10.2: La simplicidad de los grupos alternos
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De especial interés son los grupos sin subgrupos normales no triviales. A estos grupos se les llama grupos simples. Por supuesto, ya tenemos toda una clase de ejemplos de grupos simples,\({\mathbb Z}_p\text{,}\) donde\(p\) es prime. Estos grupos son trivialmente simples ya que no tienen subgrupos propios distintos del subgrupo que consiste únicamente en la identidad. Otros ejemplos de grupos simples no son tan fáciles de encontrar. Podemos, sin embargo, demostrar que el grupo alterno,\(A_n\text{,}\) es simple para\(n \geq 5\text{.}\) La prueba de este resultado requiere de varios lemmas.
El grupo alterno\(A_n\) es generado por\(3\) -ciclos para\(n \geq 3\text{.}\)
- Prueba
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Para demostrar que los\(3\) -ciclos generan solo\(A_n\text{,}\) necesitamos mostrar que cualquier par de transposiciones puede escribirse como el producto de\(3\) -ciclos. Ya que\((a, b) = (b, a)\text{,}\) cada par de transposiciones debe ser una de las siguientes:
\ begin {alinear*} (a, b) (a, b) & =\ identidad\\ (a, b) (c, d) & = (a, c, b) (a, c, d)\\ (a, b) (a, c) & = (a, c, b)\ text {.} \ end {alinear*}
Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de\(A_n\text{,}\) donde\(n \geq 3\text{.}\) Si\(N\) contiene un\(3\) -ciclo, entonces\(N = A_n\text{.}\)
- Prueba
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Primero mostraremos que\(A_n\) se genera por\(3\) -ciclos de la forma específica\((i,j,k)\text{,}\) donde\(i\) y\(j\) se fijan en\(\{ 1, 2, \ldots, n \}\) y dejamos\(k\) variar. Cada\(3\) -ciclo es producto de\(3\) -ciclos de esta forma, ya que
\ begin {align*} (i, a, j) & = (i, j, a) ^2\\ (i, a, b) & = (i, j, b) (i, j, a) ^2\\ (j, a, b) & = (i, j, b) ^2 (i, j, a)\\ (a, b, c) & = (i, j, a) ^2 (i, j, c) (i, j, b) ^2 (i, j, a)\ texto {.} \ end {alinear*}Ahora supongamos que\(N\) es un subgrupo normal no trivial de\(A_n\) para\(n \geq 3\) tal que\(N\) contiene un\(3\) -ciclo de la forma\((i, j, a)\text{.}\) Usando la normalidad de\(N\text{,}\) vemos que
\[ [(i, j)(a, k)](i, j, a)^2 [(i, j)(a, k)]^{-1} = (i, j, k) \nonumber \]está en\(N\text{.}\) Por lo tanto,\(N\) debe contener todos los\(3\) -ciclos\((i, j, k)\) para\(1 \leq k \leq n\text{.}\) Por Lema\(10.8\), estos\(3\) -ciclos generan de\(A_n\text{;}\) ahí,\(N = A_n\text{.}\)
Por\(n \geq 5\text{,}\) cada subgrupo normal no trivial\(N\) de\(A_n\) contiene un\(3\) ciclo.
- Prueba
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Dejar\(\sigma\) ser un elemento arbitrario en un subgrupo normal\(N\text{.}\) Hay varias estructuras de ciclo posibles para\(\sigma\text{.}\)
\(\sigma\)es un\(3\) ciclo. \(\sigma\)es el producto de ciclos disarticulos,\(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r) \in N\text{,}\) donde\(r \gt 3\text{.}\)\(\sigma\) es el producto de ciclos disarticulos,\(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}\)\(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) donde\(\tau\) es el producto de 2 ciclos disarticulares. \(\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}\)donde\(\tau\) es el producto de un número par de 2 ciclos disarticulares.\[ \mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) \in N \nonumber \]y
\ begin {align*}\ mu^ {-1} (a_1, a_3) (a_2, a_4)\ mu (a_1, a_3) (a_2, a_4) & = (a_1, b a_3) (a_1, a_3) (a_2, a_4) (a_1, a_3, b) (a_1, a_3) (a_2, a_4)\\ & = a_1 a_3 b)\ texto {.} \ end {alinear*}Por lo tanto,\(N\) contiene un\(3\) -ciclo. Esto completa la prueba del lema.
