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# 2.4: Ideales principales y dominios euclidianos

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##### Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Cuáles son los ideales principales y cuáles son los dominios ideales principales?
• ¿Qué son los dominios euclidianos y cómo se relacionan con los PID?

Una de las formas en que los matemáticos estudian la estructura de un objeto abstracto es considerando cómo interactúa con otros objetos (relacionados). Esto es especialmente cierto de sus sub objetos. Así, en álgebra lineal, a menudo nos preocupan los subespacios de un espacio vectorial como medio para entender el espacio vectorial, o incluso las submatrices como una forma de entender una matriz (ver, por ejemplo, la fórmula de expansión del cofactor para el determinante). En el análisis y topología reales, los subobjetos importantes suelen ser conjuntos abiertos, o subsecuencias, y el estudio de los subgráficos de una gráfica es un enfoque importante para muchas preguntas en la teoría de grafos.

En esta sección, iniciamos una exploración estructural teórica de conjunto de la noción de anillo considerando una clase de subring particularmente importante que será parte integral de nuestra comprensión de la factorización.

A estos subrayos se les llama ideales. Surgieron en la obra de Kummer y Dedekind como una forma de tratar de recuperar alguna noción de factorización única en anillos que no tienen propiedades como el teorema fundamental de la aritmética en$$\mathbb{Z}\text{.}$$

##### Definición: Ideal

Un subconjunto$$I$$ de un anillo (no necesariamente conmutativo)$$R$$ se llama ideal si:

1. $$\displaystyle 0\in I$$
2. para todos$$x,y\in I\text{,}$$$$x+y\in I\text{;}$$ y,
3. para todos$$x\in I$$ y para todos$$r\in R\text{,}$$$$xr\in I$$ y$$rx\in I\text{.}$$

Observe que el tercer requisito para que un conjunto$$I$$ sea ideal de$$R$$ se simplifica ligeramente si$$R$$ es conmutativo (que, recordamos, todos nuestros anillos son).

Hay muchos ejemplos importantes y tipos de ideales, pero también hay algunos ideales triviales contenidos en cada anillo.

##### Teorema 2.4.1

$$R$$Déjese ser un anillo. Entonces$$R$$ y$$\{0\}$$ son ideales de$$R\text{.}$$

##### Teorema 2.4.2

Todos los ideales son sutrae.

El siguiente teorema proporciona una caracterización útil de cuando un ideal$$I$$ es de hecho todo el anillo.

##### Teorema 2.4.3

Deja$$R$$ ser un anillo y$$I$$ un ideal de$$R\text{.}$$ Entonces$$I = R$$ si y solo$$I$$ contiene una unidad de$$R\text{.}$$

El tipo más importante de ideales (para nuestro trabajo, al menos), son aquellos que son los conjuntos de todos los múltiplos de un solo elemento en el ring. Tales ideales se llaman ideales principales.

##### Teorema 2.4.4

$$R$$Déjese conmutar con la identidad y dejar que$$a\in R\text{.}$$ El conjunto

\ begin {ecuación*}\ langle a\ rangle=\ {ra: r\ in R\}\ end {ecuación*}

es un ideal (llamado el ideal principal generado por$$a$$).

El elemento$$a$$ en el teorema es conocido como un generador de$$\langle a \rangle\text{.}$$

##### Investigación 2.4.1

Dejar$$R$$ ser conmutativo con identidad, y dejar$$x,y,z\in R\text{.}$$ Dar condiciones necesarias y suficientes para$$z\in \langle x \rangle$$ y, por separado,$$\langle x \rangle \subseteq \langle y \rangle\text{.}$$

Es decir, rellenar los espacios en blanco: “$$z\in \langle x \rangle \Leftrightarrow$$_________” y “$$\langle x \rangle\subseteq \langle y \rangle \Leftrightarrow$$_________”.

Justifica tus respuestas.

Los ideales principales pueden tener más de un generador.

##### Teorema 2.4.5

Dejar$$R$$ ser un anillo y$$a\in R\text{.}$$ Entonces$$\langle a \rangle= \langle ua \rangle\text{,}$$ donde$$u$$ esta cualquier unidad de$$R\text{.}$$

En$$R = \mathbb{Z}\text{,}$$ describir los principales ideales generados por

1. 2
2. $$\displaystyle -9$$
3. 9
4. 0
5. 27
6. 3

Determinar las relaciones de subconjunto entre los ideales anteriores.

Es el caso en muchos escenarios familiares que todos los ideales son principales. A tales dominios se les da un nombre especial.

##### Definición: Dominio Ideal Principal

Un dominio integral$$R$$ en el que cada ideal es principal se conoce como dominio ideal principal (PID).

##### Teorema 2.4.6

El anillo$$\mathbb{Z}$$ es un dominio ideal principal.

Pista

Utilice propiedades específicas de$$\mathbb{Z} \text{,}$$ quizás de la Sección 1.

Encuentra un entero$$d$$ tal que$$I = \langle d \rangle\subseteq \mathbb{Z}\text{,}$$ si

1. $$\displaystyle I = \{4x+10y: x,y\in\mathbb{Z}\}$$
2. $$\displaystyle I = \{6s+7t : s,t\in\mathbb{Z}\}$$
3. $$\displaystyle I = \{9w+12z : w,z\in\mathbb{Z}\}$$
4. $$\displaystyle I = \{am+bn : m,n\in\mathbb{Z}\}$$

No necesitas demostrar que cada uno de los conjuntos anteriores son ideales (aunque debes asegurarte de poder hacerlo).

