21.7: Salvia

En Sage, y en otros lugares, una extensión de los racionales se llama “campo numérico”. Son una de las características más maduras de Sage.

Campos numéricos

Hay varias formas de crear un campo numérico. Estamos familiarizados con la sintaxis donde colindamos con un número irracional que podemos escribir con combinaciones tradicionales de aritmética y raíces.

También podemos especificar el elemento que queremos colindar como la raíz de un polinomio monico irreducible. Un enfoque es construir primero el anillo polinomio para que el polinomio tenga la ubicación de sus coeficientes especificada adecuadamente.

En lugar de construir todo el anillo polinomio, simplemente podemos introducir una variable como generador de un anillo polinomio y luego crear polinomios a partir de esta variable. Esto nos ahorra nombrar el anillo polinomio. Observe en el ejemplo que ambas instancias de z son necesarias.

Podemos recuperar el polinomio utilizado para crear un campo numérico, aunque lo construyamos dando una expresión para un elemento irracional. En este caso, el polinomio es el polinomio mínimo del elemento.

Para cualquier elemento de un campo numérico, Sage calculará con gusto su polinomio mínimo.

Sustituir elemento de nuevo en el supuesto polinomio mínimo y volver a cero no es evidencia convincente de que sea el polinomio mínimo, pero es reconfortante.

Campos de Número Relativo y Absoluto

Con Sage podemos colindar varios elementos a la vez y podemos construir torres anidadas de campos numéricos. Sage usa el término “absoluto” para referirse a un campo numérico visto como una extensión de los propios racionales, y el término “relativo” para referirse a un campo numérico construido, o visto, como una extensión de otro campo numérico (no trivial).

El campo numérico A se ha construido matemáticamente como lo que escribiríamos como\({\mathbb Q}\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3}]\subset{\mathbb Q}[\sqrt{3},\sqrt{2}]\text{.}\) Observe la ligera diferencia en el orden de los elementos que estamos contiguos, y observe cómo los campos numéricos usan nombres internos ligeramente más fantásticos (sqrt2, sqrt3) para los nuevos elementos .

Podemos “aplanar” un campo relativo para verlo como un campo absoluto, lo que pudo haber sido nuestra intención desde el inicio. Aquí creamos un nuevo campo numérico a partir de A que lo convierte en un campo de número absoluto puro.

Una vez que construimos un campo numérico absoluto de esta manera, podemos recuperar isomorfismos hacia y desde el campo absoluto. Recordemos que nuestra torre fue construida con generadores a y b, mientras que la torre aplanada es generada por c. El método.structure () devuelve un par de funciones, con el campo de número absoluto como dominio y codominio (en ese orden).

Esto nos dice que el generador único de la torre aplanada, c, es igual a\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\text{,}\) y además, cada uno de\(\sqrt{2}\) y\(\sqrt{3}\) puede expresarse como funciones polinómicas de c. Con estas conexiones, es posible que desee calcular las dos expresiones finales en c a mano, y apreciar el trabajo que Sage realiza para determinarlas por nosotros. Este cálculo es un ejemplo de la conclusión del próximo Teorema\(23.13\).

Muchos métodos de campo numérico tienen versiones tanto relativas como absolutas, y también nos resultará más conveniente trabajar en una torre o en una versión aplanada, por lo que los isomorfismos entre los dos pueden ser invaluables para traducir tanto preguntas como respuestas.

Como espacio vectorial sobre\({\mathbb Q}\text{,}\) o sobre otro campo numérico, los campos numéricos que son extensiones finitas tienen una dimensión, llamada grado. Estos son fáciles de obtener de Sage, aunque para un campo relativo, necesitamos ser más precisos sobre qué grado deseamos.

Dividir campos

Aquí hay un ejemplo concreto de cómo usar Sage para construir un campo de división de un polinomio. Considerar Primero\(p(x)=x^4+x^2-1\text{.}\) construimos un campo numérico con una sola raíz, y luego factorizamos el polinomio sobre este nuevo campo, más grande.

Entonces nuestro polinomio factoriza parcialmente en dos factores lineales y un factor cuadrático. Pero fíjense que el factor cuadrático tiene un coeficiente que es irracional,\(a^2+1\text{,}\) por lo que el factor cuadrático pertenece propiamente al anillo polinómico sobre M y no sobre QQ.