Si\(\sigma\) es un\(3\) -ciclo, entonces ya terminamos. Si\(N\) contiene un producto de ciclos disarticulares,\(\sigma\text{,}\) y al menos uno de estos ciclos tiene una longitud mayor a 3, digamos\(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)\text{,}\) entonces
\[ (a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \nonumber \]está en\(N\) puesto que\(N\) es normal; por lo tanto,
\[ \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \nonumber \]también está en\(N\text{.}\) Since
\ begin {align*}\ sigma^ {-1} (a_1, a_2, a_3)\ sigma (a_1, a_2, a_3) ^ {-1} & =\ sigma^ {-1} (a_1, a_2, a_3)\ sigma (a_1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_2,\ ldots, a_r) ^ {-1}\ tauro ^ {-1} (a_1, a_2, a_3)\ tau (a_1, a_2,\ lpuntos, a_r) (a_1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_r, a_ {r-1},\ lpuntos, a_2) (a_1, a_2, a_3) (a_1, a_2,\ lpuntos, a_r) (a _1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_3, a_r)\ text {,}\ end {align*}\(N\)debe contener un\(3\) ciclo; por lo tanto,\(N = A_n\text{.}\)
Ahora supongamos que\(N\) contiene un producto disgregado de la forma
\[ \sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.} \nonumber \]Entonces
\[ \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N \nonumber \]desde
\[ (a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N\text{.} \nonumber \]Entonces
\ begin {align*}\ sigma^ {-1} (a_1, a_2, a_4)\ sigma (a_1, a_2, a_4) ^ {-1} & = [\ tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6)] ^ {-1} (a_1, a_2, a_4)\ tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_2, a_4) ^ {-1}\\ & = (a_4, a_6, a_5) (a_1, a_3, a_2)\ tau^ {-1} (a_1, a_2, a_4)\ tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_4, a_ 2)\\ & = (a_4, a_6, a_5) (a_1, a_3, a_2) (a_1, a_2, a_4) (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_4, a_2)\\ & = (a_1, a_4, a_2, a_6, a_3)\ text {.} \ end {alinear*}Entonces\(N\) contiene un ciclo disjunta de longitud mayor a 3, y podemos aplicar el caso anterior.
Supongamos que\(N\) contiene un producto disjunta de la forma\(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) donde\(\tau\) es el producto de 2 ciclos disarticulares. Desde\(\sigma \in N\text{,}\)\(\sigma^2 \in N\text{,}\) y
\ begin {align*}\ sigma^2 & =\ tau (a_1, a_2, a_3)\ tau (a_1, a_2, a_3)\\ & = (a_1, a_3, a_2)\ text {.} \ end {alinear*}Entonces\(N\) contiene un\(3\) -ciclo.
El único caso que queda es un producto disgregado de la forma
\[ \sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,} \nonumber \]donde\(\tau\) es el producto de un número par de\(2\) ciclos disarticulares. Pero
\[ \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \nonumber \]está en\(N\) ya que\((a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}\) está en\(N\text{;}\) y así
\ begin {align*}\ sigma^ {-1} (a_1, a_2, a_3)\ sigma (a_1, a_2, a_3) ^ {-1} & =\ tau^ {-1} (a_1, a_2) (a_3, a_4) (a_1, a_2, a_3)\ tau (a_1, a_2) (a_3, a_4) (a_1, a_2, a_3) ^ {-1}\\ & = (a_1, a_3) (a_2, a_4)\ texto {.} \ end {alinear*}Ya que\(n \geq 5\text{,}\) podemos encontrar\(b \in \{1, 2, \ldots, n \}\) tal que\(b \neq a_1, a_2, a_3, a_4\text{.}\) Let\(\mu = (a_1, a_3, b)\text{.}\) Then
El grupo alterno,\(A_n\text{,}\) es simple para\(n \geq 5\text{.}\)
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Dejar\(N\) ser un subgrupo normal de\(A_n\text{.}\) Por Lema\(10.10\),\(N\) contiene un\(3\) -ciclo. Por Lema\(10.9\), por\(N = A_n\text{;}\) lo tanto, no\(A_n\) contiene subgrupos normales no triviales adecuados para\(n \geq 5\text{.}\)
Nota Histórica
Uno de los principales problemas de la teoría de grupos ha sido clasificar todos los grupos finitos simples. Este problema tiene más de un siglo de antigüedad y sólo se ha resuelto en las últimas décadas del siglo XX. En cierto sentido, los grupos simples finitos son los bloques de construcción de todos los grupos finitos. Los primeros grupos simples no abelianos que se descubrieron fueron los grupos alternos. Galois fue el primero en probar que\(A_5\) era sencillo. Posteriormente, matemáticos como C. Jordan y L. E. Dickson encontraron varias familias infinitas de grupos matriciales que eran simples. Otras familias de grupos simples fueron descubiertas en la década de 1950. A principios de siglo, William Burnside conjeturó que todos los grupos simples no abelianos deben tener incluso orden. En 1963, W. Feit y J. Thompson probaron la conjetura de Burnside y publicaron sus resultados en el artículo “Solvability of Groups of Odd Order”, que apareció en el Pacific Journal of Mathematics. Su prueba, de más de 250 páginas, dio impulso a un programa en las décadas de 1960 y 1970 para clasificar a todos los grupos finitos simples. Daniel Gorenstein fue el organizador de este notable esfuerzo. Uno de los últimos grupos simples fue el “Monstruo”, descubierto por R. Greiss. El Monstruo, un grupo\(196{,}833 \times 196{,}833\) matricial, es uno de los 26 grupos esporádicos, o especiales, simples. Estos grupos simples esporádicos son grupos que encajan en ninguna familia infinita de grupos simples. Algunos de los grupos esporádicos juegan un papel importante en la física.