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2.2: Anillos

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

    • ¿Qué son los anillos y los dominios integrales y cómo se relacionan con los campos?
    • ¿Qué son los subring y cómo podemos saber si un subconjunto dado de un anillo es un subring?
    • ¿Qué tipos especiales de elementos tienen los anillos?

    En el apartado anterior, observamos que muchos sistemas numéricos familiares son campos pero que algunos no lo son. Como veremos, estos no campos suelen ser más interesantes estructuralmente, al menos desde la perspectiva de la factorización; así, en esta sección, los exploramos con más detalle. Antes de continuar con ese empeño daremos una definición formal de polinomio para que podamos incluirlo en nuestro trabajo.

    Definición: Polinomio

    Let\(A\) Ser un conjunto con una operación de adición bien definida\(+\) e identidad aditiva\(0\text{,}\) y\(x\) una variable. Definimos un polinomio en \(x\)con coeficientes en \(A\)para ser una expresión de la forma

    \ begin {ecuación*} p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\ cdots + a_n x^n\ texto {,}\ end {ecuación*}

    donde\(a_n\ne 0\text{.}\) llamamos\(n\in \mathbb{N}_0\) el grado del polinomio\(p\text{,}\) denotado\(\deg(p) = n\text{,}\) y\(a_0,a_1,\ldots, a_n\) los coeficientes del polinomio. El coeficiente\(a_n\) se conoce como el coeficiente principal de\(p\text{,}\) y\(a_n x^n\) es el término principal de\(p\text{.}\) By

    \ begin {ecuación*} A [x] :=\ {a_0 + a_1 x + a_2 x +\ cdots + a_n x^n: n\ in\ mathbb {N} _0,\ a_i\ en A\}\ end {ecuación*}

    denotamos el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en\(A\text{.}\) La identidad aditiva de\(A[x]\) se\(0\text{,}\) llama polinomio cero, y es el polinomio cuyos coeficientes son todos\(0\text{.}\) El grado del polinomio cero es\(-\infty\text{.}\)

    Exploración 2.2.1

    Dar algunos ejemplos de polinomios en\(A[x]\) para diversas opciones de sistemas numéricos\(A\text{.}\) Identificar sus coeficientes, términos iniciales y grados.

    Exploración 2.2.2

    En la siguiente tabla, rellena una Y si el conjunto tiene la propiedad; rellena una N si no la tiene.

    Tabla 2.2.1 : Una lista de propiedades y conjuntos.
    \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) \(2\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Q}\) \(\mathbb{Q}[x]\) \(\mathbb{Z}_{8}\) \(\mathbb{Z}_{2}\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{C}\) \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
    Cierre bajo + \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Cierre bajo\(\cdot\) \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    \(+\)es asociativo \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    \(\cdot\)es asociativo \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    + es conmutativo \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    \(\cdot\)es conmutativo \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    \(\cdot\)distribuye más de + \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Hay una identidad aditiva \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Todos los elementos tienen inversos aditivos \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Hay una identidad multiplicativa \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Todos los elementos no nulos tienen mult. inversos \ (\ mathbb {N}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (2\ mathbb {Z}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Q} [x]\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {8}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {Z} _ _ {2}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {R}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathbb {C}\)” class="lt-math-82463"> \ (\ mathcal {M} _2 (\ mathbb {R})\)” class="lt-math-82463">
    Exploración 2.2.3

    ¿Cuál de los axiomas de campo en Definición: Campo se sostiene para\(F[x]\text{,}\) dónde\(F\) está un campo, y cuáles no se sostienen en general?

    Como resultado de la respuesta a Exploración 2.2.3 y la Tabla completada 2.2.1 , hacemos la siguiente definición.

    Definición: Anillo

    Un anillo\(R\) es un conjunto no vacío, junto con operaciones binarias\(+\) y\(\cdot\text{,}\) denotado\((R,+,\cdot)\text{,}\) y satisfaciendo los siguientes axiomas.

    1. Dado cualquiera\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a+b)+c = a+(b+c)\text{.}\) (Asociatividad de adición)
    2. Dado cualquiera\(a,b\in R\text{,}\)\(a+b= b+a\text{.}\) (Conmutatividad de adición)
    3. Existe un elemento\(0_R\in R\) tal que para todos\(a\in R\text{,}\)\(a+0_R = 0_R + a = a\text{.}\) (Identidad aditiva)
    4. Dado cualquiera\(a\in R\) existe\(b\in R\) tal que\(a+b = b + a =0_R\text{.}\) (Aditivo invierte)
    5. Dado cualquiera\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\text{.}\) (Asociatividad de multiplicación)
    6. Para todos\(a,b,c\in R\text{,}\)\(a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\text{.}\) (Propiedad distributiva I)
    7. Para todos\(a,b,c\in R\text{,}\)\((a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\text{.}\) (Propiedad distributiva II)

    Al igual que con los campos, cuando el anillo\(R\) es claro desde el contexto, a menudo escribiremos\(0\) en lugar de\(0_R\text{.}\)

    Investigación 2.2.1

    Comparar y contrastar Definiciones: Campo y Definición: Anillo. ¿Cuáles son las similitudes? ¿Cuáles son las diferencias?

