16.5: Homomorfismos e ideales de anillo

En el estudio de grupos, un homomorfismo es un mapa que preserva el funcionamiento del grupo. De igual manera, un homomorfismo entre anillos preserva las operaciones de adición y multiplicación en el anillo. Más específicamente, si\(R\) y\(S\) son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es un mapa\(\phi : R \rightarrow S\) satisfactorio

\ begin {alinear*}\ phi (a + b) & =\ phi (a) +\ phi (b)\\ phi (a b) & =\ phi (a)\ phi (b)\ fin {alinear*}

para todos\(a, b \in R\text{.}\) Si\(\phi : R \rightarrow S\) es un uno-a-uno y sobre el homomorfismo, entonces\(\phi\) se llama isomorfismo de anillos.

El conjunto de elementos que mapea un homomorfismo anular\(0\) juega un papel fundamental en la teoría de los anillos. Para cualquier homomorfismo de anillo\(\phi : R \rightarrow S\text{,}\) definimos el núcleo de un homomorfismo de anillo como el conjunto

\[ \ker \phi = \{ r \in R : \phi( r ) = 0 \}\text{.} \nonumber \]

Ejemplo\(16.20\)

Para cualquier entero\(n\) podemos definir un homomorfismo de anillo\(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}_n\) por\(a \mapsto a \pmod{n}\text{.}\) Esto es de hecho un homomorfismo de anillo, ya que

Solución

\ begin {align*}\ phi (a + b) & = (a + b)\ pmod {n}\\ & = a\ pmod {n} + b\ pmod {n}\\ & =\ phi (a) +\ phi (b)\ end {align*}

y

\ begin {align*}\ phi (a b) & = ab\ pmod {n}\\ & = a\ pmod {n}\ cdot b\ pmod {n}\\ & =\ phi (a)\ phi (b)\ text {.} \ end {alinear*}

El núcleo del homomorfismo\(\phi\) es\(n {\mathbb Z}\text{.}\)

Ejemplo\(16.21\)

Dejar\(C[a, b]\) ser el anillo de funciones continuas de valor real en un intervalo\([a,b]\) como en el Ejemplo 16.5. Para un fijo\(\alpha \in [a, b]\text{,}\) podemos definir un homomorfismo de anillo\(\phi_{\alpha} : C[a, b] \rightarrow {\mathbb R}\) por\(\phi_{\alpha} (f ) = f( \alpha)\text{.}\) Este es un homomorfismo de anillo ya que

Solución

\ begin {recopilar*}\ phi_ {\ alpha} (f + g) = (f + g) (\ alpha) = f (\ alpha) + g (\ alpha) =\ phi_ {\ alpha} (f) +\ phi_ {\ alpha} (g)\\\ phi_ {\ alpha} (f g) = (f g) (\ alpha) = f (\ alpha) g (alfa\) =\ phi_ {\ alpha} (f)\ phi_ {\ alpha} (g)\ text {.} \ end {reunir*}

Los homomorfismos de anillo del tipo\(\phi_{\alpha}\) se denominan homomorfismos de evaluación.

En la proposición siguiente examinaremos algunas propiedades fundamentales de los homomorfismos de anillo. La prueba de la proposición se deja como ejercicio.

Proposición\(16.22\)

\(\phi : R \rightarrow S\)Déjese ser un homomorfismo de anillo.

1. Si\(R\) es un anillo conmutativo, entonces\(\phi(R)\) es un anillo conmutativo.
2. \(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
3. Dejar\(1_R\) y\(1_S\) ser las identidades para\(R\) y\(S\text{,}\) respectivamente. Si\(\phi\) está encendido, entonces\(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
4. Si\(R\) es un campo y\(\phi(R) \neq \{ 0 \}\text{,}\) luego\(\phi(R)\) es un campo.

En la teoría de grupos encontramos que los subgrupos normales juegan un papel especial. Estos subgrupos tienen características agradables que los hacen más interesantes de estudiar que los subgrupos arbitrarios. En teoría de anillos los objetos correspondientes a subgrupos normales son una clase especial de subring llamados ideales. Un ideal en un anillo\(R\) es un subring\(I\) de\(R\) tal manera que si\(a\) está en\(I\) y\(r\) está en\(R\text{,}\) entonces ambos\(ar\) y\(ra\) están en\(I\text{;}\) eso es,\(rI \subset I\) y\(Ir \subset I\) para todos\(r \in R\text{.}\)

Ejemplo\(16.23\)

Cada anillo\(R\) tiene al menos dos ideales,\(\{ 0 \}\) y\(R\text{.}\) estos ideales se llaman

Solución

los ideales triviales.

