4.3: Ejercicios

Última actualización

30 oct 2022
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- 4.2: Subgrupo Pruebas y Celosías
- 5: Grupos cíclicos

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$

$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$

$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$

$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$

$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$

$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$

$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$

$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$

$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$

$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$

$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$

$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$

$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$

$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$

$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

$\newcommand{\bcal}{\cal B}$

$\newcommand{\ccal}{\cal C}$

$\newcommand{\scal}{\cal S}$

$\newcommand{\wcal}{\cal W}$

$\newcommand{\ecal}{\cal E}$

$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$

$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$

$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$

$\newcommand{\row}{\text{Row}}$

$\newcommand{\col}{\text{Col}}$

$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$

$\newcommand{\var}{\text{Var}}$

$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$

$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$

$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$

$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$

$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$

$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$

$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$

$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$

$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$

$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar $G$ y $G'$ ser grupos.

Cada grupo contiene al menos dos subgrupos distintos.
Si $H$ es un subgrupo propio de grupo $G$ y $G$ es finito, entonces debemos tener $|H|\lt |G|\text{.}$
$7\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $14\mathbb{Z}\text{.}$
Un grupo $G$ puede tener dos subgrupos propios distintos que son isomórficos (entre sí).

2. Dar ejemplos específicos y precisos de los siguientes grupos $G$ con subgrupos $H\text{:}$

Un grupo $G$ con un subgrupo adecuado $H$ de $G$ tal manera que $|H|=|G|\text{.}$
Un grupo $G$ de orden $12$ que contiene un subgrupo $H$ con $|H|=3\text{.}$
Un grupo no abeliano $G$ que contiene un subgrupo abeliano no trivial $H\text{.}$
Un subgrupo finito $H$ de un grupo infinito $G\text{.}$

3. Let $n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$

Demostrar que $n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{.}$
Demostrar que el conjunto $H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A=\pm 1\}$ es un subgrupo de $GL(n,\mathbb{R})\text{.}$

(Nota: ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

4. Dejar $n\in \mathbb{Z}^+\text{.}$ Para cada grupo $G$ y subconjunto $H\text{,}$ decidir si $H$ es o no un subgrupo de $G\text{.}$ En los casos en los que no $H$ es un subgrupo de $G\text{,}$ proporcionar una prueba. (Nota. ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

$G=\mathbb{R}\text{,}$ $H=\mathbb{Z}$
$G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}$ $H=\{0,5,10\}$
$G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}$ $H=\{0,4,8,12\}$
$G=\mathbb{C}\text{,}$ $H=\mathbb{R}^*$
$G=\mathbb{C}^*\text{,}$ $H=\{1,i,-1,-i\}$
$G=\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{,}$ $H=GL(n,\mathbb{R})$
$G=GL(n,\mathbb{R})\text{,}$ $H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A = -1\}$

5. Let $G$ and $G'$ be groups, let $\phi$ be a homomorphism from $G$ to $G'\text{,}$ and let $H$ be a subgroup of $G\text{.}$ Prove that $\phi(H)$ is a subgroup of $G'\text{.}$

6. Dejemos $G$ ser un grupo abeliano, y vamos a $U=\{g\in G\,:\, g^{-1}=g\}.$ demostrar que $U$ es un subgrupo de $G\text{.}$

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