10.1: Grupos de factores y subgrupos normales

Un subgrupo\(H\) de un grupo\(G\) es normal en G si\(gH = Hg\) para todos Es\(g \in G\text{.}\) decir, un subgrupo normal de un grupo\(G\) es aquel en el que los coconjuntos derecho e izquierdo son precisamente los mismos.

Ejemplo\(10.1\)

Seamos\(G\) un grupo abeliano. Cada subgrupo\(H\) de\(G\) es un subgrupo normal.

Solución

Ya que\(gh = hg\) para todos\(g \in G\) y\(h \in H\text{,}\) siempre será el caso que\(gH = Hg\text{.}\)

Ejemplo\(10.2\)

Let\(H\) Ser el subgrupo de\(S_3\) que consiste en elementos\((1)\) y\((12)\text{.}\) Since

\[ (123) H = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3) \} \quad \text{and} \quad H (1 \, 2 \, 3) = \{ (1 \, 2 \, 3), (2 \, 3) \}\text{,} \nonumber \]

\(H\)no puede ser un subgrupo normal de\(S_3\text{.}\)

Solución

Sin embargo, el subgrupo\(N\text{,}\) que consiste en las permutaciones\((1)\text{,}\)\((1 \, 2 \, 3)\text{,}\) y\((1 \, 3 \, 2)\text{,}\) es normal ya que los coconjuntos de\(N\) son

\ begin {reunir*} N =\ {(1), (1\, 2\, 3), (1\, 3\, 2)\}\\ (1\, 2) N = N (1\, 2) =\ {(1\, 2), (1\, 3), (2\, 3)\}\ text {.} \ end {reunir*}

El siguiente teorema es fundamental para nuestra comprensión de los subgrupos normales.

Teorema\(10.3\)

Dejar\(G\) ser un grupo y\(N\) ser un subgrupo de\(G\text{.}\) Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes.

1. El subgrupo\(N\) es normal en\(G\text{.}\)
2. Para todos\(g \in G\text{,}\)\(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)
3. Para todos\(g \in G\text{,}\)\(gNg^{-1} = N\text{.}\)

Prueba

(1)\(\Rightarrow\) (2). Ya que\(N\) es normal en\(G\text{,}\)\(gN = Ng\) para todos\(g \in G\text{.}\) Por lo tanto, para un dado\(g \in G\) y\(n \in N\text{,}\) existe un\(n'\) en\(N\) tal que\(g n = n' g\text{.}\) Por lo tanto,\(gng^{-1} = n' \in N\) o\(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)

(2)\(\Rightarrow\) (3). Vamos\(g \in G\text{.}\) Ya que solo\(gNg^{-1} \subset N\text{,}\) necesitamos mostrar\(N \subset gNg^{-1}\text{.}\)\(n \in N\text{,}\)\(g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}\) Por lo tanto,\(g^{-1}ng = n'\) para algunos\(n' \in N\text{.}\) Por lo tanto,\(n = g n' g^{-1}\) está en\(g N g^{-1}\text{.}\)

(3)\(\Rightarrow\) (1). Supongamos que\(gNg^{-1} = N\) para todos\(g \in G\text{.}\) Entonces para cualquiera\(n \in N\) existe\(n' \in N\) tal que\(gng^{-1} = n'\text{.}\) Consecuentemente,\(gn = n' g\) o\(gN \subset Ng\text{.}\) Similarmente,\(Ng \subset gN\text{.}\)

Grupos de factores

Si\(N\) es un subgrupo normal de un grupo\(G\text{,}\) entonces los coconjuntos de\(N\) en\(G\) forma un grupo\(G/N\) bajo la operación\((aN) (bN) = abN\text{.}\) Este grupo se llama el factor o grupo cociente de\(G\) y\(N\text{.}\) Nuestro primer tarea es demostrar que efectivamente\(G/N\) es un grupo.

