1.1: Grupos

Cuando la teoría de grupos se introdujo en el formalismo de la mecánica cuántica a fines de la década de 1920 para resolver problemas espectroscópicos abstrusos, se consideró que era la rama más dura y poco bienvenida de la física matemática. Desde ese tiempo la teoría de grupos se ha simplificado y popularizado y se practica ampliamente en muchas ramas de la física, aunque esta práctica todavía se limita principalmente a problemas difíciles donde otros métodos fallan.

En contraste, quiero recalcar que la teoría de grupos también tiene aspectos simples que resultan ser eminentemente útiles para la presentación sistemática del material de este curso.

Posponer por un tiempo la definición precisa, - declaramos algo vagamente que llamamos a un conjunto de elementos un grupo si está cerrado con respecto a una sola operación binaria generalmente llamada multiplicación. Esta multiplicación es, en general, no debe tomarse en el sentido común de la palabra, y no necesita ser conmutativa. Es, sin embargo, asociativo e invertible.

La interpretación más común de tal operación es una transformación. Digamos, las traducciones y rotaciones del espacio euclidiano; las transformaciones que mantienen la simetría de un objeto como un cubo o una esfera. Las transformaciones que conectan los hallazgos de diferentes observadores inerciales entre sí.

Con alguna formación reconocemos a los grupos en cualquier lugar que miremos. Así podemos considerar el grupo de desplazamiento de un cuerpo rígido, y también cualquier subconjunto particular de estos desplazamientos que surgen en el transcurso de un movimiento particular.

Veremos efectivamente, que la teoría de grupos proporciona una terminología que es invaluable para la discusión precisa e intuitiva de los principios más elementales y fundamentales de la física. En cuanto a la discusión de problemas específicos nos concentraremos en aquellos que puedan manejarse adecuadamente estirando los métodos elementales, y no invocaremos resultados teóricos grupales avanzados. Por lo tanto, pasamos ahora a un breve esbozo de las principales definiciones y teoremas que necesitaremos en la secuela.

Consideremos un conjunto de elementos\(A, B, C, \cdots\) y una operación binaria que tradicionalmente se llama “multiplicación”. Nos referimos a este conjunto como un grupo\(\mathcal{G}\) si se cumplen los siguientes requisitos.

1. Para cualquier par ordenado, A, B hay un producto\(AB = C\). El conjunto se cierra con respecto a la multiplicación.
2. La ley asociativa sostiene:\((AB)C = A(BC)\).
3. Hay un elemento unitario\(E \in \mathcal{G}\) tal que\(EA = AE = A\) para todos\(A \in \mathcal{G}\).
4. Para cada elemento A hay una inversa\(A^{-1}\) con\(A^{-1}A = AA^{-1} = E\).

La multiplicación no necesita ser conmutativa. Si lo es, el grupo se llama Abelian.

El número de elementos en\(\mathcal{G}\) se llama el orden del grupo. Esto puede ser finito o infinito, denumerable o continuo.

Si un subconjunto de\(\mathcal{G}\) satisface los postulados del grupo, se llama subgrupo.

1.1.1 Criterio para subgrupos

Si un subconjunto de los elementos de un grupo de orden finito\(\mathcal{G}\) se cierra bajo multiplicación, entonces es un subgrupo de\(\mathcal{G}\).

Demostrar que los postulados grupales están satisfechos. Discutir el caso de grupos de orden infinito.

Para explicar el uso de estos conceptos enumeramos algunos ejemplos de conjuntos elegidos de diversas ramas de las matemáticas de interés en la física, para los cuales son válidos los postulados grupales.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El conjunto de enteros (positivo, negativo y cero) es un grupo abeliano de orden infinito donde la suma común juega el papel de multiplicación. El cero sirve como la unidad y la inversa de a es\(-a\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

El conjunto de permutaciones de n objetos, llamado también el grupo simétrico\(\mathcal{S}(n)\), es de orden\(n!\). Es no abeliano para\(n > 2\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El conjunto infinito de\(n \times n\) matrices con determinantes que no se desvanecen. La operación es multiplicación matricial; en general no conmutativa.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

El conjunto de operaciones de cobertura de un objeto simétrico como un prisma rectangular (cuatro grupos), un triángulo regular, tetraedro, un cubo o una esfera, por mencionar sólo algunos casos importantes. Expresando la simetría de un objeto, se les llama grupos de simetría. Multipli catión de dos elementos significa que las operaciones correspondientes se llevan a cabo en una secuencia definida. Salvo el primer caso, estos grupos son no abelianos.

