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23.8: Ejercicios de salvia

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    1

    En el análisis de Ejemplo\(23.25\) con salvia, no se analizaron dos subgrupos de orden\(2\) y un subgrupo de orden\(4\). Determinar los campos fijos de estos tres subgrupos.

    2

    Construir el campo de división de\(p(x)=x^3-6x^2+12x-10\) y luego determinar el grupo Galois de\(p(x)\) como un grupo concreto de permutaciones explícitas. Construir la red de subgrupos del grupo Galois, nuevamente usando las mismas permutaciones explícitas. Utilizando el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois, construir los subcampos del campo de división. Incluye tu documentación de respaldo en tu hoja de trabajo de Sage enviada. Además, presentar un componente escrito de esta tarea que contenga una maquetación completa de los subgrupos y subcampos, escritos íntegramente con notación matemática y sin comandos Sage, diseñados para ilustrar la correspondencia entre ambos. Todo lo que necesitas aquí es el diseño gráfico, debidamente etiquetado: la hoja de trabajo de Sage corroborará tu trabajo.

    3

    El polinomio\(x^5-x-1\) tiene todo el grupo simétrico\(S_5\) como su grupo Galois. Porque no\(S_5\) es solucionable, sabemos que este polinomio es un ejemplo de un polinomio quintico que no es solucionable por radicales. Desafortunadamente, pedirle a Sage que compute este grupo de Galois lleva demasiado tiempo. Por lo que este ejercicio simulará esa experiencia con un ejemplo un poco más pequeño.

    Considerar el polinomio\(p(x)=x^4+x+1\text{.}\)

    1. Construye el campo de división de\(p(x)\) una raíz a la vez. Crea una extensión, factoriza ahí, descarta factores lineales, usa el factor irreducible restante para extender una vez más. Repita hasta que\(p(x)\) los factores estén completamente. Asegúrese de hacer una extensión final a través de solo un factor lineal. Esto es un poco tonto, y Sage parecerá ignorar tu generador final (por lo que querrás seterminar a lo que equivale en términos de los gfeneradores anteriores). Las indicaciones a continuación dependen de dar este paso extra.
    2. Factorizar el polinomio original sobre el campo de extensión final en la torre. ¿Qué es lo aburrido de esta factorización en comparación con algunos otros ejemplos que hemos hecho?
    3. Construir la torre completa como un campo absoluto sobre\({\mathbb Q}\text{.}\) A partir del grado de esta extensión y el grado del polinomio original, inferir el grupo Galois del polinomio.
    4. Utilizando los mapeos que permiten traducir entre la torre y el campo absoluto (obtenidos del método .structure ()), elija una de las raíces (cualquiera) y expresarla en términos del generador único del campo absoluto. Después revertir el procedimiento y expresar el generador único del campo absoluto en términos de las raíces en la torre.
    5. Calcular el grupo de automorfismos del campo absoluto (pero no mostrar todo el grupo en lo que envíes). Toma las cuatro raíces (incluida la tonta del último paso de la construcción de la torre) y aplica cada automorfismo de campo a las cuatro raíces (creando las permutaciones garantizadas de las raíces). Comenta lo que ves.
    6. Hay un automorfismo no trivial que tiene una forma especialmente sencilla (es la segunda para mí) cuando se aplica al generador del campo absoluto. ¿Qué le hace este automorfismo a las raíces de\(p(x)\text{?}\)
    7. Considera la extensión de\({\mathbb Q}\) formado al colindar solo una de las raíces. Este es un subcampo del campo de división del polinomio, así es el campo fijo de un subgrupo del grupo Galois. Dar una descripción simple del subgrupo correspondiente usando el lenguaje que normalmente solo aplicamos a los grupos de permutación.

    4

    Regresar al campo de división del quíntico discutido en la introducción al problema anterior (\(x^5-x-1\)). Crea los dos primeros campos intermedios colindando dos raíces (una a la vez). Pero en lugar de factorizar en cada paso para obtener un nuevo polinomio irreducible, dividir por el factor lineal sabes que es un factor. En general, el cociente podría factorizar más, pero en este ejercicio presumen que no lo hace. En otras palabras, actúa como si tu cociente por el factor lineal fuera irreducible. Si no lo es, entonces el comando NumberField () debería quejarse (lo cual no lo hará).

