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LibreTexts Español

3.2: Factorización en Dominios Euclideanos

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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:

  • ¿Qué es un dominio de factorización único? ¿Qué ejemplos de UFD poseemos?
  • ¿Cuál es la condición de la cadena ascendente en los ideales? ¿Qué son los anillos noeterianos?
  • ¿Qué tiene que ver la condición de la cadena ascendente con la factorización única?

En esta sección, nuestras exploraciones de las propiedades aritméticas estructurales que garantizan una factorización única culminan en el Teorema 3.2.7 . Específicamente, veremos que todos los dominios euclidianos poseen la propiedad de factorización única. Para probar este teorema, nos apoyaremos en parte en una interesante propiedad de cadenas de ideales en dominios euclidianos.

3.2.1 Dominios de factorización únicos

Comenzamos describiendo exactamente lo que queremos decir con factorización única. Al lector le puede resultar útil comparar Definición: Dominio Único de Factorización con El Teorema Fundamental de la Aritmética.

Definición: Dominio de factorización único

Un dominio integralR se denomina dominio de factorización único (o UFD) si se mantienen las siguientes condiciones.

  1. Cada elemento distinto de cero no unitario deR es irreducible o puede escribirse como un producto finito de irreducibles enR.
  2. La factorización en irreducibles es única hasta los asociados. Es decir, si sesR puede escribir como

    \ begin {ecuación*} s = p_1 p_2\ cdots p_k\ texto {y} s = q_1 q_2\ cdots q_m\ end {ecuación*}

    para algunos irreduciblespi,qjR, entoncesk=m y, después de reordenar,pi es un asociado deqi.

Actividad 3.2.1

UsandoZ como ejemplo, ilustrar la definición de UFD factorizando 20 en dos conjuntos de diferentes irreducibles que, sin embargo, pueden emparejarse como asociados.

Ya estamos familiarizados con varios ejemplos.

Teorema 3.2.1

Los enterosZ forman un UFD.

Teorema 3.2.2

Cada campo es un UFD.

3.2.2 La condición de la cadena ascendente y los anillos noeterianos

Ahora ponemos nuestra mirada en una prueba del teorema 3.2.7 . Para demostrarlo, haremos uso de una importante propiedad de ideales en dominios euclidianos. Primero, una definición.

Definición: Noetherian

Un anillo conmutativoR se llama noeteriano si satisface la condición de cadena ascendente en ideales.

Es decir,R es noeteriano si cada vez que

\ begin {ecuación*} I_1\ subseteq I_2\ subseteq I_3\ subseteq\ cdots\ end {ecuación*}

es una cadena ascendente de ideales enR, entonces existe algunosn para los cualesIn=In+1=In+2=.

: Estos anillos se nombran en honor a Emmy Noether, uno de los matemáticos preeminentes del siglo XX. Además de hacer contribuciones sustanciales a la física, formalizó la definición axiomática de anillo que todavía se usa hoy en día.

Exploración 3.2.1

Considera los idealesI1=30 enZ yJ1=32. Encuentra las cadenas ascendentes más largas de ideales comenzando primero conI1 y luego conJ1 eso que puedas. ¿Cuándo se estabiliza cada cadena?

A continuación mostramos que cada PID es noeteriano.

3.2.3 Los dominios euclidianos son UFD

Ahora comenzamos a recopilar resultados para demostrar que cada dominio euclidiano es un UFD. La primera condición en la definición de UFD es que cada distinto de cero factores no unitarios como producto de irreducibles. Primero mostramos que cada no-unidad distinta de cero es divisible por al menos una irreducible (Lema 3.2.1 ), que aplicamos para mostrar que cada no-unidad distinta de cero puede escribirse como un producto finito de irreducibles (Teorema 3.2.4 ).

Lema 3.2.1

DejarR ser un dominio ideal principal, yrR una no-unidad distinta de cero. Entoncesr es divisible por un irreducible.

Pista

rRSea reducible y escribar=r1r2. Continuar factorizando reducibles y construya una cadena ascendente de ideales.

Teorema 3.2.4

DejaR ser un PID. Entonces cada elemento distinto de cero no unitario deR es irreducible o puede escribirse como un producto finito de irreducibles enR.

La segunda condición que debe cumplirse para que un dominio sea un UFD es que el producto de irreducibles debe ser único (hasta asociados). Para probarlo, haremos uso del Teorema 3.2.5 , que establece que en PIDs, primos e irreducibles son conceptos idénticos.

Lema 3.2.2

DejaR ser un PID y dejapR ser irreducible. aRSea tal quepa. Entonces1I={ax+py:x,yR} y así existas,tR tal que1=as+pt.

Teorema 3.2.5

DejarR ser un PID y dejarpR. Entoncesp es primo si y solo sip es irreducible.

Observe que Teorema 3.2.5 implica que siR es un PID ypR es irreducible conp|ab, entoncesp|a op|b.

Nuestro paso final crucial en el camino al Teorema 3.2.7 es el siguiente.

Teorema 3.2.6

Cada PID es un UFD.

Pista

Para la parte 2 de la definición, utilizar la inducción sobre el número de divisores irreducibles de una unidad arbitraria distinta de cero. Imita la prueba del teorema 1.3.4.

Teorema 3.2.7

Cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único.

Teorema 3.2.8 : Factorización Única de Polinomios

QueF sea un campo. EntoncesF[x] es una UFD.

Es decir, sif(x)F[x] condeg(f(x))1, entoncesf(x) es irreducible o un producto de irreducibles enF[x]. Lo que es más, si

\ begin {ecuación*} f (x) = p_1 (x) p_2 (x)\ cdots p_k (x)\ texto {y} f (x) = q_1 (x) q_2 (x)\ cdots q_m (x)\ end {ecuación*}

son dos factorizaciones def en irreduciblespi,qj, entoncesm=k y después de reordenar,pj yqj son asociados.

Pista

Manejar la existencia y singularidad por separado. Para cada uno, la inducción (fuerte)deg(f(x)) funcionará. O hacer algo completamente diferente.

Así, vemos que la existencia de un algoritmo de división de buen comportamiento y (falta de cero divisores) es suficiente para garantizar una factorización única. Sin embargo, no es necesario. El siguiente teorema se incluye como referencia, pero no pretende ser probado.

Teorema

SiR es un UFD, entoncesR[x] es un UFD.

Así,Z[x] es una UFD. Es decir, cada polinomio no constante enZ[x] es irreducible o puede ser factorizado de manera única en un producto de irreducibles. No obstante, como veremos más adelante, noZ[x] es un PID.


This page titled 3.2: Factorización en Dominios Euclideanos is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Janssen & Melissa Lindsey via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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