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# 4.5: Ejercicios

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## 1

Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones.

1. Todos los generadores de$${\mathbb Z}_{60}$$ son primos.
2. $$U(8)$$es cíclico.
3. $${\mathbb Q}$$es cíclico.
4. Si cada subgrupo apropiado de un grupo$$G$$ es cíclico, entonces$$G$$ es un grupo cíclico.
5. Un grupo con un número finito de subgrupos es finito.

## 2

Encuentra el orden de cada uno de los siguientes elementos.

1. $$\displaystyle 5 \in {\mathbb Z}_{12}$$
2. $$\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}$$
3. $$\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast$$
4. $$\displaystyle -i \in {\mathbb C}^\ast$$
5. $$\displaystyle 72 \in {\mathbb Z}_{240}$$
6. $$\displaystyle 312 \in {\mathbb Z}_{471}$$

## 3

Enumere todos los elementos en cada uno de los siguientes subgrupos.

1. El subgrupo de$${\mathbb Z}$$ generado por$$7$$
2. El subgrupo de$${\mathbb Z}_{24}$$ generado por$$15$$
3. Todos los subgrupos de$${\mathbb Z}_{12}$$
4. Todos los subgrupos de$${\mathbb Z}_{60}$$
5. Todos los subgrupos de$${\mathbb Z}_{13}$$
6. Todos los subgrupos de$${\mathbb Z}_{48}$$
7. El subgrupo generado por 3 en$$U(20)$$
8. El subgrupo generado por 5 en$$U(18)$$
9. El subgrupo de$${\mathbb R}^\ast$$ generado por$$7$$
10. El subgrupo de$${\mathbb C}^\ast$$ generado por$$i$$ donde$$i^2 = -1$$
11. El subgrupo de$${\mathbb C}^\ast$$ generado por$$2i$$
12. El subgrupo de$${\mathbb C}^\ast$$ generado por$$(1 + i) / \sqrt{2}$$
13. El subgrupo de$${\mathbb C}^\ast$$ generado por$$(1 + \sqrt{3}\, i) / 2$$

## 4

Encuentra los subgrupos de$$GL_2( {\mathbb R })$$ generados por cada una de las siguientes matrices.

1. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
2. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$$
3. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
4. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
5. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
6. $$\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$$

## 5

Encuentra el orden de cada elemento en$${\mathbb Z}_{18}\text{.}$$

## 6

Encuentra el orden de cada elemento en el grupo de simetría del cuadrado,$$D_4\text{.}$$

## 7

¿Cuáles son todos los subgrupos cíclicos del grupo de cuaterniones?$$Q_8\text{?}$$

## 8

Listar todos los subgrupos cíclicos de$$U(30)\text{.}$$

## 9

Enumere cada generador de cada subgrupo de orden 8 en$${\mathbb Z}_{32}\text{.}$$

## 10

Encuentra todos los elementos de orden finito en cada uno de los siguientes grupos. Aquí el “$$\ast$$” indica el conjunto con cero eliminado.

1. $$\displaystyle {\mathbb Z}$$
2. $$\displaystyle {\mathbb Q}^\ast$$
3. $$\displaystyle {\mathbb R}^\ast$$

## 11

Si$$a^{24} =e$$ en un grupo$$G\text{,}$$ cuáles son las órdenes posibles de$$a\text{?}$$

## 12

Encuentra un grupo cíclico con exactamente un generador. ¿Se pueden encontrar grupos cíclicos con exactamente dos generadores? ¿Cuatro generadores? ¿Qué tal$$n$$ los generadores?

## 13

$$n \leq 20\text{,}$$¿Para qué grupos$$U(n)$$ son cíclicos? Hacer una conjetura en cuanto a lo que es cierto en general. ¿Puedes probar tu conjetura?

## 14

Let

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \nonumber$

ser elementos en$$GL_2( {\mathbb R} )\text{.}$$ Mostrar eso$$A$$ y$$B$$ tener órdenes finitas pero$$AB$$ no.

## 15

Evaluar cada uno de los siguientes.

1. $$\displaystyle (3-2i)+ (5i-6)$$
2. $$\displaystyle (4-5i)-\overline{(4i -4)}$$
3. $$\displaystyle (5-4i)(7+2i)$$
4. $$\displaystyle (9-i) \overline{(9-i)}$$
5. $$\displaystyle i^{45}$$
6. $$\displaystyle (1+i)+\overline{(1+i)}$$

## 16

Convertir los siguientes números complejos al formulario$$a + bi\text{.}$$

1. $$\displaystyle 2 \operatorname{cis}(\pi / 6 )$$
2. $$\displaystyle 5 \operatorname{cis}(9\pi/4)$$
3. $$\displaystyle 3 \operatorname{cis}(\pi)$$
4. $$\displaystyle \operatorname{cis}(7\pi/4) /2$$

## 17

Cambie los siguientes números complejos a representación polar.

1. $$\displaystyle 1-i$$
2. $$\displaystyle -5$$
3. $$\displaystyle 2+2i$$
4. $$\displaystyle \sqrt{3} + i$$
5. $$\displaystyle -3i$$
6. $$\displaystyle 2i + 2 \sqrt{3}$$

## 18

Calcula cada una de las siguientes expresiones.

1. $$\displaystyle (1+i)^{-1}$$
2. $$\displaystyle (1 - i)^{6}$$
3. $$\displaystyle (\sqrt{3} + i)^{5}$$
4. $$\displaystyle (-i)^{10}$$
5. $$\displaystyle ((1-i)/2)^{4}$$
6. $$\displaystyle (-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}$$
7. $$\displaystyle (-2 + 2i)^{-5}$$

## 19

Demostrar cada una de las siguientes declaraciones.

