3.2: Factorización en Dominios Euclideanos

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

• ¿Qué es un dominio de factorización único? ¿Qué ejemplos de UFD poseemos?
• ¿Cuál es la condición de la cadena ascendente en los ideales? ¿Qué son los anillos noeterianos?
• ¿Qué tiene que ver la condición de la cadena ascendente con la factorización única?

En esta sección, nuestras exploraciones de las propiedades aritméticas estructurales que garantizan una factorización única culminan en el Teorema 3.2.7 . Específicamente, veremos que todos los dominios euclidianos poseen la propiedad de factorización única. Para probar este teorema, nos apoyaremos en parte en una interesante propiedad de cadenas de ideales en dominios euclidianos.

3.2.1 Dominios de factorización únicos

Comenzamos describiendo exactamente lo que queremos decir con factorización única. Al lector le puede resultar útil comparar Definición: Dominio Único de Factorización con El Teorema Fundamental de la Aritmética.

Definición: Dominio de factorización único

Un dominio integral\(R\) se denomina dominio de factorización único (o UFD) si se mantienen las siguientes condiciones.

1. Cada elemento distinto de cero no unitario de\(R\) es irreducible o puede escribirse como un producto finito de irreducibles en\(R\text{.}\)
2. La factorización en irreducibles es única hasta los asociados. Es decir, si se\(s\in R\) puede escribir como

   \ begin {ecuación*} s = p_1 p_2\ cdots p_k\ texto {y} s = q_1 q_2\ cdots q_m\ end {ecuación*}

   para algunos irreducibles\(p_i, q_j\in R\text{,}\) entonces\(k=m\) y, después de reordenar,\(p_i\) es un asociado de\(q_i\text{.}\)

Actividad 3.2.1

Usando\(\mathbb{Z}\) como ejemplo, ilustrar la definición de UFD factorizando 20 en dos conjuntos de diferentes irreducibles que, sin embargo, pueden emparejarse como asociados.

Ya estamos familiarizados con varios ejemplos.

Teorema 3.2.1

Los enteros\(\mathbb{Z}\) forman un UFD.

Teorema 3.2.2

Cada campo es un UFD.

3.2.2 La condición de la cadena ascendente y los anillos noeterianos

Ahora ponemos nuestra mirada en una prueba del teorema 3.2.7 . Para demostrarlo, haremos uso de una importante propiedad de ideales en dominios euclidianos. Primero, una definición.

Definición: Noetherian

Un anillo conmutativo\(R\) se llama noeteriano si satisface la condición de cadena ascendente en ideales.

Es decir,\(R\) es noeteriano si cada vez que

\ begin {ecuación*} I_1\ subseteq I_2\ subseteq I_3\ subseteq\ cdots\ end {ecuación*}

es una cadena ascendente de ideales en\(R\text{,}\) entonces existe algunos\(n\) para los cuales\(I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = \cdots\text{.}\)

\(\subseteq\): Estos anillos se nombran en honor a Emmy Noether, uno de los matemáticos preeminentes del siglo XX. Además de hacer contribuciones sustanciales a la física, formalizó la definición axiomática de anillo que todavía se usa hoy en día.

Exploración 3.2.1

Considera los ideales\(I_1 = \langle 30 \rangle\) en\(\mathbb{Z}\) y\(J_1 = \langle 32 \rangle\text{.}\) Encuentra las cadenas ascendentes más largas de ideales comenzando primero con\(I_1\) y luego con\(J_1\) eso que puedas. ¿Cuándo se estabiliza cada cadena?

A continuación mostramos que cada PID es noeteriano.

Teorema 3.2.3

Cada dominio ideal principal es noeteriano.

Pista

Deja\(I_1\subseteq I_2\subseteq I_3 \subseteq \cdots\) y establece\(I = \cup I_j\text{.}\) Mostrar que\(I\) es un ideal, ¡y usa tus suposiciones!

Corolario 3.2.1

Cada dominio euclidiano es noeteriano.

