la raíz cuadrada del producto$ab$ es igual al producto de las raíces cuadradas de$a$ y$b$ Ver Ejemplo y Ejemplo.
• Si \(a\)y no$b$ son negativos, la raíz cuadrada del cociente$\dfrac{a}{b}$ es igual al cociente de las raíces cuadradas de$a$ y$b$ Ver Ejemplo y Ejemplo.
• Podemos sumar y restar expresiones radicales si tienen el mismo radicando y el mismo índice. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• Las expresiones radicales escritas en la forma más simple no contienen un radical en el denominador. Para eliminar el radical raíz cuadrada del denominador, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• La$n^{th}$ raíz principal de$a$ es el número con el mismo signo$a$ que cuando se eleva a la$n^{th}$ potencia igual$a$. Estas raíces tienen las mismas propiedades que las raíces cuadradas. Ver Ejemplo.
• Los radicales se pueden reescribir como exponentes racionales y los exponentes racionales se pueden reescribir como radicales. Ver Ejemplo y Ejemplo.
• Las propiedades de los exponentes se aplican a los exponentes racionales. Ver Ejemplo.

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