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LibreTexts Español

10.5: Forma polar de números complejos

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Objetivos de aprendizaje
  • Trazar números complejos en el plano complejo.
  • Encuentra el valor absoluto de un número complejo.
  • Escribe números complejos en forma polar.
  • Convierte un número complejo de forma polar a rectangular.
  • Encuentra productos de números complejos en forma polar.
  • Encuentra cocientes de números complejos en forma polar.
  • Encuentra potencias de números complejos en forma polar.
  • Encuentra raíces de números complejos en forma polar.

“Dios hizo los enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta cita bastante famosa del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker prepara el escenario para esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por la gente y representan más de mil años de continua investigación y lucha de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss, y otros. Los números complejos respondieron preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más grandes de la ciencia.

Primero encontramos números complejos en la sección de Números Complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajar con números complejos: traducción de números complejos de forma polar a forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del Teorema de De Moivre.

Trazado de números complejos en el plano complejo

Trazar un número complejoa+bi es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del númeroa, y el eje vertical representa la parte imaginaria del número,bi.

Cómo: Dado un número complejoa+bi, plot it in the complex plane.
  1. Etiquetar el eje horizontal como el eje real y el eje vertical como el eje imaginario.
  2. Trace el punto en el plano complejo moviendoa las unidades en la dirección horizontal yb las unidades en la dirección vertical.
Ejemplo10.5.1: Plotting a Complex Number in the Complex Plane

Trazar el número complejo23i en el plano complejo.

Solución

Desde el origen, mover dos unidades en la dirección horizontal positiva y tres unidades en la dirección vertical negativa. Ver Figura10.5.1.

Trama de 2-3i en el plano complejo (2 a lo largo del eje real, -3 a lo largo del eje imaginario).
Figura10.5.1
Ejercicio10.5.1

Trazar el punto1+5i en el plano complejo.

Contestar
Trama de 1+5i en el plano complejo (1 a lo largo del eje real, 5 a lo largo del eje imaginario).
Figura10.5.2

Encontrar el valor absoluto de un número complejo

El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es encontrar el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud, o|z|. Mide la distancia desde el origen hasta un punto en el plano. Por ejemplo, la gráfica dez=2+4i, en la Figura10.5.3, muestra|z|.

Parcela de 2+4i en el plano complejo y su magnitud, |z| = rad 20.
Figura10.5.3
Valor absoluto de un número complejo

Dadoz=x+yi, un número complejo, el valor absoluto dez se define como

|z|=x2+y2

Es la distancia desde el origen hasta el punto(x,y).

Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde0, mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen,(0,0).

Ejemplo10.5.2: Finding the Absolute Value of a Complex Number with a Radical

Encuentra el valor absoluto dez=5i.

Solución

Usando la fórmula, tenemos

|z|=x2+y2|z|=(5)2+(1)2|z|=5+1|z|=6

Ver Figura10.5.4.

Parcela de z= (rad5 - i) en el plano complejo y su magnitud rad6.
Figura10.5.4
Ejercicio10.5.2

Encuentra el valor absoluto del número complejoz=125i.

Contestar

13

Ejemplo10.5.3: Finding the Absolute Value of a Complex Number

Dadoz=34i, encuentra|z|.

Solución

Usando la fórmula, tenemos

|z|=x2+y2|z|=(3)2+(4)2|z|=9+16|z|=25|z|=5

El valor absolutoz es5. Ver Figura10.5.5.

Parcela de (3-4i) en el plano complejo y su magnitud |z| =5.
Figura10.5.5
Ejercicio10.5.3

Dadoz=17i, encuentra|z|.

Contestar

|z|=50=52

Escribir números complejos en forma polar

La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ánguloθ y su distancia desde el origenr. Dado un número complejo en forma rectangular expresado comoz=x+yi, utilizamos las mismas fórmulas de conversión que hacemos para escribir el número en forma trigonométrica:

x=rcosθy=rsinθr=x2+y2

Revisamos estas relaciones en la Figura10.5.6.

Triángulo trazado en el plano complejo (el eje x es real, el eje y es imaginario). La base está a lo largo del eje x/real, la altura es algún valor y/imaginario en Q 1, y la hipotenusa r se extiende desde el origen hasta ese punto (x+yi) en Q 1. El ángulo en el origen es theta. Hay un arco que atraviesa (x+yi).
Figura10.5.6

Utilizamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo, o la distancia desde el origen hasta el punto(x,y). El módulo, entonces, es el mismo quer, el radio en forma polar. Usamosθ para indicar el ángulo de dirección (al igual que con las coordenadas polares). Sustituyendo, tenemos

z=x+yiz=rcosθ+(rsinθ)iz=r(cosθ+isinθ)

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO

Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión:

x=rcosθy=rsinθr=x2+y2

Haciendo una sustitución directa, tenemos

z=x+yiz=(rcosθ)+i(rsinθ)z=r(cosθ+isinθ)

donder está el módulo yθ es el argumento. A menudo usamos la abreviaturarcisθ para representarr(cosθ+isinθ).