3.2.3 Los dominios euclidianos son UFD

Ahora comenzamos a recopilar resultados para demostrar que cada dominio euclidiano es un UFD. La primera condición en la definición de UFD es que cada distinto de cero factores no unitarios como producto de irreducibles. Primero mostramos que cada no-unidad distinta de cero es divisible por al menos una irreducible (Lema 3.2.1 ), que aplicamos para mostrar que cada no-unidad distinta de cero puede escribirse como un producto finito de irreducibles (Teorema 3.2.4 ).

Lema 3.2.1

Dejar\(R\) ser un dominio ideal principal, y\(r\in R\) una no-unidad distinta de cero. Entonces\(r\) es divisible por un irreducible.

Pista

\(r\in R\)Sea reducible y escriba\(r = r_1 r_2\text{.}\) Continuar factorizando reducibles y construya una cadena ascendente de ideales.

Teorema 3.2.4

Deja\(R\) ser un PID. Entonces cada elemento distinto de cero no unitario de\(R\) es irreducible o puede escribirse como un producto finito de irreducibles en\(R\text{.}\)

La segunda condición que debe cumplirse para que un dominio sea un UFD es que el producto de irreducibles debe ser único (hasta asociados). Para probarlo, haremos uso del Teorema 3.2.5 , que establece que en PIDs, primos e irreducibles son conceptos idénticos.

Lema 3.2.2

Deja\(R\) ser un PID y deja\(p\in R\) ser irreducible. \(a\in R\)Sea tal que\(p\nmid a\text{.}\) Entonces\(1\in I = \{ax+py : x,y\in R\}\) y así exista\(s,t\in R\) tal que\(1 = as+pt\text{.}\)

Teorema 3.2.5

Dejar\(R\) ser un PID y dejar\(p\in R\text{.}\) Entonces\(p\) es primo si y solo si\(p\) es irreducible.

Observe que Teorema 3.2.5 implica que si\(R\) es un PID y\(p\in R\) es irreducible con\(p|ab\text{,}\) entonces\(p|a\) o\(p|b\text{.}\)

Nuestro paso final crucial en el camino al Teorema 3.2.7 es el siguiente.

Teorema 3.2.6

Cada PID es un UFD.

Pista

Para la parte 2 de la definición, utilizar la inducción sobre el número de divisores irreducibles de una unidad arbitraria distinta de cero. Imita la prueba del teorema 1.3.4.

Teorema 3.2.7

Cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único.

Teorema 3.2.8 : Factorización Única de Polinomios

Que\(F\) sea un campo. Entonces\(F[x]\) es una UFD.

Es decir, si\(f(x) \in F[x]\) con\(\deg(f(x)) \ge 1\text{,}\) entonces\(f(x)\) es irreducible o un producto de irreducibles en\(F[x]\text{.}\) Lo que es más, si

\ begin {ecuación*} f (x) = p_1 (x) p_2 (x)\ cdots p_k (x)\ texto {y} f (x) = q_1 (x) q_2 (x)\ cdots q_m (x)\ end {ecuación*}

son dos factorizaciones de\(f\) en irreducibles\(p_i, q_j\text{,}\) entonces\(m=k\) y después de reordenar,\(p_j\) y\(q_j\) son asociados.

Pista

Manejar la existencia y singularidad por separado. Para cada uno, la inducción (fuerte)\(\deg(f(x))\) funcionará. O hacer algo completamente diferente.

Así, vemos que la existencia de un algoritmo de división de buen comportamiento y (falta de cero divisores) es suficiente para garantizar una factorización única. Sin embargo, no es necesario. El siguiente teorema se incluye como referencia, pero no pretende ser probado.

Teorema

Si\(R\) es un UFD, entonces\(R[x]\) es un UFD.

Así,\(\mathbb{Z}[x]\) es una UFD. Es decir, cada polinomio no constante en\(\mathbb{Z}[x]\) es irreducible o puede ser factorizado de manera única en un producto de irreducibles. No obstante, como veremos más adelante, no\(\mathbb{Z}[x]\) es un PID.