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LibreTexts Español

4.3: Ejercicios

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. Verdadero/Falso. Para cada una de las siguientes, escribe T si la afirmación es verdadera; de lo contrario, escribe F. NO es necesario dar explicaciones ni mostrar trabajo para este problema. A lo largo, dejar\(G\) y\(G'\) ser grupos.
    1. Cada grupo contiene al menos dos subgrupos distintos.
    2. Si\(H\) es un subgrupo propio de grupo\(G\) y\(G\) es finito, entonces debemos tener\(|H|\lt |G|\text{.}\)
    3. \(7\mathbb{Z}\)es un subgrupo de\(14\mathbb{Z}\text{.}\)
    4. Un grupo\(G\) puede tener dos subgrupos propios distintos que son isomórficos (entre sí).

    2. Dar ejemplos específicos y precisos de los siguientes grupos\(G\) con subgrupos\(H\text{:}\)

    1. Un grupo\(G\) con un subgrupo adecuado\(H\) de\(G\) tal manera que\(|H|=|G|\text{.}\)
    2. Un grupo\(G\) de orden\(12\) que contiene un subgrupo\(H\) con\(|H|=3\text{.}\)
    3. Un grupo no abeliano\(G\) que contiene un subgrupo abeliano no trivial\(H\text{.}\)
    4. Un subgrupo finito\(H\) de un grupo infinito\(G\text{.}\)

    3. Let\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\)

    1. Demostrar que\(n\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}\text{.}\)
    2. Demostrar que el conjunto\(H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A=\pm 1\}\) es un subgrupo de\(GL(n,\mathbb{R})\text{.}\)

    (Nota: ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

    4. Dejar\(n\in \mathbb{Z}^+\text{.}\) Para cada grupo\(G\) y subconjunto\(H\text{,}\) decidir si\(H\) es o no un subgrupo de\(G\text{.}\) En los casos en los que no\(H\) es un subgrupo de\(G\text{,}\) proporcionar una prueba. (Nota. ¡Tus pruebas no necesitan ser largas para ser correctas!)

    1. \(G=\mathbb{R}\text{,}\)\(H=\mathbb{Z}\)
    2. \(G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}\)\(H=\{0,5,10\}\)
    3. \(G=\mathbb{Z}_{15}\text{,}\)\(H=\{0,4,8,12\}\)
    4. \(G=\mathbb{C}\text{,}\)\(H=\mathbb{R}^*\)
    5. \(G=\mathbb{C}^*\text{,}\)\(H=\{1,i,-1,-i\}\)
    6. \(G=\mathbb{M}_n(\mathbb{R})\text{,}\)\(H=GL(n,\mathbb{R})\)
    7. \(G=GL(n,\mathbb{R})\text{,}\)\(H=\{A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})\,:\,\det A = -1\}\)

    5. Let\(G\) and \(G'\) be groups, let \(\phi\) be a homomorphism from \(G\) to \(G'\text{,}\) and let \(H\) be a subgroup of \(G\text{.}\) Prove that \(\phi(H)\) is a subgroup of \(G'\text{.}\)

    6. Dejemos\(G\) ser un grupo abeliano, y vamos a\(U=\{g\in G\,:\, g^{-1}=g\}.\) demostrar que\(U\) es un subgrupo de\(G\text{.}\)


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