Teorema\(10.4\)

Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de un grupo\(G\text{.}\) Los coconjuntos de\(N\) en\(G\) forma un grupo\(G/N\) de orden\([G:N]\text{.}\)

Prueba

La operación grupal on\(G/N\) es\((a N ) (b N)= a b N\text{.}\) Esta operación debe mostrarse para estar bien definida; es decir, la multiplicación grupal debe ser independiente de la elección del coset representativo. Vamos\(aN = bN\) y\(cN = dN\text{.}\) Debemos demostrar que

\[ (aN) (cN) = acN = bd N = (b N)(d N)\text{.} \nonumber \]

Entonces\(a = b n_1\) y\(c = d n_2\) para algunos\(n_1\) y\(n_2\) en\(N\text{.}\) Por lo tanto,

\ begin {alinear*} aCN & = b n_1 d n_2 N\\ & = b n_1 d N\\ & = b n_1 N d\\ & = b N d\\ & = b d N\ texto {.} \ end {alinear*}

El resto del teorema es fácil:\(eN = N\) es la identidad y\(g^{-1} N\) es la inversa de\(gN\text{.}\) El orden de\(G/N\) es, por supuesto, el número de cosets de\(N\) in\(G\text{.}\)

Es muy importante recordar que los elementos en un grupo de factores son conjuntos de elementos en el grupo original.

Ejemplo\(10.5\)

Considera el subgrupo normal de\(S_3\text{,}\)\(N = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{.}\) Los coconjuntos de\(N\) en\(S_3\) son\(N\) y\((12) N\text{.}\) El grupo de factores\(S_3 / N\) tiene la siguiente tabla de multiplicación.

\[ \begin{array}{c|cc} & N & (1 \, 2) N \\ \hline N & N & (1 \, 2) N \\ (1 \, 2) N & (1 \, 2) N & N \end{array} \nonumber \]

Solución

Este grupo es isomórfico a\({\mathbb Z}_2\text{.}\) Al principio, multiplicar coconjuntos parece complicado y extraño; sin embargo, note que\(S_3 / N\) es un grupo más pequeño. El grupo de factores muestra una cierta cantidad de información sobre\(S_3\text{.}\) Actually,\(N = A_3\text{,}\) el grupo de permutaciones pares, y\((1 \, 2) N = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\) es el conjunto de permutaciones impares. La información capturada en\(G/N\) es paridad; es decir, multiplicar dos permutaciones pares o dos impares da como resultado una permutación par, mientras que multiplicar una permutación impar por una permutación par produce una permutación impar.

Ejemplo\(10.6\)

Considerar el subgrupo normal\(3 {\mathbb Z}\) de\({\mathbb Z}\text{.}\) Los coconjuntos de\(3 {\mathbb Z}\) in\({\mathbb Z}\) son

\ begin {alinear*} 0 + 3 {\ mathbb Z} & =\ {\ ldots, -3, 0, 3, 6,\ ldots\}\\ 1 + 3 {\ mathbb Z} & =\ {\ ldots, -2, 1, 4, 7,\ ldots\}\\ 2 + 3 {\ mathbb Z} & =\ {\ ldots, -1, 2, 5, 8,\ lpuntos\}\ texto {.} \ end {alinear*}

Solución

El grupo\({\mathbb Z}/ 3 {\mathbb Z}\) viene dado por la tabla Cayley a continuación.

\[ \begin{array}{c|ccc} + & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\\hline 0 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\ 1 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} \\ 2 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} \end{array} \nonumber \]

En general, el subgrupo\(n {\mathbb Z}\) de\({\mathbb Z}\) es normal. Los cosets de\({\mathbb Z } / n {\mathbb Z}\) son

\ begin {reunir*} n {\ mathbb Z}\\ 1 + n {\ mathbb Z}\\ 2 + n {\ mathbb Z}\\\ vdots\\ (n-1) + n {\ mathbb Z}\ text {.} \ end {reunir*}

La suma de los cosets\(k + n{\mathbb Z}\) y\(l + n{\mathbb Z}\) es\(k+l + n{\mathbb Z}\text{.}\) Observe que hemos escrito nuestros cosets de manera aditiva, porque la operación de grupo es suma entera.

Ejemplo\(10.7\)

Considerar el grupo diedro\(D_n\text{,}\) generado por los dos elementos\(r\) y\(s\text{,}\) satisfacer las relaciones

\ begin {alinear*} r^n & =\ identidad\\ s^2 & =\ identidad\\ srs & = r^ {-1}\ texto {.} \ end {alinear*}

Solución

El elemento\(r\) en realidad genera el subgrupo cíclico de rotaciones,\(R_n\text{,}\) de\(D_n\text{.}\) Dado que\(srs^{-1} = srs = r^{-1} \in R_n\text{,}\) el grupo de rotaciones es un subgrupo normal de\(D_n\text{;}\) por lo tanto,\(D_n / R_n\) es un grupo. Dado que hay exactamente dos elementos en este grupo, debe ser isomórfico para\({\mathbb Z}_2\text{.}\)