1.2: Sistemas de Ecuaciones, Procedimientos Algebraicos
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Procedimientos algebraicos
- Utilice operaciones elementales para encontrar la solución a un sistema lineal de ecuaciones.
- Encuentra la forma fila-escalón y la forma fila-escalón reducida de una matriz.
- Determinar si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, una solución única o un número infinito de soluciones a partir de su.
- Resuelve un sistema de ecuaciones usando Eliminación Gaussiana y Eliminación Gauss-Jordan.
- Modelar un sistema físico con ecuaciones lineales y luego resolver.
Hemos tomado una mirada en profundidad a las representaciones gráficas de sistemas de ecuaciones, así como a cómo encontrar posibles soluciones gráficamente. Nuestra atención ahora se dirige a trabajar con sistemas algebraicamente.
Un sistema de ecuaciones lineales es una lista de ecuaciones,\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber\] donde\(a_{ij}\) y\(b_{j}\) son números reales. Lo anterior es un sistema de\(m\) ecuaciones en las\(n\) variables,\(x_{1},x_{2}\cdots ,x_{n}\). Escrito de manera más simple en términos de notación de suma, lo anterior se puede escribir en la forma\[\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}, \text{ }i=1,2,3,\cdots ,m\nonumber\]
El tamaño relativo de\(m\) y no\(n\) es importante aquí. Observe que hemos permitido\(a_{ij}\) y\(b_{j}\) ser cualquier número real. También podemos llamar a estos números escalares. Utilizaremos este término a lo largo del texto, así que ten en cuenta que el término escalar solo significa que estamos trabajando con números reales.
Ahora, supongamos que tenemos un sistema donde\(b_{i} = 0\) para todos\(i\). En otras palabras, cada ecuación es igual\(0\). Este es un tipo especial de sistema.
Un sistema de ecuaciones se denomina homogéneo si cada ecuación en el sistema es igual a\(0\). Un sistema homogéneo tiene la forma\[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{array}\nonumber \] donde\(a_{ij}\) están los escalares y\(x_{i}\) son variables.
Recordemos de la sección anterior que nuestro objetivo al trabajar con sistemas de ecuaciones lineales era encontrar el punto de intersección de las ecuaciones cuando se graficaron. En otras palabras, buscamos las soluciones al sistema. Ahora deseamos encontrar estas soluciones algebraicamente. Queremos encontrar valores para los\(x_{1},\cdots ,x_{n}\) que se resuelvan todas las ecuaciones. Si existe tal conjunto de valores, llamamos\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) al conjunto de soluciones.
Recordemos las discusiones anteriores sobre los tipos de soluciones posibles. Veremos que los sistemas de ecuaciones lineales tendrán una solución única, infinitamente muchas soluciones, o ninguna solución. Considera la siguiente definición.
Un sistema de ecuaciones lineales se denomina consistente si existe al menos una solución. Se llama inconsistente si no hay solución.
Si piensas en cada ecuación como una condición que debe ser satisfecha por las variables, consistente significaría que hay alguna elección de variables que pueden satisfacer todas las condiciones. Inconsistente significaría que no hay elección de las variables que pueden satisfacer todas las condiciones.
Las siguientes secciones proporcionan métodos para determinar si un sistema es consistente o inconsistente, y encontrar soluciones si existen.
Operaciones elementales
Comenzamos esta sección con un ejemplo. Recordemos del Ejemplo 1.1.1 que la solución al sistema dado fue\(\left(x, y \right) = \left( -1, 4 \right)\).
Verificar algebraicamente que\(\left(x, y \right) = \left( -1, 4 \right)\) sea una solución al siguiente sistema de ecuaciones.
\[\begin{array}{c} x+y=3 \\ y-x=5 \end{array}\nonumber \]
Solución
Al graficar estas dos ecuaciones e identificar el punto de intersección, previamente encontramos que\(\left(x, y \right) = \left( -1, 4 \right)\) es la solución única.
