23: Teoría de Galois

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Un problema clásico del álgebra es encontrar las soluciones de una ecuación polinómica. La solución a la ecuación cuadrática fue conocida en la antigüedad. Los matemáticos italianos encontraron soluciones generales a las ecuaciones cúbicas y cuárticas generales en el siglo XVI; sin embargo, los intentos de resolver el polinomio general de quinto grado, o quintico, fueron repulsados durante los siguientes trescientos años. Ciertamente, ecuaciones como\(x^5 - 1 = 0\) o\(x^6 - x^3 - 6 = 0\) podrían resolverse, pero no se encontró solución como la fórmula cuadrática para el quintico general,

\[ a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0\text{.} \nonumber \]

Por último, a principios del siglo XIX, Ruffini y Abel encontraron ambos quintics que no podían resolverse con ninguna fórmula. Fue Galois, sin embargo, quien brindó la explicación completa al mostrar qué polinomios podían y no podían resolverse con fórmulas. Descubrió la conexión entre grupos y extensiones de campo. La teoría de Galois demuestra la fuerte interdependencia de la teoría de grupos y campos, y ha tenido implicaciones de largo alcance más allá de su propósito original.

En este capítulo probaremos el Teorema Fundamental de la Teoría Galois. Este resultado se utilizará para establecer la insolvabilidad de la quintica y para probar el Teorema Fundamental del Álgebra.