4.5: Ejercicios

1

Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes declaraciones.

1. Todos los generadores de\({\mathbb Z}_{60}\) son primos.
2. \(U(8)\)es cíclico.
3. \({\mathbb Q}\)es cíclico.
4. Si cada subgrupo apropiado de un grupo\(G\) es cíclico, entonces\(G\) es un grupo cíclico.
5. Un grupo con un número finito de subgrupos es finito.

2

Encuentra el orden de cada uno de los siguientes elementos.

1. \(\displaystyle 5 \in {\mathbb Z}_{12}\)
2. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}\)
3. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast\)
4. \(\displaystyle -i \in {\mathbb C}^\ast\)
5. \(\displaystyle 72 \in {\mathbb Z}_{240}\)
6. \(\displaystyle 312 \in {\mathbb Z}_{471}\)

3

Enumere todos los elementos en cada uno de los siguientes subgrupos.

1. El subgrupo de\({\mathbb Z}\) generado por\(7\)
2. El subgrupo de\({\mathbb Z}_{24}\) generado por\(15\)
3. Todos los subgrupos de\({\mathbb Z}_{12}\)
4. Todos los subgrupos de\({\mathbb Z}_{60}\)
5. Todos los subgrupos de\({\mathbb Z}_{13}\)
6. Todos los subgrupos de\({\mathbb Z}_{48}\)
7. El subgrupo generado por 3 en\(U(20)\)
8. El subgrupo generado por 5 en\(U(18)\)
9. El subgrupo de\({\mathbb R}^\ast\) generado por\(7\)
10. El subgrupo de\({\mathbb C}^\ast\) generado por\(i\) donde\(i^2 = -1\)
11. El subgrupo de\({\mathbb C}^\ast\) generado por\(2i\)
12. El subgrupo de\({\mathbb C}^\ast\) generado por\((1 + i) / \sqrt{2}\)
13. El subgrupo de\({\mathbb C}^\ast\) generado por\((1 + \sqrt{3}\, i) / 2\)

4

Encuentra los subgrupos de\(GL_2( {\mathbb R })\) generados por cada una de las siguientes matrices.

1. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
2. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
3. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
4. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
5. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
6. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}\)

5

Encuentra el orden de cada elemento en\({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

6

Encuentra el orden de cada elemento en el grupo de simetría del cuadrado,\(D_4\text{.}\)

7

¿Cuáles son todos los subgrupos cíclicos del grupo de cuaterniones?\(Q_8\text{?}\)

8

Listar todos los subgrupos cíclicos de\(U(30)\text{.}\)

9

Enumere cada generador de cada subgrupo de orden 8 en\({\mathbb Z}_{32}\text{.}\)

10

Encuentra todos los elementos de orden finito en cada uno de los siguientes grupos. Aquí el “\(\ast\)” indica el conjunto con cero eliminado.

1. \(\displaystyle {\mathbb Z}\)
2. \(\displaystyle {\mathbb Q}^\ast\)
3. \(\displaystyle {\mathbb R}^\ast\)

11

Si\(a^{24} =e\) en un grupo\(G\text{,}\) cuáles son las órdenes posibles de\(a\text{?}\)

12

Encuentra un grupo cíclico con exactamente un generador. ¿Se pueden encontrar grupos cíclicos con exactamente dos generadores? ¿Cuatro generadores? ¿Qué tal\(n\) los generadores?

13

\(n \leq 20\text{,}\)¿Para qué grupos\(U(n)\) son cíclicos? Hacer una conjetura en cuanto a lo que es cierto en general. ¿Puedes probar tu conjetura?

14

Let

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \nonumber \]

ser elementos en\(GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Mostrar eso\(A\) y\(B\) tener órdenes finitas pero\(AB\) no.

15

Evaluar cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle (3-2i)+ (5i-6)\)
2. \(\displaystyle (4-5i)-\overline{(4i -4)}\)
3. \(\displaystyle (5-4i)(7+2i)\)
4. \(\displaystyle (9-i) \overline{(9-i)}\)
5. \(\displaystyle i^{45}\)
6. \(\displaystyle (1+i)+\overline{(1+i)}\)

16

Convertir los siguientes números complejos al formulario\(a + bi\text{.}\)

1. \(\displaystyle 2 \operatorname{cis}(\pi / 6 )\)
2. \(\displaystyle 5 \operatorname{cis}(9\pi/4)\)
3. \(\displaystyle 3 \operatorname{cis}(\pi)\)
4. \(\displaystyle \operatorname{cis}(7\pi/4) /2\)

17

Cambie los siguientes números complejos a representación polar.

1. \(\displaystyle 1-i\)
2. \(\displaystyle -5\)
3. \(\displaystyle 2+2i\)
4. \(\displaystyle \sqrt{3} + i\)
5. \(\displaystyle -3i\)
6. \(\displaystyle 2i + 2 \sqrt{3}\)

18

Calcula cada una de las siguientes expresiones.

1. \(\displaystyle (1+i)^{-1}\)
2. \(\displaystyle (1 - i)^{6}\)
3. \(\displaystyle (\sqrt{3} + i)^{5}\)
4. \(\displaystyle (-i)^{10}\)
5. \(\displaystyle ((1-i)/2)^{4}\)
6. \(\displaystyle (-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}\)
7. \(\displaystyle (-2 + 2i)^{-5}\)

19

Demostrar cada una de las siguientes declaraciones.

