20.1: Definiciones y Ejemplos

Un espacio vectorial\(V\) sobre un campo\(F\) es un grupo abeliano con un producto escalar\(\alpha \cdot v\) o\(\alpha v\) definido para todos\(\alpha \in F\) y todos\(v \in V\) satisfaciendo los siguientes axiomas.

• \(\alpha(\beta v) =(\alpha \beta)v\text{;}\)
• \((\alpha + \beta)v =\alpha v + \beta v\text{;}\)
• \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\text{;}\)
• \(1v=v\text{;}\)

dónde\(\alpha, \beta \in F\) y\(u, v \in V\text{.}\)

Los elementos de\(V\) se llaman vectores; los elementos de\(F\) se llaman escalares. Es importante notar que en la mayoría de los casos no se pueden multiplicar dos vectores. En general, sólo es posible multiplicar un vector con un escalar. Para diferenciar entre el cero escalar y el vector cero, los escribiremos como 0 y\({\mathbf 0}\text{,}\) respectivamente.

Examinemos varios ejemplos de espacios vectoriales. Algunos de ellos serán bastante familiares; otros parecerán menos.

Ejemplo\(20.1\)

Las\(n\) -tuplas de números reales, denotadas por\({\mathbb R}^n\text{,}\) forman un espacio vectorial sobre Vectores\({\mathbb R}\text{.}\) dados\(u = (u_1, \ldots, u_n)\)\({\mathbb R}^n\) y\(v = (v_1, \ldots, v_n)\)\(\alpha\) en y en\({\mathbb R}\text{,}\) podemos definir

Solución

vector, suma, por

\[ u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \nonumber \]

y multiplicación escalar por

\[ \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \nonumber \]

Ejemplo\(20.2\)

Si\(F\) es un campo, entonces\(F[x]\) es un espacio vectorial sobre\(F\text{.}\) Los vectores en\(F[x]\) son simplemente polinomios, y la adición de vectores es solo adición polinómica. Si\(\alpha \in F\) y\(p(x) \in F[x]\text{,}\) luego la multiplicación escalar se define por

Solución

\(\alpha p(x)\text{.}\)

Ejemplo\(20.3\)

El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un intervalo cerrado\([a,b]\) es un espacio vectorial sobre\({\mathbb R}\text{.}\) If\(f(x)\) y\(g(x)\) son continuas en\([a, b]\text{,}\) entonces

Solución

\((f+g)(x)\)se define para ser La multiplicación\(f(x) + g(x)\text{.}\) escalar se define por\((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\) por\(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Por ejemplo, si\(f(x) = \sin x\) y\(g(x)= x^2\text{,}\) luego\((2f + 5g)(x) =2 \sin x + 5 x^2\text{.}\)

Ejemplo\(20.4\)

Let\(V = {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q } \}\text{.}\) Entonces\(V\) es un espacio vectorial sobre\({\mathbb Q}\text{.}\) Si\(u = a + b \sqrt{2}\) y\(v = c + d \sqrt{2}\text{,}\) luego

Solución

\(u + v = (a + c) + (b + d ) \sqrt{2}\)está de nuevo en\(V\text{.}\) También, para\(\alpha \in {\mathbb Q}\text{,}\)\(\alpha v\) está en\(V\text{.}\) Lo dejaremos como un ejercicio para verificar que todos los axiomas espaciales vectoriales se mantienen para\(V\text{.}\)

Proposición\(20.5\)

Let\(V\) be a vector space over\(F\text{.}\) Entonces cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera.

1. \(0v ={\mathbf 0}\)para todos\(v \in V\text{.}\)
2. \(\alpha {\mathbf 0} = {\mathbf 0}\)para todos\(\alpha \in F\text{.}\)
3. Si\(\alpha v = {\mathbf 0}\text{,}\) entonces cualquiera\(\alpha = 0\) o\(v = {\mathbf 0}\text{.}\)
4. \((-1) v = -v\)para todos\(v \in V\text{.}\)
5. \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\)para todos\(\alpha \in F\) y para todos\(v \in V\text{.}\)

Prueba

Para probar (1), observar que

\[ 0 v = (0 + 0)v = 0v + 0v; \nonumber \]

en consecuencia,\({\mathbf 0} + 0 v = 0v + 0v\text{.}\) ya que\(V\) es un grupo abeliano,\({\mathbf 0} = 0v\text{.}\)

La prueba de (2) es casi idéntica a la prueba de (1). Para (3), estamos hechos si\(\alpha = 0\text{.}\) Supongamos que\(\alpha \neq 0\text{.}\) Multiplicando ambos lados de\(\alpha v = {\mathbf 0}\) por\(1/ \alpha\text{,}\) tenemos\(v = {\mathbf 0}\text{.}\)

Para mostrar (4), observar que

\[ v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1-1)v = 0v = {\mathbf 0}\text{,} \nonumber \]

y así\(-v = (-1)v\text{.}\) dejaremos el comprobante de (5) como ejercicio.