Las definiciones concretas dadas anteriormente especifican la regla de multiplicación para cada grupo. Para grupos finitos los resultados se representan convenientemente en tablas de multiplicación, de las cuales se extrae toda la estructura del grupo. Se reconoce por ejemplo que algunos de los grupos de operaciones de cobertura enumerados en (4) son subgrupos de otros.

Es fácil probar el teorema del reordenamiento: En la tabla de multiplicación cada columna o fila contiene cada elemento una vez y sólo una vez. Este teorema es muy útil en la configuración de tablas de multiplicación. (¡Ayuda a detectar errores!)

1.1.2 Grupos cíclicos

Para un elemento arbitrario A de una\(\mathcal{G}\) forma finita la secuencia:\(A, A^{2}, A^{3} \cdots\), deje que los números de elementos distintos en la secuencia sean p. Es fácil demostrarlo\(A^{p} = E\). La secuencia

\[\begin{array}{c} {A, A^{2}, \cdots, A^{p} = E} \end{array}\]

se llama el periodo de A; p es el orden de A. El periodo es un grupo abeliano, un subgrupo de\(\mathcal{G}\). Puede ser idéntico a él, en cuyo caso\(\mathcal{G}\) se denomina grupo cíclico.

Corolario

Dado que los periodos son subgrupos, el orden de cada elemento es un divisor del orden del grupo.

1.1.3 Cosets

Dejar\(\mathcal{H}\) ser un subgrupo de\(\mathcal{G}\) con elementos\(E, H_{2}, \cdots H_{h}\); el conjunto de elementos

\[\begin{array}{c} {EA, H_{2}A, \cdots , H_{h}A} \end{array}\]

se llama un coset derecho\(\mathcal{H}_{A}\) siempre que A no esté en\(\mathcal{H}\). Se demuestra fácilmente que se\(\mathcal{G}\) puede descomponer como

\[\begin{array}{c} {G = HE + H_{A2} + H_{Ah}} \end{array}\]

en cosets distintos, cada uno de los cuales contiene h elementos. De ahí que el orden g del grupo sea

\[\begin{array} {ccc} {g = hk} & {\text{and}} & {h = g/k} \end{array}\].

Así conseguimos el importante resultado de que el orden de un subgrupo es un divisor del orden del grupo. Tenga en cuenta que los coconjuntos no son subgrupos excepto para los\(\mathcal{H}_{E} = \mathcal{H}\) que por sí solos contiene el elemento unidad.

Se mantienen resultados similares para cosets izquierdos.

1.1.4 Elementos Conjugados y Clases

\(XAX^{-1}\)Se dice que el elemento es un elemento conjugado con A. La relación de ser conjugado es reflexiva, simétrica y transitiva. Por lo tanto, los elementos conjugados entre sí forman una clase.

Un solo elemento A determina toda la clase:

\[\begin{array}{c} {EAE^{-1} = A, A_{2}AA_{2}^{-1}, \cdots ,A_{3}AA_{3}^{-1}} \end{array}\]

Aquí todos los elementos ocurren al menos una vez, posiblemente más de una vez. Los elementos del grupo se pueden dividir en clases, y cada elemento aparece en una y sólo una clase.

En el caso de grupos de operaciones de cobertura de objetos simétricos, los elementos de la misma clase corresponden a rotaciones por el mismo ángulo alrededor de diferentes ejes que se transforman entre sí por operaciones de simetría.

Por ejemplo, los tres planos especulares del triángulo regular están en la misma clase y también lo son las cuatro rotaciones por\(2\pi / 3\) en un tetraedro, o las ocho rotaciones por\(\pm 2\pi / 3\) en un cubo.

Ocurre que los elementos de dos grupos definidos en diferentes términos conceptuales están en relación uno-uno entre sí y obedecen las mismas reglas de multiplicación. Un caso en punto es el grupo de permutación\(\mathcal{S}(3)\) y el grupo de simetría del triángulo regular. Tales grupos se llaman isomórficos. El reconocimiento de los isomorfismos puede conducir a nuevos conocimientos y a economías prácticas en el estudio de grupos individuales.

Se confirma en los ejemplos anteriores que el término “multiplicación” no debe tomarse en sentido literal. Lo que suele entenderse es la realización de operaciones en una secuencia determinada, situación que surge en muchos contextos prácticos y teóricos.

Las operaciones en cuestión suelen ser transformaciones en el espacio ordinario, o en algún espacio abstracto (digamos, el espacio de configuración de un objeto de interés). Para describir estas transformaciones de manera cuantitativa, es importante desarrollar un formalismo algebraico que se ocupe de los espacios vectoriales.

Sin embargo, antes de pasar a los desarrollos algebraicos en la Sección 2.3, consideramos primero una discusión puramente geométrica del grupo de rotación en el espacio tridimensional ordinario.