20.7: Salvia

Muchos cálculos, en áreas aparentemente muy diferentes de las matemáticas, pueden traducirse en preguntas sobre combinaciones lineales, u otras áreas del álgebra lineal. Por lo que Sage cuenta con un amplio y completo soporte para temas como los espacios vectoriales.

Espacios vectoriales

La forma más sencilla de crear un espacio vectorial es comenzar con un campo y usar un exponente para indicar el número de entradas en los vectores del espacio.

Los elementos se pueden construir con el constructor vectorial.

Observe que los vectores se imprimen con paréntesis, lo que ayuda a distinguirlos de las listas (aunque también parecen tuplas). Los vectores se imprimen horizontalmente, pero en Sage no existe tal cosa como un “vector de fila” o un “vector de columna”, aunque una vez que las matrices se involucran necesitamos abordar esta distinción. Finalmente, observe cómo los elementos del campo finito se han convertido en una representación alternativa.

Una vez que tenemos espacios vectoriales llenos de vectores, podemos realizar cálculos con ellos. En última instancia, toda la acción en un espacio vectorial vuelve a la adición de vectores y a la multiplicación escalar, que juntas crean combinaciones lineales.

Subespacios

Sage puede crear subespacios de diversas maneras, como en la creación de espacios de fila o columna de matrices. Sin embargo, la forma más directa es comenzar con un conjunto de vectores para usar como conjunto de expansión.

Observe que la información impresa sobre S incluye una “matriz base”. Las filas de esta matriz son una base para el espacio vectorial. Podemos obtener la base, como una lista de vectores (no filas de una matriz), con el método.basis ().

Observe que Sage ha convertido el conjunto de expansión de tres vectores en una base con dos vectores. Esto se debe en parte a que el conjunto original de tres vectores es linealmente dependiente, pero se ha producido un cambio más sustancial.

Este es un buen lugar para discutir algunas de las matemáticas detrás de lo que hace que Sage funcione. Un espacio vectorial sobre un campo infinito, como los racionales o los reales, es un conjunto infinito. No importa cuán expansiva pueda parecer la memoria de la computadora, sigue siendo finita. ¿Cómo encaja Sage un conjunto infinito en nuestras máquinas finitas? La idea principal es que un espacio vectorial finito-dimensional tenga un conjunto finito de generadores, que conocemos como base. Entonces Sage realmente solo necesita los elementos de una base (dos vectores en el ejemplo anterior) para poder trabajar con las infinitamente muchas posibilidades de elementos del subespacio.

Además, para cada base asociada a un espacio vectorial, Sage realiza combinaciones lineales para convertir la base dada en otra base “estándar”. Esta nueva base tiene la propiedad de que como filas de una matriz, la matriz está en forma de fila-escalón reducido. Esto se puede ver en la matriz base anterior. La forma reducida fila-escalón de una matriz es única, por lo que esta base estándar permite a Sage reconocer cuando dos espacios vectoriales son iguales. Aquí hay un ejemplo.

Como cabría esperar, es fácil determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Independencia Lineal

Hay una variedad de formas en Sage para determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o no, y para encontrar relaciones de dependencia lineal si existen. La técnica que mostraremos aquí es una prueba simple para ver si un conjunto de vectores es linealmente independiente o no. Simplemente use los vectores como un conjunto de expansión para un subespacio y verifique la dimensión del subespacio. La dimensión es igual al número de vectores en el conjunto de expansión si y solo si el conjunto de expansión es linealmente independiente.

Entonces el primer conjunto de vectores, [u, v, w], es linealmente independiente, mientras que el segundo conjunto, [u, v, a^3*u + a^11*v], no lo es.

Espacios vectoriales abstractos

Sage no implementa muchos espacios vectoriales abstractos directamente, como\(P_n\text{,}\) el espacio vectorial de polinomios de grado\(n\) o menos. Esto se debe en parte a que un espacio vectorial finito-dimensional sobre un campo\(F\) es isomórfico al espacio vectorial\(F^n\text{.}\) Así que Sage captura toda la funcionalidad de los espacios vectoriales finito-dimensionales, y se deja al usuario realizar las conversiones de acuerdo con el isomorfismo (que es a menudo trivial con la elección de una base obvia).

Sin embargo, hay casos en los que los anillos se comportan naturalmente como espacios vectoriales y podemos explotar esta estructura extra. Veremos mucho más de esto en los capítulos sobre campos y teoría de Galois. Como ejemplo, los campos finitos tienen un solo generador, y las primeras potencias del generador forman una base. Considera crear un espacio vectorial a partir de los elementos de un campo finito de orden\(7^6=117\,649\text{.}\) Como elementos de un campo sabemos que se pueden agregar, por lo que definiremos esto para que sea la adición en nuestro espacio vectorial. Para cualquier elemento de los enteros mod 7, podemos multiplicar un elemento del campo por el entero, así definimos que esta es nuestra multiplicación escalar. Posteriormente, tendremos la certeza de que estas dos definiciones conducen a un espacio vectorial, pero damos eso por sentado ahora. Entonces aquí hay algunas operaciones en nuestro nuevo espacio vectorial.

Podrías reconocer que esto le resulta muy familiar a la forma en que agregamos polinomios, y multiplicamos polinomios por escalares. Estarías en lo correcto. Sin embargo, observe que en esta construcción de espacio vectorial, estamos ignorando totalmente la posibilidad de multiplicar dos elementos de campo juntos. Como un espacio vectorial con escalares desde\({\mathbb Z}_7\text{,}\) una base son las primeras seis potencias del generador,\(\{1,\,a,\,a^2,\,a^3,\,a^4,\,a^5\}\text{.}\) (Observe cómo contar desde cero es natural aquí.) Es posible que hayas notado cómo Sage reescribe consistentemente elementos de campos como combinaciones lineales; ahora tienes una buena explicación.

Esto es lo que sabe Sage sobre un campo finito como espacio vectorial. Primero, sabe que el campo finito es un espacio vectorial, y cuál es el campo de los escalares. Suprimimos la salida adicional con isomorfismos entre la estructura de campo finito y la estructura espacial vectorial.

Entonces el campo finito (como espacio vectorial) es isomórfico al espacio vectorial\(({\mathbb Z}_7)^6\text{.}\) Observe que esto no es un isomorfismo de anillo o campo, ya que no aborda completamente la multiplicación de elementos, aunque eso sea posible en el campo.

Segundo, los elementos del campo se pueden convertir fácilmente en elementos del espacio vectorial.

Observe que Sage escribe primero elementos de campo con altas potencias del generador, mientras que la base en uso se ordena primero con potencias bajas. Los cálculos siguientes ilustran el isomorfismo preservando la estructura entre el propio campo finito y su interpretación como espacio vectorial,\(({\mathbb Z}_7)^6\text{.}\)

Álgebra Lineal

Sage tiene un amplio soporte para álgebra lineal, mucho más allá de lo que hemos descrito aquí, o lo que necesitaremos para los capítulos restantes. Cree espacios vectoriales y vectores (con diferentes campos de escalares) y luego use tab-completion en estos objetos para explorar los grandes conjuntos de comandos disponibles.