Ejemplo10.5.4: Expressing a Complex Number Using Polar Coordinates

Exprese el número complejo4i usando coordenadas polares.

Solución

En el plano complejo, el númeroz=4i es el mismo quez=0+4i. Escribiéndolo en forma polar, tenemos que calcularr primero.

r=x2+y2r=02+42r=16r=4

A continuación, nos fijamos enx. Six=rcosθ, yx=0, entoncesθ=π2. En coordenadas polares, el número complejo sez=0+4i puede escribir comoz=4(cos(π2)+isin(π2)) or 4cis(π2). Ver Figura10.5.7.

Trama de z=4i en el plano complejo, también muestra que la coordenada en polar sería (4, pi/2).
Figura10.5.7
Ejercicio10.5.4

Expresoz=3i comor cisθ en forma polar.

Contestar

z=3(cos(π2)+isin(π2))

Ejemplo10.5.5: Finding the Polar Form of a Complex Number

Encuentra la forma polar de4+4i.

Solución

Primero, encuentra el valor der.

r=x2+y2r=(4)2+(42)r=32r=42

Encuentra el ánguloθ usando la fórmula:

cosθ=xrcosθ=442cosθ=12θ=cos1(12)=3π4

Así, la solución es42 cis(3π4).

Ejercicio10.5.5

Escribirz=3+i en forma polar.

Contestar

z=2(cos(π6)+isin(π6))

Conversión de un número complejo de forma polar a rectangular

Convertir un número complejo de forma polar a forma rectangular es una cuestión de evaluar lo que se da y usar la propiedad distributiva. En otras palabras, dadoz=r(cosθ+isinθ), primero evaluar las funciones trigonométricascosθ ysinθ. Entonces, multiplicar porr.

Ejemplo10.5.6A: Converting from Polar to Rectangular Form

Convertir la forma polar del número complejo dado a forma rectangular:

z=12(cos(π6)+isin(π6))

Solución

Comenzamos evaluando las expresiones trigonométricas.

cos(π6)=32 and sin(π6)=12After substitution, the complex number isz=12(32+12i)

Aplicamos la propiedad distributiva:

z=12(32+12i)=(12)32+(12)12i=63+6i

La forma rectangular del punto dado en forma compleja es63+6i.

Ejemplo10.5.6B: Finding the Rectangular Form of a Complex Number

Encuentra la forma rectangular del número complejo dador=13 ytanθ=512.

Solución

Sitanθ=512, ytanθ=yx, primero determinamosr=x2+y2=122+52=13. Luego encontramoscosθ=xr ysinθ=yr.

z=13(cosθ+isinθ)=13(1213+513i)=12+5i

La forma rectangular del número dado en forma compleja es12+5i.

Ejercicio10.5.6

Convertir el número complejo a forma rectangular:

z=4(cos11π6+isin11π6)

Contestar

z=232i

Encontrar productos de números complejos en forma polar

Ahora que podemos convertir números complejos a forma polar aprenderemos a realizar operaciones en números complejos en forma polar. Para el resto de esta sección, trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, poderes y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parecen. Las reglas se basan en multiplicar los módulos y agregar los argumentos.

PRODUCTOS DE NUMEROS COMPLETOS EN FORMA POLAR

Siz1=r1(cosθ1+isinθ1) yz2=r2(cosθ2+isinθ2), entonces el producto de estos números se da como:

z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2 cis(θ1+θ2)

Observe que el producto requiere multiplicar los módulos y sumar los ángulos.

Ejemplo10.5.7: Finding the Product of Two Complex Numbers in Polar Form

Encuentra el producto dez1z2, dadoz1=4(cos(80°)+isin(80°)) yz2=2(cos(145°)+isin(145°)).

Solución

Sigue la fórmula

z1z2=42[cos(80°+145°)+isin(80°+145°)]z1z2=8[cos(225°)+isin(225°)]z1z2=8[cos(5π4)+isin(5π4)]z1z2=8[22+i(22)]z1z2=424i2

Encontrar cocientes de números complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.

COCIENTES DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Siz1=r1(cosθ1+isinθ1) yz2=r2(cosθ2+isinθ2), entonces el cociente de estos números es

z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)], z20

z1z2=r1r2 cis(θ1θ2), z20

Observe que los módulos están divididos, y se restan los ángulos.

Cómo: Dados dos números complejos en forma polar, encontrar el cociente
  1. Dividirr1r2.
  2. Encuentraθ1θ2.
  3. Sustituir los resultados por la fórmula:z=r(cosθ+isinθ). Reemplazarr conr1r2, y reemplazarθ conθ1θ2.
  4. Calcular las nuevas expresiones trigonométricas y multiplicar porr.
Ejemplo10.5.8: Finding the Quotient of Two Complex Numbers

Encuentra el cociente dez1=2(cos(213°)+isin(213°)) yz2=4(cos(33°)+isin(33°)).