Construimos una extensión que contiene una raíz del factor cuadrático, llamada q aquí. Entonces, en lugar de usar la función polygen (), construimos un anillo polinómico entero R sobre N con la z indeterminada. La razón para hacer esto es que podemos ilustrar cómo “actualizamos” el polinomio p con la sintaxis R (p) para pasar de tener coeficientes en M a tener coeficientes en N.

Entonces tenemos un campo, N, donde nuestro polinomio se convierte en factores lineales con coeficientes del campo. Podemos obtener otra factorización convirtiendo N a un campo numérico absoluto y factorizando allí. Necesitamos recrear el polinomio sobre N, ya que una sustitución llevará coeficientes del anillo equivocado.

Esta es una alternativa interesante, en que las raíces del polinomio son expresiones en términos del generador único c. Dado que las raíces involucran un séptimo poder de c, podríamos sospechar (pero no estar seguros) que el polinomio mínimo de c tiene grado\(8\) y que P es una\(8\) extensión de grado de los racionales. De hecho P (o N) es un campo de división para\(p(x)=x^4+x^2-1\text{.}\) Las raíces no son realmente tan malas como parecen — vamos a convertirlas de nuevo al campo de número relativo.

Primero queremos reescribir un solo factor (el primero) en el formulario\((w-r)\) para identificar la raíz con los signos correctos.

Con los isomorfismos de conversión, podemos reconocer las raíces por lo que son.

Entonces la expresión bastante complicada en c es solo lo negativo de la raíz que nos unimos en el segundo paso de construir la torre de campos numéricos. Sería un buen ejercicio para ver qué pasa con las otras tres raíces (teniendo cuidado de conseguir los signos correctos en cada raíz).

Esta es una buena oportunidad para ilustrar el Teorema\(21.17\).

Números algebraicos

Corolario\(21.24\) dice que el conjunto de todos los números algebraicos forma un campo. Este campo se implementa en Sage como QQBar. Esto permite encontrar raíces de polinomios como cantidades exactas que se muestran como números inexactos.

Entonces pedimos las raíces de un polinomio sobre los racionales, pero solicitamos cualquier raíz que pudiera estar fuera de los racionales y dentro del campo de los números algebraicos. Dado que el campo de los números algebraicos contiene todas esas raíces, obtenemos cuatro raíces completas del polinomio de cuarto grado. Estas raíces se calculan para que se encuentren dentro de un intervalo y el signo de interrogación indica que los dígitos anteriores son precisos. (Los enteros emparejados con cada raíz son las multiplicidades de esa raíz. Usa la palabra clave multiplicities=False para desactivarlos.) Echemos un vistazo bajo el capó y veamos cómo Sage maneja el campo de los números algebraicos.

Tres ítems están asociados con esta raíz inicial. Primero es un campo numérico, con generador a y un polinomio definitorio similar al polinomio del que estamos encontrando las raíces, pero no idénticas. Segundo es una expresión en el generador a, que es la raíz real. Podría evaluar esta expresión con la aproximación numérica de a, que viene a continuación, para verificar que esta es una raíz. Por último, existe un homomorfismo de anillo desde el campo numérico hasta el “Campo Real Algebraico”, AA, el subcampo de QQBar con solo elementos reales, que asocia el generador a con el número -1.272019649514069? . Verifiquemos, de dos maneras, que la raíz dada es realmente una raíz.

Ahora que tenemos suficiente teoría para entender el campo de los números algebraicos, y una forma natural de representarlos exactamente, podrías considerar las operaciones en el campo. Si tomamos dos números algebraicos y los sumamos juntos, obtenemos otro número algebraico (Corolario\(21.24\)). Entonces, ¿cuál es el polinomio mínimo resultante? ¿Cómo se calcula en Sage? Podrías leer el código fuente si quisieras la respuesta.

Construcciones Geométricas

Sage puede hacer muchas cosas, pero aún no es capaz de trazar líneas con una recta y brújula. Sin embargo, podemos determinar muy rápidamente que trisectar un ángulo de\(60\) grado es imposible. Colindamos el coseno de un ángulo de\(20\) grado (en radianes) a los racionales, determinamos el grado de extensión, y verificamos que no es una potencia entera de\(2\text{.}\) En una línea. Dulce.