6.5: Ejercicios
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Supongamos queG es un grupo finito con un elementog de orden5 y un elementoh de orden7. ¿Por qué debe|G|≥35?
Supongamos queG es un grupo finito con60 elementos. ¿Cuáles son los órdenes de posibles subgrupos deG?
Demostrar o desacreditar: Cada subgrupo de los enteros tiene un índice finito.
Demostrar o desacreditar: Cada subgrupo de los enteros tiene orden finito.
Enumere los coconjuntos izquierdo y derecho de los subgrupos en cada uno de los siguientes.
- ⟨8⟩enZ24
- ⟨3⟩enU(8)
- 3ZenZ
- A4enS4
- AnenSn
- D4enS4
- TenC∗
- H={(1),(123),(132)}enS4
Describir los cosets izquierdos deSL2(R) enGL2(R). ¿Cuál es el índice deSL2(R) enGL2(R)?
Verificar el teorema de Euler paran=15 ya=4.
Usa el pequeño teorema de Fermat para demostrar que sip=4n+3 es primo, no hay solución a la ecuaciónx^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}
Mostrar que los enteros tienen índice infinito en el grupo aditivo de números racionales.
Mostrar que el grupo aditivo de números reales tiene índice infinito en el grupo aditivo de los números complejos.
HSea un subgrupo de un grupoG y supongamos queg_1, g_2 \in G\text{.} Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes.
- \displaystyle g_1 H = g_2 H
- \displaystyle H g_1^{-1} = H g_2^{-1}
- \displaystyle g_1 H \subset g_2 H
- \displaystyle g_2 \in g_1 H
- \displaystyle g_1^{-1} g_2 \in H
Sighg^{-1} \in H para todosg \in G yh \in H\text{,} mostrar que los cosets derechos son idénticos a los cosets izquierdos. Es decir, mostrar quegH = Hg para todosg \in G\text{.}
Lo que falla en la prueba del Teorema 6.8 si\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H se define por\phi( gH ) = Hg\text{?}
Supongamos queg^n = e\text{.} Mostrar que el orden deg dividen\text{.}
La estructura de ciclo de una permutación\sigma se define como la lista desordenada de los tamaños de los ciclos en la descomposición del ciclo.\sigma\text{.} Por ejemplo, la permutación\sigma = (12)(345)(78)(9) tiene una estructura de ciclo(2,3,2,1) que también se puede escribir como(1, 2, 2, 3)\text{.}
Demostrar que cualesquiera dos permutaciones\alpha, \beta \in S_n tienen la misma estructura de ciclo si y sólo si existe una permutación\gamma tal que\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.} Si\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1} para algunos\gamma \in S_n\text{,} entonces\alpha y\beta son conjugados.
Si|G| = 2n\text{,} probar que el número de elementos de orden2 es impar. Utilice este resultado para mostrar queG debe contener un subgrupo de orden 2.
Supongamos que[G : H] = 2\text{.} sia y nob están enH\text{,} show queab \in H\text{.}
Si[G : H] = 2\text{,} demostrar quegH = Hg\text{.}
DejarH yK ser subgrupos de un grupoG\text{.} Demostrar quegH \cap gK es un coset deH \cap K inG\text{.}
DejarH yK ser subgrupos de un grupoG\text{.} Definir una relación\sim sobreG pora \sim b si existe unh \in H yk \in K tal quehak = b\text{.} Mostrar que esta relación es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia correspondientes se denominan coconjuntos dobles. Calcula los cosets dobles deH = \{ (1),(123), (132) \} inA_4\text{.}
DejarG ser un grupo cíclico de ordenn\text{.} Mostrar que hay exactamente\phi(n) generadores paraG\text{.}
Dejemosn = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,} dondep_1, p_2, \ldots, p_k están distintos primos. Demostrar que
\phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2} \right)\cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)\text{.} \nonumber
Demostrar que
n = \sum_{d \mid n} \phi(d) \nonumber
para todos los enteros positivosn\text{.}