    Si bien los anillos no disfrutan de todas las propiedades de los campos, son increíblemente útiles incluso en matemáticas aplicadas (ver, por ejemplo, Referencia [1] para un ejemplo reciente).

    Definición: Conmutativo

    \(R\)Se dice que un anillo es conmutativo si, para todos\(a,b\in R\text{,}\)\(ab = ba\text{.}\) Adicionalmente,\(R\) se dice que tiene una unidad o identidad multiplicativa si hay un elemento\(1_R\in R\) tal que para todos\(a\in R\text{,}\)\(a \cdot 1_R = 1_R \cdot a= a\text{.}\)

    Si\(R\) es no conmutativa, puede tener una identidad izquierda (respectivamente, derecha), es decir, un elemento\(e\in R\) tal que para todos\(r\in R\text{,}\)\(er = r\) (respectivamente,\(re = r\)). Si\(R\) tiene un elemento\(e\) para el que\(er = re = r\) para todos a menudo\(r\in R\text{,}\)\(e\) se llama identidad bilateral. En resumen, los anillos no conmutativos pueden tener identidades izquierda, derecha o bilateral (o ninguna en absoluto).

    Exploración 2.2.4

    Considere los conjuntos dados en la Tabla 2.2.1 . ¿Cuáles son los anillos? ¿Cuáles son los anillos conmutativos con identidad?

    Exploración 2.2.5

    ¿Qué propiedades de los campos en el Teorema 2.1.1 mantienen para anillos (conmutativos)?

    Investigación 2.2.2

    ¿Todos los anillos son campos? ¿Todos los campos son anillos? Justificar.

    Investigación 2.2.3

    La mayoría de los anillos familiares son conmutativos, aunque no todos. La mayoría de los anillos familiares (conmutativos) tienen identidades, pero no todos. Encuentra:

    1. Un anillo que no tiene identidad 1.
    2. Un anillo no conmutativo que sí tiene una identidad (bilateral).

    Solución

    1

    A veces se llama rng. \(\ddot\mathbb{S}mile\)

    En la década de 1920, Emmy Noether fue la primera en describir explícitamente los axiomas del anillo tal como los conocemos hoy en día, y su definición de un anillo (no necesariamente conmutativo) ha llevado a una gran cantidad de trabajo interesante en álgebra, teoría de números y geometría, incluyendo el (ver Sección 3.3 para más información sobre el histórico desarrollo de la prueba del último teorema de Fermat). La mayoría de las definiciones modernas de anillo concuerdan con nuestra Definición: Anillo y permiten anillos con multiplicación no conmutativa y sin identidad multiplicativa.

    El siguiente teorema establece que el conjunto de polinomios con coeficientes en un anillo\(R\) es en sí mismo un anillo bajo las operaciones habituales de adición polinómica de términos similares, y multiplicación vía distribución. La prueba no es complicada, pero una justificación rigurosa (especialmente de, por ejemplo, la asociatividad de la multiplicación polinómica) es tediosa, y así se omite.

    Teorema

    Si\(R\) es un anillo (conmutativo) (con identidad\(1_R\)), entonces\(R[x]\) es un anillo (conmutativo) (con identidad\(1_{R[x]} = 1_R\)).

    Una de las formas de entender mejor las estructuras matemáticas es entender sus subestructuras similares (por ejemplo, dado un espacio vectorial\(V\subseteq \mathbb{R}^n\) y un subespacio\(W\subseteq V\text{,}\) que podamos escribir\(V = W + W^\perp\)).

    Definición: Subring y Overring

    Let\((R,+,\cdot)\) be a ring and let\(S\subseteq R\text{.}\)\(S\) If is itself a ring under\(+\) and\(\cdot\text{,}\) we say\(S\) is a subring of\(R\text{.}\) In this case,\(R\) is often called an overring of\(S\text{.}\)

    El siguiente teorema proporciona una prueba fácil de aplicar para verificar si un subconjunto dado\(S\) de un anillo\(R\) es de hecho un subring de\(R\text{.}\)

    Teorema 2.2.1

    Dejar\(R\) ser un anillo y\(S\) un subconjunto de\(R\text{.}\) Entonces\(S\) es un subring si y solo si:

