7.1: Teorema de Cauchy

Introducción

Nuestro objetivo principal es comprender mejor la expansión parcial de la fracción de una función de transferencia dada. Con respecto al ejemplo que cerró la discusión de diferenciación compleja, ver la ecuación - En esta ecuación, encontramos

\[(zI-B)^{-1} = \frac{1}{z-\lambda_{1}}P_{1}+\frac{1}{(z-\lambda_{1})^2}D_{1}+\frac{1}{z-\lambda_{2}}P_{2} \nonumber\]

donde el\(P_{j}\) y\(D_{j}\) disfruta de las increíbles propiedades

\[ \begin{align*} BP_{1} &= P_{1}B \\[4pt] &= \lambda_{1}P_{1}+D_{1} \end{align*}\]

y

\[BP_{2} = P_{2}B = \lambda_{2}P_{2} \nonumber\]

\[P_{1}+P_{2} = I \nonumber\]

\[P_{1}^{2} = P_{1} \nonumber\]

\[P_{2}^{2} = P_{2} \nonumber\]

y

\[D_{1}^{2} = 0 \nonumber\]

\[P_{1}D_{1} = D_{1}P_{1} \nonumber\]

\[= D_{1} \nonumber\]

y

\[P_{2}D_{1} = D_{1}P_{2} = 0\]

Para demostrar que esto siempre sucede, es decir, que no es una peculiaridad producida por lo particular\(B\), se requieren algunas herramientas adicionales de la teoría de variables complejas. En particular, necesitamos el hecho de que las expansiones parciales de fracciones se puedan llevar a cabo a través de una integración compleja.

Integración de funciones complejas sobre curvas complejas

Estaremos integrando funciones complejas sobre curvas complejas. Dicha curva es parametrizada por una función de valor complejo o, equivalentemente, dos valores reales, de un parámetro real (típicamente denotado por\(t\)). Más precisamente,

\[C \equiv \{z(t) = x(t)+iy(t) | a \le t \le b\} \nonumber\]

Por ejemplo, si\(x(t) = y(t) = t\) while\(a = 0\) y\(b = 1\), entonces\(C\) es el segmento de línea que se une\(0+i0\) a\(1+i\).

Ahora definimos

\[\int f(z) dz = \equiv \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t) dt \nonumber\]

Por ejemplo, si\(C = \{t+it | 0 \le t \le 1\}\) como arriba y\(f(z) = z\) luego

\[\int z dz = \int_{0}^{1} (t+it) (1+i) dt = \int_{0}^{1} t-t+i2t dt = i \nonumber\]

mientras que si\(C\) es el círculo de la unidad\(\{e^{it} | 0 \le t \le 2\pi\}\) entonces

\[\int z dz =\in_{0}^{2\pi} e^{it}ie^{it} dt = i \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} dt = i \int_{0}^{2\pi} \cos(2t)+i \sin(2t) dt = 0 \nonumber\]

Quedando con el círculo unitario pero ahora integrando\(f(z) = \frac{1}{z}\) encontramos

\[\int z^{-1} dz = \int_{0}^{2 \pi} e^{-(it)}ie^{it} dt = 2\pi i \nonumber\]

Generalizamos este cálculo a potencias arbitrarias (enteras) sobre círculos arbitrarios. Más precisamente, para mm enteros y complejos fijos\( (z-a)^{m}\) sobre

\[C(a,r) \equiv \{a+re^{it} | 0 \le t \le 2\pi\} \nonumber\]

el círculo de radio\(r\) centrado en\(a\)

\[\int (z-a)^{m} dz = \int_{0}^{2\pi} (a+re^{it}-a)^{m} rie^{it} dt \nonumber\]

\[= ir^{m+1} \int_{0}^{2\pi} e^{i(m+1)t} dt \nonumber\]

\[\int (z-a)^{m} dz = ir^{m+1} \int_{0}^{2\pi} \cos((m+1)t)+i \sin((m+1)t) dt = \left \{ \begin{array}{cc} {2\pi i}&{\text{if} m = -1}\\ {0}&{\text{otherwise}} \end{array} \right . \nonumber\]

