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14.9: Ejercicios de salvia

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    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    1

    Construye la gráfica Higman-Smas con el comando Graphs.HigmansimsGraph (). Luego construya el grupo de automorfismo y determine el orden del único subgrupo normal interesante de este grupo. Puedes intentar trazar la gráfica, pero es poco probable que la gráfica sea muy informativa.

    2

    Este ejercicio te pide verificar la ecuación de clase fuera de la situación habitual donde la acción grupal es la conjugación. Consideremos el ejemplo del grupo de automorfismo del camino sobre\(11\) vértices. Primero construya la lista de órbitas. De cada órbita, agarra el primer elemento de la órbita como representante. Computar el tamaño de la órbita como el índice del estabilizador del representante en el grupo vía Teorema\(14.11\). (Sí, podrías simplemente calcular el tamaño de la órbita completa, pero la idea del ejercicio es usar más resultados teóricos grupales). Entonces suma estos tamaños de órbita, que deberían ser iguales al tamaño de todo el conjunto de vértices ya que las órbitas forman una partición.

    3

    Construir una gráfica simple (sin bucles o múltiples aristas), con al menos dos vértices y al menos un borde, cuyo grupo de automorfismo es trivial. Podrías comenzar a experimentar dibujando imágenes en papel antes de construir el gráfico. Un comando como el siguiente le permitirá construir una gráfica a partir de bordes. La gráfica de abajo se ve como un triángulo o\(3\) -ciclo.

    4

    Para los siguientes dos pares de grupos, computar la lista de representantes de la clase de conyugacia para cada grupo de la pareja. Para cada parte, compara y contrasta los resultados para los dos grupos de la pareja, con comentarios reflexivos y perspicaces.

    1. El grupo simétrico completo en 5 símbolos,\(S_5\text{,}\) y el grupo alterno en 5 símbolos,\(A_5\text{.}\)
    2. Los grupos diedros que son simetrías de un\(7\) -gon y un\(8\) -gon,\(D_{7}\) y\(D_{8}\text{.}\)

    5

    Utilice el comando Graphs.Cubegraph (4) para construir el gráfico cúbico de cuatro dimensiones, El\(Q_4\text{.}\) uso de un comando llano.plot () (sin un diseño de resorte) debería crear una gráfica agradable. Construir el grupo de automorfismo de la gráfica, que proporcionará una acción de grupo en el conjunto de vértices.

    1. Construir las órbitas de esta acción, y comentar.
    2. Construir un estabilizador de un solo vértice (que es un subgrupo del grupo completo de automorfismo) y luego considerar la acción de este grupo en el conjunto de vértices. Construye las órbitas de esta nueva acción, y comenta cuidadosa y completamente tus observaciones, especialmente en términos de los vértices de la gráfica.

    6

    Construye la gráfica dada por los comandos a continuación. El resultado debe ser una gráfica de aspecto simétrico con un grupo de orden de automorfismo\(16\text{.}\)

    Repite las dos partes del ejercicio anterior, pero date cuenta que en la segunda parte ahora hay dos estabilizadores diferentes para crear, así que construye ambos y compara las diferencias en los estabilizadores y sus órbitas. Crear una segunda parcela con G.plot (layout='planar') podría proporcionar información adicional.


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