6.5: Ejercicios

1

Supongamos que\(G\) es un grupo finito con un elemento\(g\) de orden\(5\) y un elemento\(h\) de orden\(7\text{.}\) ¿Por qué debe\(|G| \geq 35\text{?}\)

2

Supongamos que\(G\) es un grupo finito con\(60\) elementos. ¿Cuáles son los órdenes de posibles subgrupos de\(G\text{?}\)

3

Demostrar o desacreditar: Cada subgrupo de los enteros tiene un índice finito.

4

Demostrar o desacreditar: Cada subgrupo de los enteros tiene orden finito.

5

Enumere los coconjuntos izquierdo y derecho de los subgrupos en cada uno de los siguientes.

1. \(\langle 8 \rangle\)en\({\mathbb Z}_{24}\)
2. \(\langle 3 \rangle\)en\(U(8)\)
3. \(3 {\mathbb Z}\)en\({\mathbb Z}\)
4. \(A_4\)en\(S_4\)
5. \(A_n\)en\(S_n\)
6. \(D_4\)en\(S_4\)
7. \({\mathbb T}\)en\({\mathbb C}^\ast\)
8. \(H = \{ (1), (123), (132) \}\)en\(S_4\)

6

Describir los cosets izquierdos de\(SL_2( {\mathbb R} )\) en\(GL_2( {\mathbb R})\text{.}\) ¿Cuál es el índice de\(SL_2( {\mathbb R} )\) en\(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)

7

Verificar el teorema de Euler para\(n = 15\) y\(a = 4\text{.}\)

8

Usa el pequeño teorema de Fermat para demostrar que si\(p = 4n + 3\) es primo, no hay solución a la ecuación\(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)

9

Mostrar que los enteros tienen índice infinito en el grupo aditivo de números racionales.

10

Mostrar que el grupo aditivo de números reales tiene índice infinito en el grupo aditivo de los números complejos.

11

\(H\)Sea un subgrupo de un grupo\(G\) y supongamos que\(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes.

1. \(\displaystyle g_1 H = g_2 H\)
2. \(\displaystyle H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)
3. \(\displaystyle g_1 H \subset g_2 H\)
4. \(\displaystyle g_2 \in g_1 H\)
5. \(\displaystyle g_1^{-1} g_2 \in H\)

12

Si\(ghg^{-1} \in H\) para todos\(g \in G\) y\(h \in H\text{,}\) mostrar que los cosets derechos son idénticos a los cosets izquierdos. Es decir, mostrar que\(gH = Hg\) para todos\(g \in G\text{.}\)

13

Lo que falla en la prueba del Teorema 6.8 si\(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\) se define por\(\phi( gH ) = Hg\text{?}\)

14

Supongamos que\(g^n = e\text{.}\) Mostrar que el orden de\(g\) divide\(n\text{.}\)

15

La estructura de ciclo de una permutación\(\sigma\) se define como la lista desordenada de los tamaños de los ciclos en la descomposición del ciclo.\(\sigma\text{.}\) Por ejemplo, la permutación\(\sigma = (12)(345)(78)(9)\) tiene una estructura de ciclo\((2,3,2,1)\) que también se puede escribir como\((1, 2, 2, 3)\text{.}\)

Demostrar que cualesquiera dos permutaciones\(\alpha, \beta \in S_n\) tienen la misma estructura de ciclo si y sólo si existe una permutación\(\gamma\) tal que\(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.}\) Si\(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\) para algunos\(\gamma \in S_n\text{,}\) entonces\(\alpha\) y\(\beta\) son conjugados.

16

Si\(|G| = 2n\text{,}\) probar que el número de elementos de orden\(2\) es impar. Utilice este resultado para mostrar que\(G\) debe contener un subgrupo de orden 2.

17

Supongamos que\([G : H] = 2\text{.}\) si\(a\) y no\(b\) están en\(H\text{,}\) show que\(ab \in H\text{.}\)

18

Si\([G : H] = 2\text{,}\) demostrar que\(gH = Hg\text{.}\)

19

Dejar\(H\) y\(K\) ser subgrupos de un grupo\(G\text{.}\) Demostrar que\(gH \cap gK\) es un coset de\(H \cap K\) in\(G\text{.}\)

20

Dejar\(H\) y\(K\) ser subgrupos de un grupo\(G\text{.}\) Definir una relación\(\sim\) sobre\(G\) por\(a \sim b\) si existe un\(h \in H\) y\(k \in K\) tal que\(hak = b\text{.}\) Mostrar que esta relación es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia correspondientes se denominan coconjuntos dobles. Calcula los cosets dobles de\(H = \{ (1),(123), (132) \}\) in\(A_4\text{.}\)

21

Dejar\(G\) ser un grupo cíclico de orden\(n\text{.}\) Mostrar que hay exactamente\(\phi(n)\) generadores para\(G\text{.}\)

22

Dejemos\(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,}\) donde\(p_1, p_2, \ldots, p_k\) están distintos primos. Demostrar que

\[ \phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2} \right)\cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)\text{.} \nonumber \]

23

Demostrar que

\[ n = \sum_{d \mid n} \phi(d) \nonumber \]

para todos los enteros positivos\(n\text{.}\)