1. $$\displaystyle |z| = | \overline{z}|$$
2. $$\displaystyle z \overline{z} = |z|^2$$
3. $$\displaystyle z^{-1} = \overline{z} / |z|^2$$
4. $$\displaystyle |z +w| \leq |z| + |w|$$
5. $$\displaystyle |z - w| \geq | |z| - |w||$$
6. $$\displaystyle |z w| = |z| |w|$$

## 20

Enumere y grafique las 6tas raíces de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las primitivas 6tas raíces de la unidad?

## 21

Enumere y grafique las 5tas raíces de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las primitivas 5tas raíces de la unidad?

## 22

Calcula cada una de las siguientes.

1. $$\displaystyle 292^{3171} \pmod{ 582}$$
2. $$\displaystyle 2557^{ 341} \pmod{ 5681}$$
3. $$\displaystyle 2071^{ 9521} \pmod{ 4724}$$
4. $$\displaystyle 971^{ 321} \pmod{ 765}$$

## 23

Vamos$$a, b \in G\text{.}$$ Probarse las siguientes declaraciones.

1. El orden de$$a$$ es el mismo que el orden de$$a^{-1}\text{.}$$
2. Para todos$$g \in G\text{,}$$$$|a| = |g^{-1}ag|\text{.}$$
3. El orden de$$ab$$ es el mismo que el orden de$$ba\text{.}$$

## 24

Dejar$$p$$ y$$q$$ ser primos distintos. ¿Cuántos generadores$${\mathbb Z}_{pq}$$ tiene?

## 25

Dejar$$p$$ ser primo y$$r$$ ser un entero positivo. ¿Cuántos generadores$${\mathbb Z}_{p^r}$$ tiene?

## 26

Demostrar que no$${\mathbb Z}_{p}$$ tiene subgrupos no triviales si$$p$$ es primo.

## 27

Si$$g$$ y$$h$$ tienen órdenes$$15$$ y$$16$$ respectivamente en un grupo$$G\text{,}$$ cuál es el orden de$$\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \text{?}$$

## 28

Dejar$$a$$ ser un elemento en un grupo$$G\text{.}$$ Qué es un generador para el subgrupo$$\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\text{?}$$

## 29

Demostrar que$${\mathbb Z}_n$$ tiene un número par de generadores para$$n \gt 2\text{.}$$

## 30

Supongamos que$$G$$ es un grupo y vamos a$$a\text{,}$$$$b \in G\text{.}$$ demostrar que si$$|a| = m$$ y$$|b| = n$$ con$$\gcd(m,n) = 1\text{,}$$ entonces$$\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}$$

## 31

Seamos$$G$$ un grupo abeliano. Mostrar que los elementos de orden finito$$G$$ forman un subgrupo. Este subgrupo se llama el subgrupo de torsión de$$G\text{.}$$

## 32

Dejar$$G$$ ser un grupo cíclico finito de orden$$n$$ generado por$$x\text{.}$$ Mostrar que si$$y = x^k$$ donde$$\gcd(k,n) = 1\text{,}$$ entonces$$y$$ debe ser un generador de$$G\text{.}$$

## 33

Si$$G$$ es un grupo abeliano que contiene un par de subgrupos cíclicos de orden$$2\text{,}$$ mostrar que$$G$$ debe contener un subgrupo de orden$$4\text{.}$$ ¿Este subgrupo tiene que ser cíclico?

## 34

Dejar$$G$$ ser un grupo abeliano de orden$$pq$$ donde$$\gcd(p,q) = 1\text{.}$$ If$$G$$ contiene elementos$$a$$ y$$b$$ de orden$$p$$ y$$q$$ respectivamente, luego mostrar que$$G$$ es cíclico.

## 35

Demostrar que los subgrupos de$$\mathbb Z$$ son exactamente$$n{\mathbb Z}$$ para$$n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}$$

## 36

Demostrar que los generadores de$${\mathbb Z}_n$$ son los enteros$$r$$ tales que$$1 \leq r \lt n$$ y$$\gcd(r,n) = 1\text{.}$$

## 37

Demostrar que si no$$G$$ tiene subgrupos no triviales adecuados, entonces$$G$$ es un grupo cíclico.

## 38

Demostrar que el orden de un elemento en un grupo cíclico$$G$$ debe dividir el orden del grupo.

## 39

Demostrar que si$$G$$ es un grupo cíclico de orden$$m$$ y$$d \mid m\text{,}$$ luego$$G$$ debe tener un subgrupo de orden$$d\text{.}$$

## 40

¿Para qué enteros$$n$$ es$$-1$$ una raíz$$n$$ th de unidad?

## 41

Si$$z = r( \cos \theta + i \sin \theta)$$ y$$w = s(\cos \phi + i \sin \phi)$$ son dos números complejos distintos de cero, demuestre que

$zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]\text{.} \nonumber$

## 42

Demostrar que el grupo círculo es un subgrupo de$${\mathbb C}^*\text{.}$$

## 43

Demostrar$$n$$ que las raíces de la unidad forman un subgrupo cíclico$${\mathbb T}$$ de orden$$n\text{.}$$

## 44

Vamos$$\alpha \in \mathbb T\text{.}$$ Demostrar eso$$\alpha^m =1$$ y$$\alpha^n = 1$$ si y sólo si$$\alpha^d = 1$$ por$$d = \gcd(m,n)\text{.}$$

## 45

Que$$z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}$$ si$$|z| \neq 1\text{,}$$ demuestre que el orden de$$z$$ es infinito.

## 46

$$z =\cos \theta + i \sin \theta$$Déjese entrar$${\mathbb T}$$ donde$$\theta \in {\mathbb Q}\text{.}$$ Demostrar que el orden de$$z$$ es infinito.

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