Que\(R\) sea un anillo con identidad y supongamos que\(I\) es un ideal en\(R\) tal que\(1\) está en\(I\text{.}\) Desde para cualquiera\(r \in R\text{,}\)\(r1 = r \in I\) por la definición de un ideal,\(I = R\text{.}\)

Ejemplo\(16.24\)

Si\(a\) hay algún elemento en un anillo conmutativo\(R\) con identidad, entonces el conjunto

\[ \langle a \rangle = \{ ar : r \in R \} \nonumber \]

es un ideal en\(R\text{.}\)

Solución

Ciertamente,\(\langle a \rangle\) es no vacío ya que ambos\(0 = a0\) y\(a = a1\) están en\(\langle a \rangle\text{.}\) La suma de dos elementos en\(\langle a \rangle\) está de nuevo en\(\langle a \rangle\) ya que\(ar + ar' = a(r + r')\text{.}\) La inversa de\(ar\) es\(-ar = a (-r) \in \langle a \rangle\text{.}\) Finalmente, si multiplicamos un elemento\(ar \in \langle a \rangle\) por un elemento arbitrario\(s \in R\text{,}\) tenemos \(s(ar) = a(sr)\text{.}\)Por lo tanto,\(\langle a \rangle\) satisface la definición de ideal.

Si\(R\) es un anillo conmutativo con identidad, entonces un ideal de la forma\(\langle a \rangle = \{ ar : r \in R \}\) se llama ideal principal.

Teorema\(16.25\)

Todo ideal en el anillo de enteros\({\mathbb Z}\) es un ideal principal.

Prueba

El ideal cero\(\{ 0 \}\) es un ideal principal ya que\(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\text{.}\) Si\(I\) es cualquier ideal distinto de cero en\({\mathbb Z}\text{,}\) entonces\(I\) debe contener algún entero positivo\(m\text{.}\) Existe un entero menos positivo\(n\) en\(I\) por el Principio de Ordenamiento Bien. Ahora dejemos\(a\) ser cualquier elemento en\(I\text{.}\) Usando el algoritmo de división, sabemos que existen enteros\(q\) y\(r\) tal que

\[ a = nq + r \nonumber \]

donde\(0 \leq r \lt n\text{.}\) Esta ecuación nos dice que\(r = a - nq \in I\text{,}\) pero\(r\) debe ser\(0\) ya que\(n\) es el elemento menos positivo en\(I\text{.}\) Por lo tanto,\(a = nq\) y\(I = \langle n \rangle\text{.}\)

Ejemplo\(16.26\)

El conjunto\(n {\mathbb Z}\) es ideal en el anillo de enteros. Si\(na\) está en\(n{\mathbb Z}\) y\(b\) está en\({\mathbb Z}\text{,}\)

Solución

entonces\(nab\) está en\(n {\mathbb Z}\) según se requiera. De hecho, por el Teorema 16.25, estos son los únicos ideales de\({\mathbb Z}\text{.}\)

Proposición\(16.27\)

El núcleo de cualquier homomorfismo de anillo\(\phi : R \rightarrow S\) es un ideal en\(R\text{.}\)

Prueba

Sabemos por teoría de grupos que\(\ker \phi\) es un subgrupo aditivo de\(R\text{.}\) Supongamos que\(r \in R\) y\(a \in \ker \phi\text{.}\) Entonces debemos demostrar eso\(ar\) y\(ra\) estamos en\(\ker \phi\text{.}\) Sin embargo,

\[ \phi(ar) = \phi(a) \phi(r) = 0 \phi(r) = 0 \nonumber \]

y

\[ \phi(ra) = \phi(r) \phi(a) = \phi(r)0 = 0\text{.} \nonumber \]

Comentario\(16.28\)

En nuestra definición de ideal hemos requerido eso\(rI \subset I\) y\(Ir \subset I\) para todos\(r \in R\text{.}\) Tales ideales son a veces referidos como ideales de doble cara. También podemos considerar ideales unilaterales; es decir, podemos requerir solo eso\(rI \subset I\) o\(Ir \subset I\) para\(r \in R\) sostenerse pero no ambos. Tales ideales se llaman ideales de izquierda e ideales de derecha, respectivamente. Por supuesto, en un anillo conmutativo cualquier ideal debe ser de doble cara. En este texto nos concentraremos en los ideales de doble cara.