A la hora de integrar funciones más generales suele ser conveniente expresar la integral en términos de sus partes reales e imaginarias. Más precisamente

\[\begin{align*} \int f(z) dz &=\int u(x,y)+iv(x,y) dx+i \int u(x,y)+iv(x,y) dy \\[4pt] &=\int u(x,y)dx - \int v(x,y) dy+i \int v(x,y)dx+i \int u(x,y) dy \\[4pt] &=\int_{a}^{b} u(x(t), y(t))x'(t)-v(x(t), y(t))y'(t) dt+i \int_{a}^{b} u(x(t), y(t))y'(t)+v(x(t), y(t))x'(t) dt \end{align*}\]

La segunda línea debe invocar recuerdos de:

Teorema de Green

Si\(C\) es una curva cerrada y\(M\) y\(N\) son continuamente diferenciables funciones de valor real en\(C_{in}\), la región encerrada por\(C\), entonces

\[\int M dx+ \int N dy = \iint \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} dxdy \nonumber\]

Aplicando esto a la situación anterior, encontramos, siempre y cuando\(C\) esté cerrado, que

\[\int f(z) dz = -\iint \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} dxdy+ i \iint \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} dxdy \nonumber\]

A primera vista parece que el Teorema de Green sólo sirve para enturbiar las aguas. Recordando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, sin embargo, encontramos que cada una de estas dobles integrales es de hecho ¡idénticamente cero! En resumen, hemos demostrado:

Teorema de Cauchy

Si\(f\) es diferenciable en y en la curva cerrada\(C\) entonces\(\int f(z) dz = 0\).

Estrictamente hablando, para invocar el Teorema de Green requerimos no sólo que ff sea diferenciable sino que su derivado de hecho sea continuo. Sin embargo, esto es simplemente una limitación de nuestro modo simple de prueba; el teorema de Cauchy es cierto como se afirma.

Este teorema, junto con\(C(a,r) \equiv \{a+re^{it} | 0 \le t \le 2\pi\}\), nos permite integrar toda función racional adecuada. Más precisamente, si\(q = \frac{f}{g}\) donde\(f\) es un polinomio de grado como máximo\(m-1\) y\(g\) es un polinomio de grado mésimo con h ceros distintos en\(\{\lambda_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}\) con multiplicidades respectivas de\(\{m_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}\) encontramos que

\[q(z) = \sum_{j = 1}^{h} \sum_{k = 1}^{m_{j}} \frac{q_{j,k}}{(z-\lambda_{j})^{k}} \nonumber\]

Observe ahora que si elegimos\(r_{j}\) tan pequeño ese\(\lambda_{j}\) es el único cero de\(g\) cercado para\(C_{j} \equiv C(\lambda_{j}, r_{j})\) entonces por el Teorema de Cauchy

\[\int q(z) dz = \sum_{k = 1}^{m_{j}} q_{j,k} \int \frac{1}{(z-\lambda_{j})^k} dz \nonumber\]

En Ecuación encontramos que cada una, salvo la primera, de las integrales bajo la suma es de hecho cero. Por lo tanto,

\[\int q(z) dz = 2\pi i q_{j,1} \nonumber\]

Con\(q_{j,1}\) la mano, digamos a partir de esta ecuación o residuo, se puede ver a la Ecuación como un medio para computar la integral indicada. La lectura opuesta, es decir, que la integral es un medio conveniente de expresar\(q_{j,1}\), resultará igual de útil. Con eso en mente, observamos que los residuos restantes pueden ser calculados como integrales del producto de q y el factor apropiado. Más precisamente,

\[ \int q(z)(z-\lambda_{j})^{k-1} dz = 2\pi i q_{j,k} \nonumber\]

Se puede hacer creer que la precisión de este resultado se debe a la elección muy especial de curva y función. Veremos...