6.6: Salvia

Sage puede crear todos los coconjuntos de un subgrupo y todos los subgrupos de un grupo. Si bien estos métodos pueden ser algo lentos, son en muchos, muchos aspectos mucho mejores que experimentar con lápiz y papel, y pueden ayudarnos en gran medida a comprender la estructura de los grupos finitos.

Cosets

Sage creará todos los coconjuntos de derecha (o izquierda) de un subgrupo. Escritos matemáticamente, los cosets son conjuntos, y el orden de los elementos dentro del conjunto es irrelevante. Con Sage, las listas son más naturales, y aquí es para nuestra ventaja.

Sage crea los coconjuntos de un subgrupo como una lista de listas. Cada lista interna es un solo coset. El primer coconjunto es siempre el coconjunto que es el propio subgrupo, y el primer elemento de este coconjunto es la identidad. Se puede interpretar que cada uno de los otros coconjuntos tiene su primer elemento como su representante, y si usa este elemento como representante, los elementos del coconjunto están en el mismo orden en que se crearían multiplicando este representante por los elementos del primer coconjunto (el subgrupo).

El lado de la palabra clave puede ser 'derecha' o 'izquierda', y si no se da, entonces el valor por defecto son los cosets correctos. Las opciones se refieren a qué lado del producto tiene el representante. Observe que ahora los resultados de Sage serán “al revés” comparados con el texto. Aquí está Ejemplo\(6.2\) repetido, pero en un orden ligeramente diferente.

Entonces, si nos abrimos camino a través de los corchetes cuidadosamente podemos ver la diferencia entre los cosets correctos y los cosets izquierdos. Compara estos cosets con los del texto y ve que izquierda y derecha están invertidos. No debería ser un problema, solo tenlo en cuenta.

Si estudiamos el horquillas, podemos ver que los cosets izquierdo y derecho son iguales. Veamos qué piensa Sage:

Matemáticamente, necesitamos conjuntos, pero Sage está trabajando con listas ordenadas, y el orden importa. Sin embargo, si sabemos que nuestras listas no tienen duplicados (el método .cosets () nunca producirá duplicados) entonces podemos ordenar las listas y una prueba de igualdad funcionará como se esperaba. Los elementos de un grupo de permutación tienen un orden definido para ellos —no es tan importante qué es esto, solo que se defina algún ordenamiento. La función sort () tomará cualquier lista y devolverá una versión ordenada. Entonces, para cada lista de cosets, ordenaremos los cosets individuales y luego ordenaremos la lista de cosets ordenados. Esta es una maniobra típica, aunque un poco complicada con las listas anidadas.

La lista de todos los cosets puede ser bastante larga (incluirá todos los elementos del grupo) y puede tardar unos segundos en completarse, incluso para grupos pequeños. Hay formas más sofisticadas, y más rápidas, de estudiar los cosets (como el simple uso de sus representantes), pero para entender estas técnicas también hay que entender más teoría.

Subgrupos

Sage puede calcular todos los subgrupos de un grupo. Esto puede producir incluso más salida que el método coset y a veces puede tomar mucho más tiempo, dependiendo de la estructura del grupo. La lista está en orden del tamaño de los subgrupos, con los más pequeños primero. Como demostración primero calcularemos y enumeraremos todos los subgrupos de un grupo pequeño, y luego extraeremos solo uno de estos subgrupos de la lista para algún estudio posterior.

La salida del método .subgroups () puede ser voluminosa, por lo que a veces nos interesan las propiedades de subgrupos específicos (como en el ejemplo anterior) o preguntas más amplias de la “estructura de subgrupos” del grupo. Aquí ampliamos la Proposición\(6.15\). Observe que el solo hecho de que Sage no compute un subgrupo de orden 6 en\(A_4\text{,}\) este no sustituye en absoluto una prueba como la dada para el corolario. Pero el resultado computacional nos envalona para buscar el resultado teórico con confianza.

Entonces no vemos ningún subgrupo de orden 6 en la lista de subgrupos de\(A_4\text{.}\) Observe cómo está en evidencia el Teorema (Teorema\(6.10\)) de Lagrange — todos los órdenes de subgrupo dividen\(12\text{,}\) el orden de\(A_4\text{.}\) Ser paciente, el siguiente cálculo del subgrupo puede tardar un tiempo.

Nuevamente, anote el Teorema de Lagrange en acción. Pero lo más interesante,\(S_4\) tiene un subgrupo de orden 6. Cuatro de ellos, para ser precisos. Estos cuatro subgrupos del orden 6 son similares entre sí, ¿puedes describirlos simplemente (antes de profundizar en la lista sg para más información)? Si tuvieras curiosidad cuántos subgrupos\(S_4\) tiene, simplemente podrías contar el número de subgrupos en la lista sg. La función len () hace esto para cualquier lista y suele ser una manera fácil de contar las cosas.

Subgrupos de grupos cíclicos

Ahora que estamos más familiarizados con los grupos de permutación, y conocemos el método .subgroups (), podemos volver a visitar una idea del Capítulo 4. Los subgrupos de un grupo cíclico son siempre cíclicos, pero ¿cuántos hay y cuáles son sus órdenes?

Podríamos hacer esto todo el día, pero tienes a Sage a tu disposición, así que varía el orden de G cambiando n y estudia la salida en muchas carreras. Tal vez probar un grupo cíclico de orden 24 y comparar con el grupo simétrico\(S_4\) (arriba) que también tiene orden 24. ¿Sientes que viene una conjetura?

Función Euler Phi

Para agregar a nuestras funciones teóricas de números del Capítulo 2, observamos que Sage hace que la\(\phi\) función Euler esté disponible como la función euler_phi ().

Aquí tienes un experimento interesante que puedes intentar ejecutar varias veces.

¿Sientes otra conjetura que viene? ¿Se puede generalizar este resultado?