14.8: Salvia

Los grupos se pueden realizar de muchas maneras, como conjuntos de permutaciones, como conjuntos de matrices, o como conjuntos de símbolos abstractos relacionados por ciertas reglas (“presentaciones”) y de muchas otras formas. Nos hemos concentrado en los grupos de permutación por su sensación concreta, con elementos escritos como funciones, y por su minuciosa implementación en Sage. Las acciones grupales son de gran interés cuando el conjunto sobre el que actúan es el propio grupo, y las acciones grupales figurarán de manera destacada en las pruebas de los principales resultados del próximo capítulo. Sin embargo, cada vez que tenemos una acción grupal en un set, podemos ver ese grupo como un grupo de permutación sobre los elementos del conjunto. Entonces los grupos de permutación son un área de teoría de grupos de interés independiente, con sus propias definiciones y teoremas.

Describiremos los comandos de Sage aplicables cuando una acción grupal surge naturalmente a través de la conjugación, para luego pasar a la situación más general en una aplicación más general.

La conjugación como acción grupal

Podríamos pensar que debemos tener cuidado de cómo Sage define la conjugación (\(gxg^{-1}\)versus\(g^{-1}xg\)) y la diferencia entre Sage y el texto en el orden de los productos. No obstante, si miras la definición de los subgrupos centro y centralizador puedes ver que cualquier diferencia en el orden es irrelevante. Aquí están los comandos de acción de grupo para la acción particular que es la conjugación de los elementos del grupo.

Sage tiene un método de grupo de permutación .center () que devuelve el subgrupo de puntos fijos. El método de grupo de permutación, .centralizer (g), devuelve un subgrupo que es el estabilizador del elemento de grupo g. Por último, las órbitas son dadas por clases de conjugación, pero Sage no te inundará con las clases de conjugación completas y en su lugar devuelve una lista de un elemento por clase de conjugación, los representantes, a través del método de grupo de permutación .conjugacy_classes_representatives (). Se puede reconstruir manualmente una clase de conjugación a partir de un representante, como lo hacemos en el siguiente ejemplo.

Aquí hay un ejemplo de los comandos anteriores en acción. Observe que un grupo abeliano sería una mala elección para este ejemplo.

Observe que en la única clase de conjugación construida todos los elementos tienen la misma estructura de ciclo, lo que no es casualidad. Observe también que rep y a son el mismo elemento, y el producto del orden del centralizador (\(4\)) y el tamaño de la clase de conjugación (\(4\)) es igual al orden del grupo (\(16\)), que es una variante de la conclusión del Teorema 14.11.

Verificar que lo siguiente es una demostración de la ecuación de clase en el caso especial cuando la acción es conjugación, pero sería válida para cualquier grupo, en lugar de solo D.

Automorfismos de Gráfica

Como se mencionó, las acciones grupales pueden ser aún más interesantes cuando el conjunto en el que actúan es diferente del propio grupo. Una clase de ejemplos es el grupo de simetrías de un sólido geométrico, donde los objetos del conjunto son los vértices del objeto, o tal vez algún otro aspecto como aristas, caras o diagonales. En este caso, el grupo son todas esas permutaciones que mueven el sólido pero lo dejan llenando el mismo espacio antes del movimiento (“movimientos rígidos”).

En esta sección vamos a examinar algo muy parecido. Una gráfica es un objeto matemático, que consiste en vértices y aristas, pero la única estructura es si un par dado de vértices está unido o no por un borde o no. El grupo consiste en permutaciones de vértices que preservan la estructura, es decir, permutaciones de vértices que llevan aristas a aristas y no aristas a no aristas. Es muy similar a un grupo de simetría, pero no existe la noción de que se preserve ninguna relación geométrica.

Aquí hay un ejemplo. Deberá ejecutar la primera celda de cómputo para definir el gráfico y obtener una buena representación gráfica.

Tu trazado debe parecerse a los vértices y bordes de un cubo, pero puede que no parezca del todo regular, lo cual está bien, ya que la geometría no es relevante. Los vértices se etiquetan con cadenas de tres dígitos binarios,\(0\) o\(1\text{,}\) y dos vértices cualesquiera están conectados por un borde si sus cadenas difieren exactamente en una ubicación. Podríamos esperar que el grupo de simetrías tenga orden\(24\text{,}\) en lugar de orden\(48\text{,}\) dado su parecido con un cubo (en apariencia y en nombre). Sin embargo, cuando no se restringe a movimientos rígidos, tenemos nuevas permutaciones que preservan los bordes. Una en particular es intercambiar dos “caras opuestas”. Localizar dos\(4\) -ciclos opuestos entre sí, enumerados en el mismo orden:\(000, 010, 110, 100\) y\(001, 011, 111, 101\text{.}\) Observe que cada ciclo se ve muy similar, pero todos los vértices del primer extremo en un cero y el segundo ciclo tiene vértices que terminan en uno.

Podemos crear explícitamente la permutación que intercambia estas dos caras opuestas, usando una versión textual de la permutación en notación de ciclo.

Podemos usar este grupo para ilustrar los comandos relevantes de Sage para las acciones grupales.

Entonces esta acción tiene sólo una (grande) órbita. Esto implica que cada vértice es “como” cualquier otro. Cuando un grupo de permutación se comporta de esta manera, decimos que el grupo es transitivo.

Si cada vértice es “el mismo” podemos calcular el estabilizador de cualquier vértice, ya que todos serán isomórficos. Debido a que el vértice\(000\) es el más simple en algún sentido, calculamos su estabilizador.

Que S tenga\(6\) elementos no es ninguna sorpresa, ya que el grupo tiene orden\(48\) y el tamaño de la órbita solitaria es\(8\text{.}\) Pero podemos ir un paso más allá. Los tres vértices de la gráfica a los que se adjuntan directamente\(000\) son\(100\text{,}\)\(010\text{,}\)\(001\text{.}\) Cualquier automorfismo de la gráfica que fija\(000\) debe entonces permutar los tres vértices adyacentes. Hay formas\(3!=6\) posibles de hacerlo, y se puede comprobar que cada uno aparece en uno de los seis elementos del estabilizador. Entonces podemos entender un grupo transitivo considerando el estabilizador más pequeño, y en este caso podemos ver que cada elemento del estabilizador está determinado por cómo permuta a los vecinos del vértice estabilizado.

Los grupos transitivos son inusuales e importantes. En contraste, aquí hay un grupo de automorfismo gráfico que está lejos de ser transitivo (sin ser trivial). Un camino es una gráfica que tiene todos sus vértices en una línea. Ejecute la primera celda de cálculo para ver una ruta en\(11\) los vértices.

El grupo de automorfismo es el automorfismo de identidad trivial (siempre) y una\(2\) permutación de orden que “voltea” el camino de extremo a extremo. El grupo está lejos de ser transitivo y hay muchas órbitas.

La mayoría de los estabilizadores son triviales, con una excepción. Como subgrupos de un grupo de orden realmente no\(2\text{,}\) hay demasiadas opciones.

¿En qué habría sido diferente este último ejemplo si hubiéramos usado un camino en\(10\) vértices?

NOTA: Alguna vez hubo un pequeño error con estabilizadores que se creaban como subgrupos de grupos simétricos en menos símbolos que el número correcto. Esto se corrige en Sage 4.8 y posteriores. Tenga en cuenta la salida correcta a continuación, y puede verificar su instalación ejecutando estos comandos. Si no ves el singleton [4] en tu salida, definitivamente deberías actualizar tu copia de Sage.