1. \(\displaystyle |z| = | \overline{z}|\)
2. \(\displaystyle z \overline{z} = |z|^2\)
3. \(\displaystyle z^{-1} = \overline{z} / |z|^2\)
4. \(\displaystyle |z +w| \leq |z| + |w|\)
5. \(\displaystyle |z - w| \geq | |z| - |w||\)
6. \(\displaystyle |z w| = |z| |w|\)

20

Enumere y grafique las 6tas raíces de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las primitivas 6tas raíces de la unidad?

21

Enumere y grafique las 5tas raíces de la unidad. ¿Cuáles son los generadores de este grupo? ¿Cuáles son las primitivas 5tas raíces de la unidad?

22

Calcula cada una de las siguientes.

1. \(\displaystyle 292^{3171} \pmod{ 582}\)
2. \(\displaystyle 2557^{ 341} \pmod{ 5681}\)
3. \(\displaystyle 2071^{ 9521} \pmod{ 4724}\)
4. \(\displaystyle 971^{ 321} \pmod{ 765}\)

23

Vamos\(a, b \in G\text{.}\) Probarse las siguientes declaraciones.

1. El orden de\(a\) es el mismo que el orden de\(a^{-1}\text{.}\)
2. Para todos\(g \in G\text{,}\)\(|a| = |g^{-1}ag|\text{.}\)
3. El orden de\(ab\) es el mismo que el orden de\(ba\text{.}\)

24

Dejar\(p\) y\(q\) ser primos distintos. ¿Cuántos generadores\({\mathbb Z}_{pq}\) tiene?

25

Dejar\(p\) ser primo y\(r\) ser un entero positivo. ¿Cuántos generadores\({\mathbb Z}_{p^r}\) tiene?

26

Demostrar que no\({\mathbb Z}_{p}\) tiene subgrupos no triviales si\(p\) es primo.

27

Si\(g\) y\(h\) tienen órdenes\(15\) y\(16\) respectivamente en un grupo\(G\text{,}\) cuál es el orden de\(\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \text{?}\)

28

Dejar\(a\) ser un elemento en un grupo\(G\text{.}\) Qué es un generador para el subgrupo\(\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\text{?}\)

29

Demostrar que\({\mathbb Z}_n\) tiene un número par de generadores para\(n \gt 2\text{.}\)

30

Supongamos que\(G\) es un grupo y vamos a\(a\text{,}\)\(b \in G\text{.}\) demostrar que si\(|a| = m\) y\(|b| = n\) con\(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) entonces\(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}\)

31

Seamos\(G\) un grupo abeliano. Mostrar que los elementos de orden finito\(G\) forman un subgrupo. Este subgrupo se llama el subgrupo de torsión de\(G\text{.}\)

32

Dejar\(G\) ser un grupo cíclico finito de orden\(n\) generado por\(x\text{.}\) Mostrar que si\(y = x^k\) donde\(\gcd(k,n) = 1\text{,}\) entonces\(y\) debe ser un generador de\(G\text{.}\)

33

Si\(G\) es un grupo abeliano que contiene un par de subgrupos cíclicos de orden\(2\text{,}\) mostrar que\(G\) debe contener un subgrupo de orden\(4\text{.}\) ¿Este subgrupo tiene que ser cíclico?

34

Dejar\(G\) ser un grupo abeliano de orden\(pq\) donde\(\gcd(p,q) = 1\text{.}\) If\(G\) contiene elementos\(a\) y\(b\) de orden\(p\) y\(q\) respectivamente, luego mostrar que\(G\) es cíclico.

35

Demostrar que los subgrupos de\(\mathbb Z\) son exactamente\(n{\mathbb Z}\) para\(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)

36

Demostrar que los generadores de\({\mathbb Z}_n\) son los enteros\(r\) tales que\(1 \leq r \lt n\) y\(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)

37

Demostrar que si no\(G\) tiene subgrupos no triviales adecuados, entonces\(G\) es un grupo cíclico.

38

Demostrar que el orden de un elemento en un grupo cíclico\(G\) debe dividir el orden del grupo.

39

Demostrar que si\(G\) es un grupo cíclico de orden\(m\) y\(d \mid m\text{,}\) luego\(G\) debe tener un subgrupo de orden\(d\text{.}\)

40

¿Para qué enteros\(n\) es\(-1\) una raíz\(n\) th de unidad?

41

Si\(z = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) y\(w = s(\cos \phi + i \sin \phi)\) son dos números complejos distintos de cero, demuestre que

\[ zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]\text{.} \nonumber \]

42

Demostrar que el grupo círculo es un subgrupo de\({\mathbb C}^*\text{.}\)

43

Demostrar\(n\) que las raíces de la unidad forman un subgrupo cíclico\({\mathbb T}\) de orden\(n\text{.}\)

44

Vamos\(\alpha \in \mathbb T\text{.}\) Demostrar eso\(\alpha^m =1\) y\(\alpha^n = 1\) si y sólo si\(\alpha^d = 1\) por\(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

45

Que\(z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}\) si\(|z| \neq 1\text{,}\) demuestre que el orden de\(z\) es infinito.

46

\(z =\cos \theta + i \sin \theta\)Déjese entrar\({\mathbb T}\) donde\(\theta \in {\mathbb Q}\text{.}\) Demostrar que el orden de\(z\) es infinito.