Solución

Usando la fórmula, tenemos

z1z2=24[cos(213°33°)+isin(213°33°)]z1z2=12[cos(180°)+isin(180°)]z1z2=12[1+0i]z1z2=12+0iz1z2=12

Ejercicio10.5.8

Encuentra el producto y el cociente dez1=23(cos(150°)+isin(150°)) yz2=2(cos(30°)+isin(30°)).

Contestar

z1z2=43;z1z2=32+32i

Encontrar poderes de números complejos en forma polar

Encontrar poderes de números complejos se simplifica enormemente usando el teorema de De Moivre. Afirma que, para un entero positivon,zn se encuentra elevando el módulo a lanth potencia y multiplicando el argumento porn. Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.

TEORIMA DE MOIVRE

Siz=r(cosθ+isinθ) es un número complejo, entonces

zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]zn=rn cis(nθ)

donden es un entero positivo.

Ejemplo10.5.9: Evaluating an Expression Using De Moivre’s Theorem

Evaluar la expresión(1+i)5 usando el Teorema de De Moivre.

Solución

Dado que el Teorema de De Moivre se aplica a números complejos escritos en forma polar, primero debemos escribir(1+i) en forma polar. Vamos a encontrarr.

r=x2+y2r=(1)2+(1)2r=2

Entonces nos encontramosθ. El uso de la fórmulatanθ=yx da

tanθ=11tanθ=1θ=π4

Utilice el Teorema de De Moivre para evaluar la expresión.

(a+bi)n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](1+i)5=(2)5[cos(5π4)+isin(5π4)](1+i)5=42[cos(5π4)+isin(5π4)](1+i)5=42[22+i(22)](1+i)5=44i

Encontrar raíces de números complejos en forma polar

Para encontrar lanth raíz de un número complejo en forma polar, utilizamos el Teorema de lanth Raíz o Teorema de De Moivre y elevamos el número complejo a una potencia con un exponente racional. Existen varias formas de representar una fórmula para encontrarnth raíces de números complejos en forma polar.

ELNTH ROOT THEOREM

Para encontrar lanth raíz de un número complejo en forma polar, utilice la fórmula dada como

z1n=r1n[cos(θn+2kπn)+isin(θn+2kπn)]

dondek=0,1,2,3,...,n1. Agregamos2kπnθn a para obtener las raíces periódicas.

la raíz de un número complejo

Evaluar las raíces cubicas dez=8(cos(2π3)+isin(2π3)).

Solución

Tenemos

z13=813[cos(2π33+2kπ3)+isin(2π33+2kπ3)]z13=2[cos(2π9+2kπ3)+isin(2π9+2kπ3)]

Habrá tres raíces:k=0,1,2. Cuandok=0, tenemos

z13=2(cos(2π9)+isin(2π9))

Cuandok=1, tenemos

z13=2[cos(2π9+6π9)+isin(2π9+6π9)]Add 2(1)π3 to each angle.z13=2(cos(8π9)+isin(8π9))

Cuandok=2, tenemos

z13=2[cos(2π9+12π9)+isin(2π9+12π9)]Add 2(2)π3 to each angle.z13=2(cos(14π9)+isin(14π9))

Recuerda encontrar el denominador común para simplificar fracciones en situaciones como esta. Parak=1, la simplificación del ángulo es

2π33+2(1)π3=2π3(13)+2(1)π3(33)=2π9+6π9=8π9

Ejercicio10.5.10

Encuentra las cuatro cuartas raíces de16(cos(120°)+isin(120°)).

Contestar

z0=2(cos(30°)+isin(30°))

z1=2(cos(120°)+isin(120°))

z2=2(cos(210°)+isin(210°))

z3=2(cos(300°)+isin(300°))

Medios

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con formas polares de números complejos.

  • El producto y cociente de números complejos en forma trigonométrica
  • Teorema de De Moivre

Conceptos clave

  • Los números complejos en la formaa+bi se trazan en el plano complejo de manera similar a la forma en que se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Etiquetar elx eje -como el eje real y el ejey - como el eje imaginario. Ver Ejemplo10.5.1.
  • El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia desde el origen hasta el punto:|z|=a2+b2. Ver Ejemplo10.5.2 y Ejemplo10.5.3.
  • Para escribir números complejos en forma polar, utilizamos las fórmulasx=rcosθ,y=rsinθ, yr=x2+y2. Entonces,z=r(cosθ+isinθ). Ver Ejemplo10.5.4 y Ejemplo10.5.5.
  • Para convertir de forma polar a forma rectangular, primero evalúe las funciones trigonométricas. Entonces, multiplicar porr. Ver Ejemplo10.5.6 y Ejemplo10.5.7.
  • Para encontrar el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evaluar las funciones trigonométricas y multiplicar usando la propiedad distributiva. Ver Ejemplo10.5.8.
  • Para encontrar el cociente de dos números complejos en forma polar, encuentre el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Ver Ejemplo10.5.9.
  • Para encontrar el poder de un número complejozn, elevarr al podern, y multiplicarθ porn. Ver Ejemplo10.5.10.
  • Encontrar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Ver Ejemplo10.5.11.

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