Podemos verificar algebraicamente sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales, y asegurando que las ecuaciones se mantengan. Primero, sustituimos los valores en la primera ecuación y verificamos que sea igual\(3\). \[x + y = (-1)+(4) = 3\nonumber \]Esto equivale\(3\) según sea necesario, por lo que vemos que\(\left( -1,4 \right)\) es una solución a la primera ecuación. Sustituir los valores en la segunda ecuación produce\[y -x = (4) - (-1) = 4 + 1 = 5\nonumber \] lo cual es verdadero. Para\(\left( x,y\right) =\left( -1,4\right)\) cada ecuación es cierta y por lo tanto, esta es una solución al sistema.
Ahora bien, la pregunta interesante es esta: Si no se le dieron estos números para verificar, ¿cómo podría determinar algebraicamente la solución? El álgebra lineal nos da las herramientas necesarias para responder a esta pregunta. Las siguientes operaciones básicas son herramientas importantes que utilizaremos.
Las operaciones elementales son aquellas operaciones que constan de lo siguiente.
- Intercambia el orden en que se listan las ecuaciones.
- Multiplique cualquier ecuación por un número distinto de cero.
- Reemplazar cualquier ecuación con ella misma añadida a un múltiplo de otra ecuación.
Es importante señalar que ninguna de estas operaciones cambiará el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones. De hecho, las operaciones elementales son la herramienta clave que utilizamos en álgebra lineal para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones.
Considera el siguiente ejemplo.
Demostrar que el sistema\[\begin{array}{c} x+y=7 \\ 2x-y=8 \end{array}\nonumber \] tiene la misma solución que el sistema\[\begin{array}{c} x+y=7 \\ -3y=-6 \end{array}\nonumber \]
Solución
Observe que el segundo sistema se ha obtenido tomando la segunda ecuación del primer sistema y sumando -2 veces la primera ecuación, de la siguiente manera:\[2x-y + (-2)(x+y) = 8 + (-2)(7)\nonumber \] Al simplificar, obtenemos\[-3y=-6\nonumber \] cuál es la segunda ecuación en el segundo sistema. Ahora, desde aquí podemos resolver por\(y\) y ver eso\(y=2\). A continuación, sustituimos este valor en la primera ecuación de la siguiente manera\[x+y=x+2=7\nonumber \] De ahí\(x=5\) y así\(\left( x,y\right) = \left(5,2 \right)\) es una solución al segundo sistema. Queremos comprobar si también\(\left(5,2 \right)\) es una solución al primer sistema. Comprobamos esto sustituyéndolo\(\left(x, y \right) = \left(5,2 \right)\) en el sistema y asegurando que las ecuaciones sean verdaderas. \[\begin{array}{c} x+y = \left(5 \right)+ \left( 2 \right) = 7 \\ 2x-y= 2 \left(5 \right) - \left( 2 \right) = 8 \end{array}\nonumber \]De ahí\(\left(5,2 \right)\) que también sea una solución al primer sistema.
Este ejemplo ilustra cómo una operación elemental aplicada a un sistema de dos ecuaciones en dos variables no afecta al conjunto de soluciones. Sin embargo, un sistema lineal puede involucrar muchas ecuaciones y muchas variables y no hay razón para limitar nuestro estudio a sistemas pequeños. Para cualquier tamaño de sistema en cualquier número de variables, el conjunto de soluciones sigue siendo la colección de soluciones a las ecuaciones. En todos los casos, las operaciones anteriores de Definición\(\PageIndex{4}\) no cambian el conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones lineales.
En el siguiente teorema, usamos la notación\(E_i\) para representar una ecuación, mientras que\(b_i\) denota una constante.
Supongamos que tiene un sistema de dos ecuaciones lineales\[\begin{array}{c} E_{1}=b_{1}\\ E_{2}=b_{2} \end{array} \label{system}\] Entonces los siguientes sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones que\(\eqref{system}\):
- \[\begin{array}{c} E_{2}=b_{2}\\ E_{1}=b_{1} \end{array} \label{thm1.9.1}\]
- \[\begin{array}{c} E_{1}=b_{1} \\ kE_{2}=kb_{2}\\ \end{array} \label{thm1.9.2}\]para cualquier escalar\(k\), siempre\(k\neq0\).
- \[\begin{array}{c} E_{1}=b_{1} \\ E_{2}+kE_{1}=b_{2}+kb_{1} \end{array} \label{thm1.9.3}\]para cualquier escalar\(k\) (incluyendo\(k=0\)).