Teorema\(16.29\)

Dejar\(I\) ser un ideal de\(R\text{.}\) El grupo de factores\(R/I\) es un anillo con multiplicación definida por

\[ (r + I)(s + I) = rs + I\text{.} \nonumber \]

Prueba

Ya sabemos que\(R/I\) es un grupo abeliano en adición. Dejar\(r+I\) y\(s +I\) estar en\(R/I\text{.}\) Debemos demostrar que el producto\((r + I)(s + I) = rs + I\) es independiente de la elección del coset; es decir, si\(r' \in r+I\) y\(s' \in s+I\text{,}\) entonces\(r's'\) debe estar en\(rs+I\text{.}\) Puesto que\(r' \in r+I\text{,}\) existe un elemento\(a\) en\(I\) tal que\(r' = r + a\text{.}\) De igual manera, existe\(b \in I\) tal que\(s' = s + b\text{.}\) Aviso que

\[ r' s' = (r+a)(s+b) = rs + as + rb + ab \nonumber \]

y\(as + rb + ab \in I\) ya que\(I\) es un ideal; consecuentemente,\(r' s' \in rs + I\text{.}\) dejaremos como ejercicio la verificación de la ley asociativa para la multiplicación y las leyes distributivas.

El anillo\(R/I\) en Teorema\(16.29\) se llama el factor o anillo cociente. Al igual que con los homomorfismos grupales y los subgrupos normales, existe una relación entre los homomorfismos de anillo y los ideales.

Teorema\(16.30\)

Dejar\(I\) ser un ideal de\(R\text{.}\) El mapa\(\phi : R \rightarrow R/I\) definido por\(\phi( r ) = r + I\) es un homomorfismo de anillo de\(R\) onto\(R/I\) con kernel\(I\text{.}\)

Prueba

Ciertamente\(\phi : R \rightarrow R/I\) es un grupo abeliano suryectiva homomorfismo. Queda por mostrar que\(\phi\) funciona correctamente bajo multiplicación de anillos. Dejar\(r\) y\(s\) estar en\(R\text{.}\) Entonces

\[ \phi(r) \phi(s) = (r + I)(s+I) = rs + I = \phi(rs)\text{,} \nonumber \]

que completa la prueba del teorema.

El mapa\(\phi : R \rightarrow R/I\) suele llamarse el homomorfismo natural o canónico. En la teoría de anillos tenemos teoremas de isomorfismo que relacionan ideales y homomorfismos de anillo similares a los teoremas de isomorfismo para grupos que relacionan subgrupos normales y homomorfismos en el Capítulo 11. Demostraremos solo el Primer Teorema del Isomorfismo para anillos en este capítulo y dejaremos como ejercicios las pruebas de los otros dos teoremas. Todas las pruebas son similares a las pruebas de los teoremas de isomorfismo para grupos.

Teorema\(16.31\). First Isomorphism Theorem

\(\psi : R \rightarrow S\)Déjese ser un homomorfismo de anillo. Entonces\(\ker \psi\) es un ideal de\(R\text{.}\) Si\(\phi : R \rightarrow R/\ker \psi\) es el homomorfismo canónico, entonces existe un isomorfismo único\(\eta: R/\ker \psi \rightarrow \psi(R)\) tal que\(\psi = \eta \phi\text{.}\)

Prueba

Dejar\(K = \ker \psi\text{.}\) Por el Primer Teorema del Isomorfismo para grupos, existe un homomorfismo grupal bien\(\eta: R/K \rightarrow \psi(R)\) definido definido por\(\eta(r + K) = \psi(r)\) para los grupos aditivos abelianos\(R\) y\(R/K\text{.}\) Para demostrar que este es un homomorfismo de anillo, solo necesitamos mostrar eso\(\eta( (r + K)(s + K) ) = \eta(r + K) \eta( s + K)\text{;}\) pero

\ begin {alinear*}\ eta ((r + K) (s +K)) & =\ eta (r s +K)\\ & =\ psi (r s)\\ & =\ psi (r)\ psi (s)\\ & =\ eta (r + K)\ eta (s + K)\ texto {.} \ end {alinear*}

Teorema\(16.32\). Second Isomorphism Theorem

Deja\(I\) ser un subring de un anillo\(R\) y\(J\) un ideal de\(R\text{.}\) Entonces\(I \cap J\) es un ideal de\(I\) y

\[ I / I \cap J \cong (I+ J) /J\text{.} \nonumber \]

Teorema\(16.33\). Third Isomorphism Theorem

\(R\)Dejen ser un anillo\(I\) y y\(J\) sean ideales de\(R\) donde\(J \subset I\text{.}\) Entonces

\[ R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \nonumber \]

Teorema\(16.34\). Correspondence Theorem

Dejar\(I\) ser un ideal de un anillo\(R\text{.}\) Entonces\(S \mapsto S/I\) es una correspondencia uno a uno entre el conjunto de subring que\(S\) contiene\(I\) y el conjunto de subring de\(R/I\text{.}\) Además, el ideales de\(R\) contener\(I\) corresponden a ideales de\(R/I\text{.}\)