2.3: Divisibilidad en Dominios Integrales
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En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:
- ¿De qué propiedades multiplicativas podemos generalizar\(\mathbb{Z}\) a cualquier dominio integral?
- ¿Cuáles son las diferencias entre un elemento primo e irreducible en un anillo conmutativo?
Cuando introdujimos la noción de dominio integral, dijimos que parte de la razón de la definición era capturar algunas de las propiedades más esenciales de los enteros. Este es el corazón de la abstracción y la generalización en las matemáticas: destilar las propiedades importantes de nuestros objetos de interés y explorar las consecuencias de esas propiedades. Una propiedad tan importante de\(\mathbb{Z}\) es la cancelación.
\(R\)Déjese ser un anillo. Entonces\(R\) es un dominio si y solo si para todos\(a,b,c\in R\) con\(c\ne 0\) y\(ac = bc\text{,}\) tenemos\(a = b\text{.}\)
Podemos leer Teorema 2.3.1 como diciendo que la propiedad definitoria de un dominio integral es la capacidad de cancelar factores comunes distintos de cero. Tenga en cuenta que no hemos dividido; la división no es una operación binaria, y los elementos distintos de cero de los anillos no necesitan ser unidades. Sin embargo, como fue el caso en\(\mathbb{Z}\text{,}\) hay nociones de divisibilidad y factorización en anillos.
Que\(R\) sea un anillo conmutativo con identidad, y\(a,b\in R\text{.}\) dejemos Decimos\(a\) divide\(b\) y escribimos\(a\mid b\) si hay\(c\in R\) tal que entonces\(ac = b\text{.}\) decimos que\(a\) es un factor de\(b\text{.}\)
Encuentra todos los factores de\(\overline{2}\) en los siguientes anillos:
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_5\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_6\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_{10}\)
Nuestra definición de prime también se extiende muy bien a los dominios. En efecto, el deseo de extender la noción familiar de prime desde\(\mathbb{Z}\) cualquier anillo es la razón de nuestra definición menos familiar dada en Definición: Prime.
\(R\)Déjese ser un dominio. Decimos que un elemento distinto de cero no unitario\(a\in R\) es primo si siempre\(a\mid bc\) para algunos\(b,c\in R\text{,}\) ya sea\(a|b\) o\(a|c\text{.}\)
Una noción relacionada con la primalidad es la irreductibilidad. De hecho, se podría decir razonablemente que la irreductibilidad es la generalización natural de la definición típica de encuentros prime one en las matemáticas escolares.
\(R\)Déjese ser un dominio. Decimos que un elemento distinto de cero no unitario\(a\in R\) es irreducible si siempre que\(a = bc\) para alguna\(b,c\in R\text{,}\) de\(b\) o\(c\) es una unidad. (Obsérvese que en algunas áreas de la literatura, la palabra átomo se usa indistintamente con irreducible.)
Encuentra las unidades, primos e irreducibles en los siguientes anillos.
- \(\displaystyle \mathbb{R}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_{5}\)
- \(\displaystyle \mathbb{Z}_6\)
En dominios, todos los primos son irreducibles.
\(R\)Déjese ser un dominio. Si\(a\in R\) es primo, entonces\(a\) es irreducible.
En entornos familiares, la noción de primo e irreducible coinciden exactamente.
Cada irreducible in\(\mathbb{Z}\) es primo.
A pesar de su superposición en entornos familiares, los primos e irreducibles son distintos tipos de elementos. Como demuestra la siguiente exploración, no todos los primos son irreducibles. Además, Exploración 2.3.3 mostrará que no todos los irreducibles son primos, ¡incluso en dominios!
Encuentra un ejemplo de un anillo\(R\) y prime\(p\in R\) tal que no\(p\) sea irreducible.
Considera el conjunto\(R\) de todos los polinomios en\(\mathbb{Z}[x]\) los que el coeficiente sobre el término lineal es cero. Es decir,
\ begin {ecuación*} R =\ {a_0 + a_2 x^2 +\ cdots + a_ {n-1} x^ {n-1} + a_n x^n: a_i\ in\ mathbb {Z},\ n\ in\ mathbb {N} _0\}\ text {.} \ end {ecuación*}
(Debes convencerte de que\(R\) es un dominio integral, pero no necesitas probarlo). Entonces, encuentra un polinomio de la forma\(x^n\) en\(R\) que sea irreducible, pero no primo.
Nuestra última generalización directa a partir de la estructura multiplicativa de\(\mathbb{Z}\) es la noción de mayor divisor común. Como demuestra de nuevo nuestra siguiente definición, nuestro trabajo cuidadoso en el contexto de\(\mathbb{Z}\) generaliza muy bien a todos los dominios. En efecto, intencionalmente no apelamos\(\le\) a definir el mayor divisor común en Definición: Mayor Divisor común, ya que no todos los anillos tienen una relación de orden natural como\(\mathbb{Z}\) lo hace.
Dejar\(R\) ser un dominio, y dejar\(a,b\in R\text{.}\) Un elemento distinto de cero\(d\in R\) es un divisor más común de\(a\) y\(b\) si
- \(d\mid a\)y\(d\mid b\) y,
- si\(e\in R\) con\(e\mid a\) y\(e\mid b\text{,}\) luego\(e\mid d\text{.}\)
Dejar\(R\) ser un dominio y\(a,b\in R\) y supongamos que\(d\) es un mayor divisor común de\(a\) y\(b\text{.}\) Entonces cualquier asociado de\(d\) es también un mayor divisor común de\(a\) y\(b\text{.}\) (Recordar Definición: Unidad)
En la mayoría de los dominios familiares, existen GCD. Sin embargo, ¡no siempre lo hacen! Encuentra un ejemplo de elementos en el ring de Exploration 2.3.3 que no tienen un GCD. Justifica tu aseveración.
Rellene los siguientes espacios en blanco en orden de generalidad creciente con las palabras anillo, dominio integral, campo y anillo conmutativo.
__________\(\Rightarrow\) __________\(\Rightarrow\) __________\(\Rightarrow\) __________