3.1: Factorización de polinomios

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• Qué propiedades de la divisibilidad se\(\mathbb{Z}\) extienden a\(F[x]\text{?}\)
• ¿Qué es un polinomio irreducible? ¿Hay alguna herramienta que podamos usar para determinar si un polinomio dado es irreducible?

Una de las consecuencias más bellas de un estudio abstracto del álgebra es el hecho de que ambos\(\mathbb{Z}\) y\(F[x]\) son dominios euclidianos. Si bien no son “lo mismo”, podemos esperar que compartan muchas de las mismas propiedades. En esta sección, nuestro primer objetivo será extender propiedades familiares de\(\mathbb{Z}\) a También\(F[x]\text{.}\) veremos que características particulares de un polinomio (por ejemplo, su grado, o la existencia de raíces) permite que se decidan criterios adicionales para su irreductibilidad.

Dado que ambos\(\mathbb{Z}\) y\(F[x]\) tienen un algoritmo de división, es razonable esperar que, similar a los enteros, también podamos investigar el mayor divisor común de polinomios. De hecho, nuestro método para encontrar el mayor divisor común de dos enteros se extiende muy bien a los polinomios.

Investigación 3.1.1

Dado\(f(x),g(x)\in F[x]\text{,}\) estado una conjetura que da un medio para encontrar\(\gcd(f(x),g(x))\text{.}\) Demuestra que tu conjetura es correcta.

Investigación 3.1.2

Exponga y pruebe cuidadosamente un teorema similar a Bézout (recordar Teorema 1.2.6) para polinomios en\(F[x]\text{.}\)

Una de las cosas más útiles que podemos hacer con los polinomios es evaluarlos “enchufando” elementos de nuestro conjunto de coeficientes (o algún superconjunto que lo contenga) y realizando la aritmética resultante en un anillo apropiado. Podemos hacer esto completamente riguroso usando el lenguaje de las funciones: dado un anillo conmutativo\(R\) y todos los polinomios\(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n \in R[x]\text{,}\) definimos la función\(p_f : R\to R\) por\(p_f(r) = a_0 + a_1 r + \cdots + a_n r^n \text{.}\) Sin embargo, no vamos a belabor este punto; en cambio, generalmente escribiremos\(p(r)\) en lugar de\(p_f(r)\) y apelaremos a nuestras nociones comunes de evaluación de polinomios.

Dado un polinomio\(p(x)\in R[x]\text{,}\) hemos estado frecuentemente interesados en encontrar todos\(r\in R\) para los cuales\(p(r) = 0\text{.}\)

Definición: Zero

\(R\)Sea conmutativo con identidad y supongamos\(p(x) \in R[x]\text{.}\) Decimos\(r\in R\) es un cero o raíz de\(p(x)\) si\(p(r) = 0\text{.}\)

Al considerar polinomios con coeficientes enteros, cualquier raíz racional se comporta particularmente bien.

Teorema 3.1.1

Que\(p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \in \mathbb{Z}[x]\) con\(a_0,a_n\ne 0\text{.}\) Si\(r,s\in\mathbb{Z}\) tal que\(s\ne 0, \gcd(r,s)=1\text{,}\) y\(p(r/s)=0\text{,}\) entonces\(r|a_0\) y\(s|a_n\text{.}\)

Actividad 3.1.1

Usa el Teorema 3.1.1 para encontrar las posibles raíces racionales de ¿\(p(x) = 3 - x + x^2 + 5x^3 - 10x^4 - 6x^5\text{.}\)Cuál de las posibilidades que encontraste son en realidad raíces? Justificar.

Teorema 3.1.1 dio una condición para verificar si los polinomios en\(\mathbb{Z}[x]\) tenían raíces en\(\mathbb{Q}\text{.}\) Sin embargo, la falta de una raíz racional para un polinomio no\(q(x)\in \mathbb{Z}[x]\) es suficiente para decir que un polinomio es irreducible en\(\mathbb{Z}[x]\) según Definición: Irreducible.

Actividad 3.1.2

Encuentra un polinomio\(q(x) \in \mathbb{Z}[x]\) que no tenga raíces\(\mathbb{Q}\) pero que no obstante sea reducible\(\mathbb{Z}\).

Para simplificar las cosas, nos centraremos en lo sucesivo en polinomios con coeficientes en un campo. El siguiente teorema es un resultado que aprendiste en álgebra de secundaria (y probablemente hayas usado innumerables veces desde entonces), pero al igual que con los otros temas familiares que hemos explorado hasta ahora, es necesario formalizar antes de continuar.

