20.8: Ejercicios de salvia

1

Dados dos subespacios\(U\) y\(W\) de un espacio vectorial\(V\text{,}\) su suma\(U+W\) puede definirse como el conjunto\(U+W=\{u+w\mid u\in U,\ w\in W\}\text{,}\) en otras palabras, el conjunto de todas las sumas posibles de un elemento de\(U\) y un elemento de\(W\text{.}\)

Observe que esta no es la suma directa de su texto, ni el método direct_sum () en Sage. Sin embargo, puedes construir este subespacio en Sage de la siguiente manera. Agarra las bases de\(U\) e\(W\) individualmente, como listas de vectores. Únete a las dos listas con solo usar un signo más entre ellas. Ahora construye el subespacio sum creando un subespacio de\(V\) abarcado por este conjunto, usando el método.subspace ().

En el espacio vectorial (QQ^10) construye dos subespacios que esperas que (a) tengan dimensión más\(5\)\(6\) o menos, y (b) tengan una intersección que sea un espacio vectorial de dimensión más\(2\) o menos. Comparar sus dimensiones individuales con las dimensiones de la intersección de\(U\) y\(W\) (\(U\cap W\text{,}\).intersección () en Sage) y la suma\(U+W\text{.}\)

Repita el experimento con los dos espacios vectoriales originales que tengan una dimensión más\(8\) o menos, y con la intersección lo más pequeña posible. Forme una conjetura general que relacione estas cuatro dimensiones en función de los resultados de sus dos (o más) experimentos.

2

Podemos construir un campo en Sage que extienda los racionales sumando una cuarta raíz de dos,\({\mathbb Q}[\sqrt[4]{2}]\text{,}\) con el comando F. = QQ [2^ (1/4)]<c>. Se trata de un espacio vectorial de dimensión\(4\) sobre los racionales, con una base que son las primeras cuatro potencias de\(c = \sqrt[4]{2}\) (comenzando con la potencia cero).

El comando f.vector_space () devolverá tres elementos en un triple (así que tenga cuidado de cómo maneja esta salida para extraer lo que necesita). La primera parte de la salida es un espacio vectorial sobre los racionales que es isomórfico a F. El siguiente es un isomorfismo espacial vectorial (transformación lineal invertible) desde el espacio vectorial proporcionado al campo, mientras que el tercero es un isomorfismo en la dirección opuesta. Estos dos isomorfismos pueden entonces ser utilizados como funciones. Observe que este es un comportamiento diferente al de .vector_space () aplicado a campos finitos. Crear ejemplos no triviales que muestren que estos isomorfismos espaciales vectoriales se comportan como debería hacerlo un isomorfismo. (Tendrá al menos cuatro ejemplos de este tipo en una solución completa.)

3

Construir un campo finito\(F\) de orden\(p^n\) de la manera habitual. Luego construya el grupo (multiplicativo) de todas las\(m\times m\) matrices invertibles (no singulares) sobre este campo con el comando G = GL (m, F) (“el grupo lineal general”). ¿Cuál es el orden de este grupo? Es decir, encontrar una expresión general para el orden de este grupo.

Su respuesta debe ser una función de\(m\text{,}\)\(p\) y\(n\text{.}\) proporcionar una explicación completa de la lógica detrás de su solución (es decir, algo parecido a una prueba). También proporciona pruebas en Sage que tu respuesta sea correcta.

Consejos: G.order () te ayudará a probar y verificar tus hipótesis. Pequeños ejemplos en Sage (enumerando todos los elementos del grupo) pueden ayudar a tu intuición, razón por la cual este es un ejercicio de Sage. Pequeñas medias\(2\times 2\) y\(3\times 3\) matrices y campos finitos con\(2,3,4,5\) elementos, a lo sumo. Los resultados no dependen realmente de cada uno de\(p\) y\(n\text{,}\) sino más bien de\(p^n\text{.}\)

Darse cuenta de que este grupo es interesante porque contiene representaciones de todas las transformaciones lineales invertibles (es decir, 1-1 y sobre) desde el espacio vectorial (finito)\(F^m\) hacia sí mismo.

4

¿Qué pasa si tratamos de hacer álgebra lineal sobre un anillo que no es también un campo? El objeto que se asemeja a un espacio vectorial, pero con esta distinción, se conoce como módulo. Se puede construir uno fácilmente con una construcción como ZZ^3. Evalúe lo siguiente para crear un módulo y un submódulo.

Examinar las bases y dimensiones (también conocido como “rango”) del módulo y submódulo, y verificar la igualdad del módulo y el submódulo. ¿En qué se diferencia esto de la situación de los espacios vectoriales? ¿Se puede crear un tercer módulo, P, que sea un subconjunto apropiado de M y que contenga correctamente N?

5

Un campo finito,\(F\text{,}\) de orden\(5^3\) es un espacio vectorial de dimensión 3 sobre\({\mathbb Z}_5\text{.}\) Supongamos que\(a\) es un generador de\(F\text{.}\) Let\(M\) be any\(3\times 3\) matrix con entradas de\({\mathbb Z}_5\) (cuidado aquí, los elementos son del th campo de escalares, no del espacio vectorial). Si convertimos un elemento\(x\in F\) en un vector (relativo a la base\(\{1,a,a^2\}\)), entonces podemos multiplicarlo por\(M\) (con\(M\) a la izquierda) para crear otro vector, que podemos traducir a una combinación lineal de los elementos base, y de ahí otro elemento de\(F\text{.}\) Esta función es un homomorfismo espacial vectorial, mejor conocido como una transformación lineal (implementada con una representación matricial relativa a la base\(\{1,a,a^2\}\text{.}\) Observe que cada parte a continuación se vuelve menos general y más específica.

1. Crear una matriz no invertible\(R\) y dar ejemplos para mostrar que el mapeo descrito por\(R\) es un homomorfismo espacial vectorial de\(F\) into\(F\text{.}\)
2. Crear una matriz invertible\(M\text{.}\) El mapeo ahora será un homomorfismo invertible. Determinar la función inversa y dar ejemplos para verificar sus propiedades.
3. Dado que\(a\) es un generador del campo, el mapeo se\(a\mapsto a^5\) puede extender a un homomorfismo espacial vectorial (es decir, una transformación lineal). Encontrar una matriz\(M\) que realice esta transformación lineal, y a partir de esta, determinar que el homomorfismo es invertible.
4. Ninguna de las tres partes anteriores se aplica a las propiedades de multiplicación en campo. Sin embargo, el mapeo de la tercera parte también preserva la multiplicación en el campo, aunque una prueba de ello puede no ser obvia en este momento. Entonces estamos diciendo que este mapeo es un automorfismo de campo, preservando tanto la suma como la multiplicación. Dar un ejemplo no trivial de las propiedades de conservación de la multiplicación de este mapeo. (Este es el mapa de Frobenius que se discutirá más a fondo en el Capítulo 21.)