3.3: Factorización no única
- Page ID
- 107514
En esta sección, buscaremos responder a las preguntas:
- ¿Cómo puede fallar la factorización única y por qué importa?
- ¿Qué es un ejemplo de dominio no atómico?
- ¿Cuál es un ejemplo de un elemento que no factoriza de manera única en un producto de irreducibles?
A pesar de la evidencia en contrario, no todos los anillos tienen la propiedad de factorización única. Es decir, hay anillos conmutativos con identidad que no son UFD. De hecho, el fracaso de ciertos anillos en la teoría algebraica de números para tener la propiedad de factorización única jugó un papel en varios intentos fallidos de probar el último teorema de Fermat, que dice que no hay soluciones enteras no triviales\((x,y,z)\) a la ecuación\(x^n + y^n = z^n\) si\(n \ge 3\text{.}\) Pierre de Fermat afirmó que tenía una “prueba maravillosa” de este hecho, pero el margen del libro en el que estaba escribiendo era “demasiado estrecho para contenerlo”. La supuesta prueba de Fermat nunca se encontró, y muchos ahora dudan de que tuviera una. La búsqueda de una prueba válida no estaría completa hasta el trabajo de Andrew Wiles y Richard Taylor a mediados de la década de 1990.
En 1847, Gabriel Lamé afirmó que había resuelto completamente el problema. Su solución se basó en la factorización de\(x^p + y^p\text{,}\) donde\(p\) es un primo impar, como
\ comenzar {ecuación*} x^p + y^p = (x+y) (x+\ zeta y)\ cdots (x+\ zeta^ {p-1} y)\ texto {,}\ final {ecuación*}
donde\(\zeta = e^{2\pi i/p}\) es una primitiva\(p\) -ésima raíz de unidad en\(\mathbb{C}\text{.}\) Sin embargo, el anillo no\(\mathbb{Z}[\zeta] = \{a_0 + a_1 \zeta + a_2 \zeta^2 + \cdots + a_{p-1} \zeta^{p-1} : a_i\in\mathbb{Z}\}\) es un dominio de factorización único.
Hay dos formas en que la factorización única en un dominio integral puede fallar: puede haber una falla de una unidad distinta de cero para factorizar en irreducibles, o puede haber factorizaciones no asociadas del mismo elemento. Investigamos cada uno a su vez.
Decimos que un dominio integral\(R\) es atómico si cada unidad distinta de cero puede escribirse como un producto finito de irreducibles en\(R\text{.}\)
Let
\ begin {align*} R & =\ mathbb {Z} + x\ mathbb {Q} [x]\\ & =\ {a + b_1 x + b_2 x^2 +\ cdots + b_n x^n: a\ in\ mathbb {Z}, b_1,\ ldots, b_n\ in\ mathbb {Q}, n\ ge 0\},\ end {align*}
el conjunto de polinomios con términos constantes enteros y coeficientes racionales.
- Convénzate de que\(R\) es un dominio integral. No es necesario probarlo a detalle, pero al menos hay que argumentar que\(R\) se cierra bajo la suma y multiplicación polinomiales habituales, y ese\(R\) es un dominio.
- Describir los irreducibles en\(R\text{.}\)
- Utilizar la noción de grado para argumentar que cualquier factorización de\(x\) in\(R\) tiene la forma
\ begin {ecuación*} x = m\ izquierda (\ frac {x} {m}\ derecha). \ end {ecuación*}
Ahora exploramos el dominio atómico\(R = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}] = \{ a+b\sqrt{-7} : a,b\in\mathbb{Z}\}\text{.}\) Como veremos, incluso cuando se pueda escribir una unidad distinta de cero como producto de irreducibles, puede darse el caso de que esta factorización no sea única.
Verifica que\(8 = (1+\sqrt{-7})(1-\sqrt{-7})\text{.}\)
A continuación, desarrollamos una función multiplicativa\(\delta\) que nos permite explorar las propiedades multiplicativas de\(\mathbb{Z}[\sqrt{-7}]\text{.}\)
Definir\(\delta : R \to \mathbb{N}_0\) por\(\delta(a+b\sqrt{-7}) = a^2 + 7 b^2\text{.}\) Entonces para todos\(x,y\in R\text{,}\)\(\delta(xy) = \delta(x)\delta(y)\text{.}\)
Un elemento\(u\in R\) es una unidad si y solo si\(\delta(u) = 1\text{.}\)
No existen\(x,y\in \mathbb{N}_0\) tal que\(2 = x^2 + 7y^2\text{.}\)
Los elementos 2,\(1+ \sqrt{-7}\text{,}\) y\(1-\sqrt{-7}\) son irreducibles en\(R\text{.}\) Concluimos que no\(R\) es una UFD.