    Después de unir dos raíces, crear la extensión produciendo una tercera raíz, y hacer la división. Ahora deberías tener un factor cuadrático. Suponiendo que la cuadrática es irreducible (lo es) argumentar que se tiene evidencia suficiente para establecer el orden del grupo Galois, y de ahí puede determinar exactamente qué grupo es.

    Puedes intentar usar este factor cuadrático para crear un paso más en las extensiones, y llegarás al campo de división, como se puede ver con lógica o división. Sin embargo, esto podría tardar mucho en completarse (¡guarde su trabajo de antemano!). Puede intentar pasar el argumento check=False al comando numberField (); esto omitirá verificar la irreductibilidad.

    5

    Crea el campo finito de orden\(3^6\text{,}\) permitiendo que Sage suministre el polinomio predeterminado para su construcción. El polinomio\(x^6+x^2+2x+1\) es irreducible sobre este campo finito. Verifique que este polinomio se divida en el campo finito, y luego use el método .roots () para recolectar las raíces del polinomio. Obtener el grupo de automorfismos del campo con el comando End ().

    Ahora tienes todas las piezas para asociar cada automorfismo de campo con una permutación de las raíces. A partir de esto, identificar el grupo Galois y todos sus subgrupos. Para cada subgrupo, determine el campo fijo. Es posible que te resulte más fácil trabajar con las raíces si usas el método .log () para identificarlas como potencias del generador multiplicativo del campo.

    Tu grupo Galois en este ejemplo será abeliano. Entonces cada subgrupo es normal, y por lo tanto cualquier extensión también es normal. ¿Se puede extender este ejemplo eligiendo un campo intermedio no trivial con un polinomio irreducible no trivial que tenga todas sus raíces en el campo intermedio y un polinomio irreducible no trivial sin ninguna de sus raíces en el campo intermedio?

    Sus resultados aquí son “típicos” en el sentido de que el campo particular o polinomio irreducible hace poca diferencia en la naturaleza cualitativa de los resultados.

    6

    El campo de división para el polinomio irreducible\(p(x)=x^7-7x+3\) tiene grado 168 (de ahí que este sea el orden del grupo Galois). Este polinomio se deriva de una “curva trinomial de Elkies”, una curva hiperelíptica (abajo) que produce polinomios con interesantes grupos Galois:

    \[ y^2 = x(81x^5 + 396x^4 + 738x^3 + 660x^2 + 269x + 48) \nonumber \]

    Para\(p(x)\) el grupo Galois resultante es\(PSL(2,7)\text{,}\) un grupo sencillo. Si\(SL(2,7)\) todas las\(2\times 2\) matrices están terminadas\({\mathbb Z}_7\) con el determinante 1, entonces\(PSL(2,7)\) es el cociente por el subgrupo\(\{I_2,-I_2\}\text{.}\) Es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño (después\(A_5\)).

    Vea hasta dónde puede llegar usando Sage para construir este campo de división. Una\(7\) extensión de grado dará un factor lineal, y una\(6\) extensión de grado posterior dará dos factores lineales, dejando un factor cuártico. Aquí es donde los cómputos comienzan a disminuir la velocidad. Si creemos que el campo de división tiene grado\(168\text{,}\) entonces sabemos que agregar una raíz de este factor grado 4 nos llevará al campo de división. La creación de esta extensión puede ser posible computacionalmente, pero verificar que la cuartica se divide en factores lineales aquí parece ser inviable.

    7

    Volver a Ejemplo\(23.25\), y la lista completa de subcampos obtenibles a partir del método.subfields () aplicado a la torre aplanada. Como se mencionó, estos técnicamente no son subcampos, sino que sí tienen incrustaciones en la torre. Dados dos subcampos, sus respectivos elementos primitivos están incrustados en la torre, con una imagen que es una combinación lineal de potencias del elemento primitivo para la torre.

    Si un subcampo está contenido en el otro, entonces la imagen del elemento primitivo para el campo más pequeño debería ser una combinación lineal de las potencias (apropiadas) de la imagen del elemento primitivo para el campo más grande. Se trata de un cálculo de álgebra lineal que debería ser posible en la torre, en relación con la base de potencia para toda la torre.

    Escriba un procedimiento para determinar si dos subcampos están relacionados por uno siendo un subconjunto del otro. Entonces usa este procedimiento para crear la celosía de los subcampos. El objetivo final sería una visualización gráfica de la celosía, utilizando las instalaciones de trazado existentes disponibles para celosías, similar a la mitad superior de la Figura 23.26. Se trata de un ejercicio “desafiante”, que es código para “es especulativo y no ha sido probado”.


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