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3: Factorización

  • Page ID
    107507
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    En este capítulo, llegamos al corazón del texto: una investigación estructural de factorización única en los contextos familiares de\(\mathbb{Z}\) y\(F[x]\). En la Sección 3.1, exploramos teoremas que formalizan gran parte de nuestra comprensión de ese problema de álgebra de secundaria por excelencia: factorizar polinomios. Como vimos en el Teorema 1.2.4 y el Teorema 2.4.9, ambos\(\mathbb{Z}\) y\(F[x]\) tienen un algoritmo de división y, por lo tanto, son dominios euclidianos. En la Sección 3.2, exploramos las implicaciones para la multiplicación en dominios euclidianos. Es decir: dado que tenemos un algoritmo de división bien portado en un dominio integral, ¿qué podemos decir de las propiedades de factorización del dominio?

    Finalmente, en la optativa Sección 3.3, exploramos contextos en los que la factorización única en productos de irreductibles no necesita sostenerse.

    • 3.1: Factorización de polinomios
      En esta sección, nuestro primer objetivo será extender las propiedades familiares de Z a F [x]. También veremos que características particulares de un polinomio (por ejemplo, su grado, o la existencia de raíces) permiten que se decidan criterios adicionales para su irreductibilidad.
    • 3.2: Factorización en Dominios Euclideanos
      En esta sección, nuestras exploraciones de las propiedades aritméticas estructurales que garantizan una factorización única culminan en el Teorema 3.2.7. Específicamente, veremos que todos los dominios euclidianos poseen la propiedad de factorización única. Para probar este teorema, nos apoyaremos en parte en una interesante propiedad de cadenas de ideales en dominios euclidianos.
    • 3.3: Factorización no única
      A pesar de la evidencia en contrario, no todos los anillos tienen la propiedad de factorización única.


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