Antes de proceder con la prueba del Teorema\(\PageIndex{1}\), consideremos este teorema en contexto de Ejemplo\(\PageIndex{2}\). Entonces,\[\begin{array}{cc} E_{1} = x+y, & b_{1} = 7 \\ E_{2} = 2x-y, & b_{2} = 8 \end{array}\nonumber \] Recordemos las operaciones elementales que utilizamos para modificar el sistema en la solución al ejemplo. Primero, agregamos\(\left( -2 \right)\) veces la primera ecuación a la segunda ecuación. En términos de Teorema\(\PageIndex{1}\), esta acción viene dada por\[E_{2} + \left( -2 \right) E_{1} = b_{2} + \left( -2 \right)b_{1}\nonumber \] o\[2x-y + \left( -2 \right) \left(x+y \right) = 8 + \left( -2 \right) 7\nonumber \] Esto nos dio el segundo sistema en Ejemplo\(\PageIndex{2}\), dado por\[\begin{array}{c} E_{1} = b_{1} \\ E_{2} + \left( -2 \right) E_{1} = b_{2} + \left( -2 \right) b_{1} \end{array}\nonumber \]
A partir de este punto, pudimos encontrar la solución al sistema. El teorema nos\(\PageIndex{1}\) dice que la solución que encontramos es de hecho una solución al sistema original.
Ahora vamos a probar Teorema\(\PageIndex{1}\).
- Prueba
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- La prueba de que los sistemas\(\eqref{system}\) y\(\eqref{thm1.9.1}\) tienen el mismo conjunto de soluciones es la siguiente. Supongamos que\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) es una solución para\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\). Queremos demostrar que esta es una solución al sistema de\(\eqref{thm1.9.1}\) arriba. Esto es claro, porque el sistema en\(\eqref{thm1.9.1}\) es el sistema original, pero listado en un orden diferente. Cambiar el orden no afecta al conjunto de soluciones, por lo que\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) es una solución para\(\eqref{thm1.9.1}\).
- A continuación queremos demostrar que los sistemas\(\eqref{system}\) y\(\eqref{thm1.9.2}\) tienen el mismo conjunto de soluciones. Es decir,\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\) tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema\(E_{1}=b_{1},kE_{2}=kb_{2}\) proporcionado\(k\neq 0\). Dejar\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) ser una solución de\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2},\). Queremos demostrar que es una solución para\(E_{1}=b_{1},kE_{2}=kb_{2}\). Observe que la única diferencia entre estos dos sistemas es que el segundo implica multiplicar la ecuación,\(E_{2}=b_{2}\) por el escalar\(k\). Recordemos que cuando multiplicas ambos lados de una ecuación por el mismo número, los lados siguen siendo iguales entre sí. De ahí\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) que si es una solución a\(E_{2}=b_{2}\), entonces también será una solución para\(kE_{2}=kb_{2}\). De ahí, también\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) es una solución para\(\eqref{thm1.9.2}\).
De igual manera, deje\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) ser una solución de\(E_{1}=b_{1},kE_{2}=kb_{2}\). Entonces podemos multiplicar la ecuación\(kE_{2}=kb_{2}\) por el escalar\(1/k\), lo cual es posible sólo porque lo hemos requerido\(k\neq 0\). Así como antes, esta acción preserva la igualdad y obtenemos la ecuación\(E_{2} = b_{2}\). De ahí\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) que también sea una solución para\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}.\) - Por último, vamos a demostrar que los sistemas\(\eqref{system}\) y\(\eqref{thm1.9.3}\) tienen el mismo conjunto de soluciones. Mostraremos que cualquier solución de\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\) es también una solución de\(\eqref{thm1.9.3}\). Entonces, mostraremos que cualquier solución de\(\eqref{thm1.9.3}\) es también una solución de\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\). Dejar\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) ser una solución para\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\). Entonces en particular resuelve\(E_{1} = b_{1}\). De ahí que resuelva la primera ecuación en\(\eqref{thm1.9.3}\). De igual manera, también resuelve\(E_{2} = b_{2}\). Por nuestra prueba de\(\eqref{thm1.9.2}\), también resuelve\(kE_{1}=kb_{1}\). Observe que si agregamos\(E_{2}\) y\(kE_{1}\), esto es igual a\(b_{2} + kb_{1}\). Por lo tanto,\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}\) si\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) resuelve también debe resolver\(E_{2}+kE_{1}=b_{2}+kb_{1}\).
