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6.7: Ejercicios de salvia

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Los siguientes ejercicios son menos sobre coconjuntos y subgrupos, y más sobre el uso de Sage como herramienta experimental. Están diseñados para ayudarte a ser más eficiente, y más expresivo, a medida que escribes comandos en Sage. Tendremos muchas oportunidades de trabajar con coconjuntos y subgrupos en los próximos capítulos. Estos ejercicios no contienen mucha orientación, y se vuelven más desafiantes a medida que avanzan. Están diseñados para explorar, o confirmar, los resultados presentados en este capítulo o capítulos anteriores.

    Importante: Debes responder a cada uno de los tres últimos problemas con una sola línea (complicada) de Sage que concluye dando salida a True. Una “sola línea” significa que tendrás varios comandos de Sage empaquetados juntos de formas complicadas. No significa que varios comandos de Sage se separen por punto y comas y se escriban en una sola línea. Asegúrese de incluir algunos pasos intermedios utilizados para construir su solución, pero usando rangos de valores más pequeños para no abrumar al lector con mucha salida. Esto le ayudará a usted, y al calificador de su trabajo, a tener cierta confianza en que la versión final es correcta.

    Cuando compruebe los enteros a continuación para la divisibilidad, recuerde que range () produce enteros simples, que son bastante simples en su funcionalidad. El comando srange () produce enteros Sage, que tienen muchas más capacidades. (Ver el último ejercicio para un ejemplo.) Y recuerda que una comprensión de listas es una forma muy compacta de examinar muchas posibilidades a la vez.

    1

    Utilice .subgroups () para encontrar un ejemplo de un grupo\(G\) y un entero de\(m\text{,}\) manera que (a\(m\)) divida el orden de\(G\text{,}\) y (b) no\(G\) tenga subgrupo de orden\(m\text{.}\) (No use el grupo\(A_4\) para\(G\text{,}\) ya que esto está en el texto.) Proporcione una sola línea de código Sage que tenga toda la lógica para producir lo deseado\(m\) como salida. (Puedes darle a tu grupo un nombre simple en una línea anterior y luego solo hacer referencia al grupo por su nombre). Aquí hay un ejemplo muy simple que podría ayudarte a estructurar tu respuesta.

    2

    Verificar la verdad del pequeño teorema de Fermat (cualquiera de las variantes) usando el número compuesto\(391=17\cdot 23\) como la elección de la base (ya sea\(a\) o\(b\)), y para\(p\) asumir el valor de cada número primo entre\(100\) y\(1000\text{.}\)

    Construya una solución lentamente — haga una lista de potencias (comience con solo unos pocos primos), luego haga una lista de potencias reducidas por aritmética modular, luego una lista de comparaciones con el valor predicho, luego una verificación de todos estos valores lógicos resultantes de las comparaciones. Esta es una estrategia útil para muchos problemas similares. Eventualmente escribirás una sola línea que realiza la verificación al eventualmente imprimir True. Aquí hay algunas sugerencias más sobre funciones útiles.

    3

    Verifica que el grupo de unidades mod\(n\) tenga orden\(n-1\) cuando\(n\) es prime, nuevamente para todos los primos entre\(100\) y\(1000\text{.}\) Como antes, tu salida debe ser simplemente True, solo una vez, indicando que la afirmación sobre el orden es verdadera para todos los primos examinados. Como antes, construye tu solución lentamente y con un rango más pequeño de primos al principio. Exprese su respuesta como una sola línea de código Sage.

    4

    Verificar el teorema de Euler para todos los valores de\(0\lt n\lt 100\) y para\(1\leq a \leq n\text{.}\) Esto requerirá anidado para declaraciones con un condicional. Nuevamente, aquí hay un pequeño ejemplo que podría ser útil para construir su una línea de código Sage. Observe el uso de srange () en este ejemplo.

    5

    El grupo simétrico sobre\(7\) símbolos,\(S_7\text{,}\) tiene\(7! = 5040\) elementos. Considere las siguientes preguntas sin emplear Sage, con base en lo que sabemos sobre órdenes de elementos de grupos de permutación (Ejercicio\(5.4.13\)).

    • ¿Cuál es el pedido máximo posible?
    • Cuantos elementos hay de orden\(10\text{?}\)
    • Cuantos elementos hay de orden\(1\text{?}\)
    • Cuantos elementos hay de orden\(2\text{?}\)
    • ¿Cuál es el entero positivo más pequeño para el que no hay ningún elemento con ese orden?

    Estas preguntas serán más fáciles si estás familiarizado con el uso de coeficientes binomiales para contar en situaciones igualmente complejas. Pero de cualquier manera, piensa seriamente en cada pregunta (y tal vez algunas de las tuyas) antes de encender a Sage.

    Ahora, compute cuántos elementos hay de cada orden usando el método .order (), y luego incrusta esto en una comprensión de lista que crea una sola lista de estos recuentos. Puedes consultar tu trabajo (o consultar Sage) envolviendo esta lista en sum () y ojalá consiguiendo\(5040\text{.}\)

    Comenta sobre el proceso de estudiar estas preguntas primero sin ninguna ayuda computacional, y luego otra vez con Sage. ¿Para qué valores de\(n\) crees que Sage sería demasiado lento y tu mente más rápida?


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