    1. \(S\ne \emptyset\text{;}\)
    2. \(S\)se cierra bajo multiplicación; y
    3. \(S\)se cierra bajo resta.
    Actividad 2.2.1

    Determinar si los siguientes anillos\(S\) son subring de los anillos dados\(R\text{.}\)

    1. \(S = \mathbb{Z}\text{,}\)\(R = \mathbb{Q}\)
    2. \(S = \mathbb{Z}_{5}\text{,}\)\(R = \mathbb{Z}_{7}\)
    3. \(S\)es cualquier anillo,\(R = S[x]\)
    4. \(S = \mathbb{R}\text{,}\)\(R = \mathbb{C}\)

    En nuestro estudio de los anillos, nos interesan primordialmente los tipos especiales de subring conocidos como ideales, para ser estudiados con más profundidad en el Capítulo 4.

    Definición: Unidad

    Dejar\(R\) ser un anillo y dejar\(u\in R\) ser distinto de cero. Si hay\(v\in R\) tal que\(uv = vu = 1\text{,}\) decimos\(u\) es unidad de\(R\text{.}\) Denotamos el conjunto de unidades de\(R\) por\(R^\times\text{.}\) Decimos\(x,y\in R\) son asociados si existe alguna\(u\in R^\times\) tal que\(x = uy\text{.}\)

    Exploración 2.2.6

    Describir explícitamente el conjunto\(\mathbb{Z}^\times\text{.}\) ¿Cuáles son los asociados de 7 en\(\mathbb{Z}\text{?}\)

    En otras palabras, una unidad en un anillo es un elemento distinto de cero con un inverso multiplicativo. La existencia de unidades es la diferencia primaria entre campos y anillos conmutativos con identidad: en un campo, todos los elementos distintos de cero son unidades, mientras que en un anillo conmutativo con identidad, ningún elemento distinto de cero necesita ser unidades, como demuestra el Teorema 2.2.2 .

    Teorema 2.2.2

    Un anillo conmutativo con identidad\(R\) en el que cada elemento distinto de cero es una unidad es un campo.

    Una herramienta útil para analizar la estructura de anillos con finitamente muchos elementos son las tablas de suma y multiplicación. Como ejemplo, considere las tablas de suma y multiplicación para que\(R = \mathbb{Z}_3\) se muestran en Table 2.2.2 y Table 2.2.3 .

    Tabla 2.2.2 Tabla de adiciones para\(R=\mathbb{Z}_3\text{.}\)
    \(​+\) \(\overline{0}​\) \(\overline{1}​\) \(\overline{2}​\)
    \ (+\) ">\(​\overline{0}\) \ (\ overline {0}\) ">\(​\overline{0}\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{1}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(​\overline{2}\)
    \ (+\) ">\(​\overline{1}\) \ (\ overline {0}\) ">\(\overline{1}​\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{2}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(\overline{0}​\)
    \ (+\) ">\(​\overline{2}\) \ (\ overline {0}\) ">\(\overline{2}​\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{0}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(\overline{1}​\)
    Tabla 2.2.3 Tabla de multiplicación para\(R=\mathbb{Z}_3\text{.}\)
    \(​\cdot\) \(\overline{0}​\) \(\overline{1}​\) \(\overline{2}​\)
    \ (\ cdot\) ">\(​\overline{0}\) \ (\ overline {0}\) ">\(​\overline{0}\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{0}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(​\overline{0}\)
    \ (\ cdot\) ">\(​\overline{1}\) \ (\ overline {0}\) ">\(\overline{0}​\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{1}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(\overline{2}​\)
    \ (\ cdot\) ">\(​\overline{2}\) \ (\ overline {0}\) ">\(\overline{0}​\) \ (\ overline {1}\) ">\(\overline{2}​\) \ (\ overline {2}\) ">\(\overline{1}​\)
    Investigación 2.2.4

    Calcular tablas de suma y multiplicación para los siguientes anillos.

    1. \(\displaystyle R = \mathbb{Z}_5\)
    2. \(\displaystyle R = \mathbb{Z}_6\)

    Enumere 2-3 observaciones sobre sus tablas.

    Uno de los efectos secundarios interesantes de nuestra definición de anillo es que permite comportamientos que al principio pueden parecer poco intuitivos o francamente raros.

    Definición: Zero Divisor

    Un divisor cero en un anillo\(R\) es un elemento distinto de cero\(z\in R\) tal que hay un distinto de cero\(x\in R\) con\(zx = 0\) o\(xz=0\text{.}\)

    Observe que la razón por la que la idea de cero divisores al principio parece extraña es que no son algo que encontramos al trabajar con nuestros conjuntos familiares de números, como\(\mathbb{Z}\) o\(\mathbb{R}\text{.}\) De hecho, utilizamos específicamente el hecho de que no hay cero divisores en nuestros sistemas de números familiares para resolver ecuaciones en álgebra de secundaria (e.g., si\((x-2)(x+5)=0\text{,}\) entonces\(x-2=0\) o\(x+5=0\)). La falta de cero divisores es una de las propiedades que no persiste en nuestra abstracción de los enteros a los anillos en general.