Ahora supongamos que\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\) resuelve el sistema\(E_{1}=b_{1}, E_{2}+kE_{1}=b_{2}+kb_{1}\). Entonces en particular es una solución de\(E_{1} = b_{1}\). Nuevamente por nuestra prueba de\(\eqref{thm1.9.2}\), también es una solución para\(kE_{1}=kb_{1}\). Ahora bien, si restamos estas cantidades iguales de ambos lados de\(E_{2}+kE_{1}=b_{2}+kb_{1}\) obtenemos\(E_{2}=b_{2}\), lo que demuestra que la solución también satisface\(E_{1}=b_{1},E_{2}=b_{2}.\)
Dicho simplemente, el teorema anterior muestra que las operaciones elementales no cambian el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones.
Ahora veremos un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones y tres variables. De manera similar a los ejemplos anteriores, el objetivo es encontrar valores para\(x,y,z\) tal que cada una de las ecuaciones dadas se satisfaga cuando estos valores se sustituyan en.
Encuentre las soluciones para el sistema,
\[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ 2x+7y+14z=58 \\ 2y+5z=19 \end{array} \label{solvingasystem1}\]
Solución
Podemos relacionar este sistema con el Teorema\(\PageIndex{1}\) anterior. En este caso, tenemos\[\begin{array}{c c} E_{1} = x + 3y + 6z, & b_{1} = 25\\ E_{2} = 2x+7y+14z, & b_{2} = 58 \\ E_{3} = 2y+5z, & b_{3} = 19 \end{array}\nonumber \] Teorema\(\PageIndex{1}\) afirma que si hacemos operaciones elementales en este sistema, no vamos a cambiar el conjunto de soluciones. Por lo tanto, podemos resolver este sistema utilizando las operaciones elementales dadas en Definición\(\PageIndex{4}\). Primero, reemplace la segunda ecuación por\(\left( -2\right)\) veces la primera ecuación agregada a la segunda. Esto arroja el sistema \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ y+2z=8 \\ 2y+5z=19 \end{array} \label{solvingasystem2}\]Ahora, reemplace la tercera ecuación con\(\left( -2\right)\) veces la segunda agregada a la tercera. Esto rinde el sistema \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{array} \label{solvingasystem3}\]En este punto, podemos encontrar fácilmente la solución. Simplemente tome\(z=3\) y sustituya esto de nuevo en la ecuación anterior para resolver\(y\), y de manera similar para resolver para\(x\). \[\begin{array}{c} x + 3y + 6 \left(3 \right) = x + 3y + 18 = 25\\ y + 2 \left(3 \right) = y + 6 = 8 \\ z = 3 \end{array}\nonumber \]La segunda ecuación es ahora Se\[y+6=8\nonumber \] puede ver a partir de esta ecuación que\(y = 2\). Por lo tanto, podemos sustituir este valor en la primera ecuación de la siguiente manera:\[x + 3 \left(2 \right) + 18 = 25\nonumber \] Al simplificar esta ecuación, lo encontramos\(x=1\). De ahí que la solución a este sistema sea\(\left( x,y,z \right) = \left( 1,2,3 \right)\). Este proceso se llama sustitución de retorno.
Alternativamente, en\(\eqref{solvingasystem3}\) podrías haber continuado de la siguiente manera. Agrega\(\left( -2\right)\) veces la tercera ecuación a la segunda y luego agrega\(\left( -6\right)\) veces la segunda a la primera. Esto rinde\[ \begin{array}{c} x+3y=7 \\ y=2 \\ z=3 \end{array}\nonumber \] Ahora agregue\(\left( -3\right)\) veces el segundo al primero. Esto produce\[ \begin{array}{c} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{array}\nonumber \] un sistema que tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema original. Esto evitó la sustitución posterior y condujo al mismo conjunto de soluciones. Es su decisión la que prefiere utilizar, ya que ambos métodos conducen a la solución correcta,\(\left( x,y,z \right) = \left(1,2,3\right)\).