16.6: Ideales máximos y primos

En esta sección en particular nos interesan especialmente ciertos ideales de anillos conmutativos. Estos ideales nos dan tipos especiales de anillos factoriales. Más específicamente, nos gustaría caracterizar esos ideales\(I\) de un anillo conmutativo\(R\) tal que\(R/I\) es un dominio integral o un campo.

Un ideal propio\(M\) de un anillo\(R\) es un ideal máximo de\(R\) si el ideal no\(M\) es un subconjunto apropiado de cualquier ideal\(R\) excepto de\(R\) sí mismo. Es decir,\(M\) es un ideal máximo si para cualquier ideal que contenga\(I\) adecuadamente\(M\text{,}\)\(I = R\text{.}\) El siguiente teorema caracteriza por completo los ideales máximos para anillos conmutativos con identidad en términos de sus anillos factoriales correspondientes.

Teorema\(16.35\)

Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad y\(M\) un ideal en\(R\text{.}\) Entonces\(M\) es un ideal máximo de\(R\) si y solo si\(R/M\) es un campo.

Prueba

Dejar\(M\) ser un ideal máximo en\(R\text{.}\) Si\(R\) es un anillo conmutativo, entonces también\(R/M\) debe ser un anillo conmutativo. Claramente,\(1 + M\) actúa como identidad para También\(R/M\text{.}\) debemos demostrar que cada elemento distinto de cero en\(R/M\) tiene una inversa. Si\(a + M\) es un elemento distinto de cero en\(R/M\text{,}\) entonces\(a \notin M\text{.}\)\(I\) Definir para ser el conjunto\(\{ ra + m : r \in R \text{ and } m \in M \}\text{.}\) Mostraremos que\(I\) es un ideal en\(R\text{.}\) El conjunto no\(I\) está vacío ya que\(0a+0=0\) está en\(I\text{.}\) Si\(r_1 a + m_1\) y\(r_2 a + m_2\) son dos elementos en\(I\text{,}\) entonces

\[ (r_1 a + m_1) - ( r_2 a + m_2) = (r_1 - r_2)a + (m_1 - m_2) \nonumber \]

está en\(I\text{.}\) También, para cualquiera\(r \in R\) es cierto que de\(rI \subset I\text{;}\) ahí,\(I\) se cierra bajo multiplicación y satisface las condiciones necesarias para ser un ideal. Por lo tanto, por Proposición\(16.10\) y la definición de un ideal,\(I\) es un ideal que contiene adecuadamente\(M\text{.}\) Ya que\(M\) es un ideal máximo, en\(I=R\text{;}\) consecuencia, por la definición de debe\(I\) haber un\(m\) en\(M\) y un elemento\(b\) en\(R\) de manera que\(1=ab+m\text{.}\) Por lo tanto,

\[ 1 + M = ab + M = ba + M = (a+M)(b+M)\text{.} \nonumber \]

Por el contrario, supongamos que\(M\) es un ideal y\(R/M\) es un campo. Ya que\(R/M\) es un campo, debe contener al menos dos elementos:\(0 + M = M\) y\(1 + M\text{.}\) por lo tanto,\(M\) es un ideal propio de\(R\text{.}\) Let\(I\) be any ideal propiamente que contenga\(M\text{.}\) Necesitamos demostrar que\(I = R\text{.}\) Elegir\(a\) en\(I\) pero no en\(M\text{.}\) Desde \(a+ M\)es un elemento distinto de cero en un campo, existe un elemento\(b +M\) en\(R/M\) tal que en\((a+M)(b+M) = ab + M = 1+M\text{.}\) consecuencia, existe un elemento\(m \in M\) tal que\(ab + m = 1\) y\(1\) está en\(I\text{.}\) Por lo tanto,\(r1 =r \in I\) para todos\(r \in R\text{.}\) Consecuentemente,\(I = R\text{.}\)

Ejemplo\(16.36\)

Deja\(p{\mathbb Z}\) ser un ideal en\({\mathbb Z}\text{,}\) donde\(p\) es prime.

Solución

Entonces\(p{\mathbb Z}\) es un ideal máximo ya que\({\mathbb Z}/ p {\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_p\) es un campo.

Un ideal adecuado\(P\) en un anillo conmutativo\(R\) se llama ideal primo si siempre que\(ab \in P\text{,}\) entonces cualquiera\(a \in P\) o\(b \in P\text{.}\) ⁶

Es posible definir ideales primos en un anillo no conmutativo. Ver [1] o [3].

Ejemplo\(16.37\)

Es fácil comprobar que el conjunto\(P = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) es ideal en\({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)

Solución

Este ideal es prime. De hecho, es un ideal máximo.