    Exploración 2.2.7

    Encuentra, con justificación, todos los divisores cero en\(\mathbb{Z}_{10}\) y\(\mathbb{Z}_{11}\text{.}\) Haz y prueba una conjetura sobre la existencia de cero divisores en\(\mathbb{Z}_m\text{,}\) donde\(m > 1\text{.}\)

    Investigación 2.2.5

    ¿Hay algún otro anillo en el que hayas visto cero divisores? Recuerda tus respuestas a Exploración 2.2.4 .

    Teorema 2.2.3

    Dejar\(R\) ser un anillo y supongamos\(a,b\in R\) tal que\(ab\) es un divisor cero. Entonces cualquiera\(a\) o\(b\) es un divisor de cero.

    Teorema 2.2.4

    Dejar\(R\) ser un anillo y\(u\in R^\times\text{.}\) Entonces no\(u\) es un divisor cero.

    Investigación 2.2.6

    ¿Cómo podemos reinterpretar Investigación 1.4.1 a la luz de nuestro nuevo lenguaje de unidades y cero divisores? Indicar un teorema que utilice este nuevo lenguaje.

    Si bien existe un cuerpo de literatura bien desarrollado sobre anillos (no conmutativos) (posiblemente sin identidad), a partir de este momento, y a menos que se indique lo contrario, cuando usamos la palabra anillo nos referimos a anillo conmutativo con identidad.

    Además, aunque incluso los anillos conmutativos con identidad y cero divisores son de interés para los matemáticos, enfocaremos nuestro estudio en anillos sin divisores cero. Como estos anillos comparten muchas propiedades de los enteros, se les conoce como en dominios tegrales.

    Definición: Dominio Integral

    Un anillo conmutativo con identidad\(R\) es un dominio integral, o solo dominio, si no\(R\) tiene divisores cero.

    Las siguientes actividades y teoremas nos ayudan a identificar ejemplos de dominios, así como a situar la noción de dominio en su propio lugar relativo a campos y anillos en general.

    Actividad 2.2.2

    ¿Cuáles de los siguientes anillos son dominios? Justifica tus respuestas.

    1. \(\displaystyle \mathbb{Z}\)
    2. \(\displaystyle \mathbb{Z}_{8}\)
    3. \(\displaystyle \mathbb{Z}_{19}\)
    4. \(\displaystyle \mathbb{R}\)
    5. \(\displaystyle \mathbb{Q}[x]\)
    Teorema 2.2.5

    Cada campo es un dominio.

    Teorema 2.2.6

    Let\(m > 1\) y\(R = \mathbb{Z}_m\text{.}\) Entonces\(R\) es un campo si y solo si\(R\) es un dominio.

    Teorema 2.2.7

    Si\(R\) es un dominio y\(S\) es un subring de\(R\) con identidad\(1_S = 1_R\text{,}\) entonces\(S\) es un dominio.

    Teorema 2.2.8

    Si\(R\) es un dominio, entonces también lo es\(R[x]\text{.}\)

    Investigación 2.2.7

    ¿Es cierto lo contrario del teorema 2.2.7 ? Si es así, dar una breve prueba. Si no, encuentra un contraejemplo.

    Al considerar conjuntos de polinomios, como hacemos en el Capítulo 3 (particularmente en la Sección 3.1), los siguientes resultados serán bastante útiles.

    Teorema 2.2.9

    Dejar\(R\) ser un dominio, y dejar que\(p(x),q(x)\in R[x]\) sean polinomios distintos de cero. Entonces\(\deg(p(x) q(x)) = \deg(p(x)) + \deg(q(x))\text{.}\)

    Exploración 2.2.8

    ¿Se pueden relajar las hipótesis del Teorema 2.2.8 ? Si es así, proporcionar hipótesis más generales y adaptar la prueba. De no ser así, dar un ejemplo ilustrativo.

    Investigación 2.2.8

    \(R\)Déjese ser un dominio. Cuáles son las unidades de\(R[x]\text{?}\) Demuestra tu respuesta.

    Referencia

    [1] C. Curto, V. Itskov, A. Véliz-Cuba, N. Youngs, El anillo neural: una herramienta algebraica para analizar la estructura intrínseca de los códigos neuronales, Bull. Matemáticas. Bio. 75 (2013), 1571-1611, DOI 10.1007/s11538-013-9860-3

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