Teorema 3.1.2 : Teorema de factores

Dejar\(F\) ser un campo, y\(p(x)\in F[x]\text{.}\) Entonces\(\alpha\in F\) es una raíz de\(p(x)\) si y sólo si\(x-\alpha\) divide\(p(x)\text{.}\)

Tenga en cuenta que si bien\(F[x]\) es un anillo, y ya tenemos una definición de un elemento irreducible de un anillo, nos resultará útil tener una definición lista de irreducible en el contexto de polinomios con coeficientes en un campo. Es a esa tarea a la que nos dirigimos ahora.

Exploración 3.1.1

Dado un campo\(F\text{,}\) definir un elemento irreducible de\(F[x]\text{,}\) mantener a la vista Teorema 2.2.8 y Definición: Irreducible.

Pista

¿Cuáles son las unidades en\(F[x]\text{?}\)

Definición: Reductible

Un polinomio\(f(x)\in F[x]\) es reducible si no es irreducible.

Actividad 3.1.3

Indicar una definición positiva para un polinomio reducible con coeficientes en un campo Es\(F\text{.}\) decir, exponer una definición que no se refiera a la noción de irreducibilidad.

Teorema 3.1.3

Cada polinomio de grado 1 in\(F[x]\) es irreducible.

Teorema 3.1.4

Un polinomio no constante\(f(x)\in F[x]\) de grado 2 o 3 es irreducible sobre\(F\) si y solo si no tiene ceros en\(F\text{.}\)

Los teoremas anteriores permiten explorar la (ir) reducibilidad de polinomios de pequeño grado con coeficientes en cualquier campo.

Actividad 3.1.4

Determinar cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre los campos dados. Justifica tu respuesta.

1. Más\(\mathbb{Z}_2\text{:}\)
   1. \(x^2 + 1\text{,}\)
   2. \(x^2 + x\text{,}\)
   3. \(x^2 +x +1\text{,}\)
   4. \(x^3 + x^2 + 1\text{,}\)
   5. \(x^4 + x^2 + 1\text{.}\)
2. Más\(\mathbb{Z}_3\text{:}\)
   1. \(x^2 + 1\text{,}\)
   2. \(x^2 + x\text{,}\)
   3. \(x^2 +x +1\text{,}\)
   4. \(x^2 +x +2\text{,}\)
   5. \(x^3 + x +1\text{,}\)
   6. \(x^3 + x^2 + 1\text{,}\)
   7. \(x^3 + x^2 + x + 1\text{.}\)

Como lo ilustra el siguiente teorema, en\(F[x]\text{,}\) todos los irreducibles son primos.

Teorema 3.1.5

Que\(F\) sea un campo y\(p(x),f(x),g(x)\in F[x]\) tal que\(p(x)\) sea irreducible y\(p(x)\)\(p(x)\) divida\(f(x) g(x)\text{.}\) Luego divide\(f(x)\) o\(p(x)\) divide\(g(x)\text{.}\)

A continuación declaramos el Teorema Fundamental del Álgebra. A pesar de su nombre, su prueba se basa en las propiedades analíticas de los números reales; no hay prueba puramente algebraica. Además, no es esencial para el trabajo que realizamos en los siguientes apartados, pero dada su estrecha relación con la cuestión de la factorización, la incluimos aquí para que sea completa.

Teorema Fundamental de Álgebra

Cada polinomio no constante con coeficientes en\(\mathbb{C}\) tiene una raíz en\(\mathbb{C}\text{.}\)

Concluimos con una consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra.

Teorema 3.1.6

Cada polinomio no constante\(\mathbb{C}[x]\) puede escribirse como un producto de polinomios lineales.

Pista

¿Cuáles son los irreducibles en\(\mathbb{C}[x]\text{?}\)

Así, la estructura multiplicativa de\(\mathbb{C}[x]\) es sencilla: todo se puede factorizar como un producto de polinomios lineales. Se dice que los campos de coeficientes como\(\mathbb{C}\) para los que esto es cierto están cerrados algebraicamente; no todos los campos satisfacen esta propiedad. Por ejemplo,\(x^2 + 1\in \mathbb{R}[x]\) no factoriza en un producto de polinomios lineales. En consecuencia, no\(\mathbb{R}\) es algebraicamente cerrado.

Sin embargo, independientemente de que nuestro campo esté algebraicamente cerrado, aún no hemos determinado que ninguno\(p\in F[x]\) pueda ser factorizado de manera única en un producto de irreducibles, o incluso que tales factorizaciones en irreducibles existan. En la Sección 3.2, hacemos justamente eso.