Proposición\(16.38\)

Dejar\(R\) ser un anillo conmutativo con identidad\(1\text{,}\) donde\(1 \neq 0\text{.}\) Entonces\(P\) es un ideal primo en\(R\) si y solo si\(R/P\) es un dominio integral.

Prueba

Primero supongamos que\(P\) es un ideal en\(R\) y\(R/P\) es un dominio integral. Supongamos que\(ab \in P\text{.}\) Si\(a + P\) y\(b + P\) son dos elementos de\(R/P\) tal que\((a + P)(b + P) = 0 + P = P\text{,}\) entonces cualquiera\(a + P = P\) o\(b + P = P\text{.}\) Esto significa que o bien\(a\) está en\(P\) o\(b\) está en el\(P\text{,}\) que muestra que\(P\) debe ser primo.

Por el contrario, supongamos que\(P\) es primo y

\[ (a + P)(b + P) = ab + P = 0 + P = P\text{.} \nonumber \]

Entonces\(ab \in P\text{.}\) Si\(a \notin P\text{,}\) entonces\(b\) debe estar adentro\(P\) por la definición de un ideal primo; por lo tanto,\(b + P = 0 + P\) y\(R/P\) es un dominio integral.

Ejemplo\(16.39\)

Cada ideal en\({\mathbb Z}\) es de la forma\(n {\mathbb Z}\text{.}\) El anillo factor\({\mathbb Z} / n{\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_n\) es un dominio integral solo cuando\(n\) es primo. En realidad es un campo.

Solución

De ahí que los ideales primos distintos de cero en\({\mathbb Z}\) son los ideales\(p{\mathbb Z}\text{,}\) donde\(p\) es primo. Este ejemplo realmente justifica el uso de la palabra “prime” en nuestra definición de ideales primos.

Dado que cada campo es un dominio integral, tenemos el siguiente corolario.

Corolario\(16.40\)

Cada ideal máximo en un anillo conmutativo con identidad también es un ideal principal

Nota Histórica

Amalie Emmy Noether, una de las destacadas matemáticas del siglo XX, nació en Erlangen, Alemania, en 1882. Era hija de Max Noether (1844—1921), un distinguido matemático de la Universidad de Erlangen. Junto con Paul Gordon (1837—1912), el padre de Emmy Noether influyó fuertemente en su educación temprana. Ingresó a la Universidad de Erlangen a los 18 años. Aunque las mujeres habían sido admitidas en universidades de Inglaterra, Francia e Italia durante décadas, hubo una gran resistencia a su presencia en las universidades de Alemania. Noether fue una de las dos únicas mujeres entre los 986 estudiantes de la universidad. Después de completar su doctorado bajo Gordon en 1907, continuó investigando en Erlangen, ocasionalmente dando conferencias cuando su padre estaba enfermo.

Noether fue a Gotinga a estudiar en 1916. David Hilbert y Felix Klein intentaron sin éxito asegurarle una cita en Gotinga. Algunos profesores se opusieron a las profesoras, diciendo: “¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y se espera que aprendan a los pies de una mujer?” Hilbert, molesto por la pregunta, respondió: “Meine Herren, no veo que el sexo de una candidata sea un argumento en contra de su admisión como Privatdozent. Después de todo, el Senado no es una casa de baños”. Al final de la Primera Guerra Mundial, las actitudes cambiaron y las condiciones mejoraron mucho para las mujeres. Después de que Noether aprobó su examen de habilitación en 1919, se le otorgó un título y se le pagó una pequeña suma por sus conferencias.

En 1922, Noether se convirtió en Privatdozent en Göttingen. Durante los siguientes 11 años utilizó métodos axiomáticos para desarrollar una teoría abstracta de anillos e ideales. Aunque no era buena dando conferencias, Noether fue una maestra inspiradora. Uno de sus muchos alumnos fue B. L. van der Waerden, autor del primer texto que trata el álgebra abstracta desde un punto de vista moderno. Algunos de los otros matemáticos con los que Noether influyó o trabajó estrechamente con ellos fueron Alexandroff, Artin, Brauer, Courant, Hasse, Hopf, Pontryagin, von Neumann y Weyl. Uno de los puntos culminantes de su carrera fue una invitación para dirigirse al Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich en 1932. A pesar de todo el reconocimiento que recibió de sus colegas, las habilidades de Noether nunca fueron reconocidas como deberían haber sido durante su vida. Nunca fue ascendida a profesora titular por la burocracia académica prusiana.

En 1933, Noether, que era judío, se le prohibió participar en todas las actividades académicas en Alemania. Emigró a Estados Unidos, tomó un puesto en Bryn Mawr College y se convirtió en miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Noether murió repentinamente el 14 de abril de 1935. Después de su muerte fue elogiada por científicos tan notables como Albert Einstein.