##### Teorema 2.4.7

Dejar$$R$$ ser un dominio ideal principal y no$$x,y\in R$$ ser ambos cero. $$I = \{xm+yn: m,n\in R\}\text{.}$$Entonces deja:

1. $$I$$es un ideal, y
2. $$I = \langle d \rangle\text{,}$$donde$$d$$ es cualquier divisor común más grande de$$x$$ y$$y\text{.}$$

Concluimos que existen$$s,t\in R$$ tales que$$d = xs + yt\text{.}$$

Hasta ahora hemos abstraído y axiomatizado varias propiedades algebraicas importantes de las$$\mathbb{Z}$$ que discutimos en el § 1. En particular, tenemos nuestras operaciones habituales de suma y multiplicación, y sus interacciones; tenemos nociones de divisibilidad/factorización, irreductibilidad y primalidad; también tenemos cancelación y mayores divisores comunes.

Nuestra última gran abstracción de$$\mathbb{Z}$$ es el algoritmo de división. El principal obstáculo para postular dominios con un algoritmo de división es una clara noción de relaciones de comparación. Es decir, si$$R$$ es un dominio arbitrario con$$r,s\in R\text{,}$$ ¿es posible decir clara y sensatamente cuál de$$r$$ o$$s$$ es “más grande”? (Recordemos que esto era un requisito para el algoritmo de división con restos distintos de cero.) Sin embargo, si hay una manera de relacionar elementos de un dominio con$$\mathbb{N}_0\text{,}$$ nosotros podemos$$R$$ definir con sensatez un algoritmo de división.

##### Definición: Dominio euclidiana

Seamos$$R$$ un dominio integral. $$R$$Llamamos Dominio Euclideo si existe una función$$\delta : R\setminus \{0\} \to \mathbb{N}_0$$ tal que:

1. Si$$a,b\in R\setminus \{0\}\text{,}$$ entonces$$\delta(a) \le \delta(ab)\text{.}$$
2. Si$$a,b\in R\text{,}$$$$b\ne 0\text{,}$$ entonces existe$$q,r\in R$$ tal que$$a = bq+r\text{,}$$ donde cualquiera$$r = 0$$ o$$\delta(r) \lt \delta(b)\text{.}$$

Llamamos a la función$$\delta$$ una norma para$$R\text{.}$$

$$\delta$$: Esta es la letra griega minúscula delta.

Así, un dominio euclidiano es un dominio integral con un algoritmo de división que se comporta de manera familiar. En lo que resta de esta sección, investigaremos las propiedades de los dominios euclidianos. Primero, consideramos algunos ejemplos.

##### Teorema 2.4.8

El campo$$\mathbb{Q}$$ es un dominio euclidiano bajo suma y multiplicación ordinaria, con$$\delta(x) = 0$$ para todos$$x\in \mathbb{Q}\text{.}$$

##### Investigación 2.4.2

¿Es$$\mathbb{Z}$$ un dominio euclidiano? Si es así, ¿cuál es la función de norma$$\delta\text{,}$$ y por qué esta función tiene las propiedades requeridas de una norma?

##### Lema 2.4.1

Dejar$$F$$ ser un campo y$$S\subseteq F[x]$$ un conjunto que contiene un polinomio distinto de cero. Demostrar que$$S$$ contiene un polinomio$$f$$ tal que$$\deg(f) \le \deg(g)$$ para todos los distintos de cero$$g\in S\text{.}$$

##### Lema 2.4.2

Dejar$$F$$ ser un campo y$$f(x),g(x)\in F[x]$$ con$$g(x)\ne 0\text{.}$$ Si$$\deg f(x) \ge \deg g(x) > 0\text{,}$$ y$$f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m$$ y$$g(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n\text{,}$$ luego$$h(x) = f(x) - a_m b_n^{-1} x^{m-n} g(x)$$ tiene grado estrictamente menor que$$\deg f(x)\text{.}$$

##### Teorema 2.4.9 : Algoritmo de División Polinómica

Que$$F$$ sea un campo y$$f(x),g(x)\in F[x]$$ con$$g(x)\ne 0\text{.}$$ Entonces existan únicos de$$q(x), r(x) \in F[x]$$ tal manera que

\ comenzar {ecuación*} f (x) = g (x) q (x) + r (x)\ texto {,}\ final {ecuación*}

donde$$\deg(r(x)) \lt \deg g(x)\text{.}$$

Pista

Para la existencia, considerar tres casos:$$f(x) = 0\text{;}$$$$f(x) \ne 0$$ y$$\deg f \lt \deg g\text{;}$$$$f(x) \ne 0$$ y$$\deg f \ge \deg g\text{.}$$ En el último caso, utilizar la inducción en$$m = \deg f(x)\text{.}$$ Por singularidad, imitar la prueba de singularidad del Teorema 1.2.4.

##### Teorema 2.4.10

Que$$F$$ sea un campo. Entonces el anillo$$F[x]$$ es un dominio ideal principal.

Pista

¡Imita la prueba del teorema 2.4.6 y use Lema 2.4.2 !

##### Investigación 2.4.3

Es$$F[x]$$ un dominio euclidiano para todos los campos$$F\text{?}$$ Si es así, ¿cuál es la función norm$$\delta\text{,}$$ y por qué esta función tiene las propiedades requeridas de una norma? Si no, ¿por qué no? Demuestra tu respuesta.

De hecho, cada dominio euclidiano es un PID.

##### Teorema 2.4.11

Cada dominio euclidiano es un dominio ideal principal.

Pista

Imita la prueba del teorema 2.4.6 .

##### Exploración 2.4.1

¿Dónde encajan los dominios euclidianos y los PID en la jerarquía de abstracción que se encuentra en Exploración 2.3.5?

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