4.8: Aviones en R
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- Encuentra las ecuaciones vectoriales y escalares de un plano.
Al igual que la discusión anterior con líneas, los vectores pueden ser utilizados para determinar planos en\(\mathbb{R}^n\). Dado un vector\(\vec{n}\) en\(\mathbb{R}^n\) y un punto\(P_0\), es posible encontrar un plano único que contiene\(P_0\) y es perpendicular al vector dado.
Dejar\(\vec{n}\) ser un vector distinto de cero en\(\mathbb{R}^n\). Entonces\(\vec{n}\) se llama un vector normal a un plano si y solo si\[\vec{n} \bullet \vec{v} = 0\nonumber \] por cada vector\(\vec{v}\) en el plano.
En otras palabras, decimos que\(\vec{n}\) es ortogonal (perpendicular) a cada vector en el plano.
Consideremos ahora un plano con vector normal dado por\(\vec{n}\), y que contiene un punto\(P_0\). Observe que este plano es único. Si\(P\) es un punto arbitrario en este plano, entonces por definición el vector normal es ortogonal al vector entre\(P_0\) y\(P\). Dejando\(\overrightarrow{0P}\) y\(\overrightarrow{0P_0}\) siendo los vectores de posición de los puntos\(P\) y\(P_0\) respectivamente, se deduce que\[\vec{n} \bullet (\overrightarrow{0P} - \overrightarrow{0P_0}) = 0\nonumber \] o\[\vec{n} \bullet \overrightarrow{P_0P} = 0\nonumber \]
La primera de estas ecuaciones da la ecuación vectorial del plano.
Dejar\(\vec{n}\) ser el vector normal para un plano que contiene un punto\(P_0\). Si\(P\) es un punto arbitrario en este plano, entonces la ecuación vectorial del plano viene dada por\[\vec{n} \bullet (\overrightarrow{0P} - \overrightarrow{0P_0}) = 0\nonumber \]
Observe que esta ecuación puede ser utilizada para determinar si un punto\(P\) está contenido en un plano determinado.
Dejar\(\vec{n} = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\) ser el vector normal para un plano que contiene el punto\(P_0 = \left( 2, 1, 4 \right)\). Determinar si el punto\(P = \left( 5, 4, 1 \right)\) está contenido en este plano.
Solución
Por Definición\(\PageIndex{2}\),\(P\) es un punto en el plano si satisface la ecuación\[\vec{n} \bullet (\overrightarrow{0P} - \overrightarrow{0P_0}) = 0\nonumber \]
Teniendo en cuenta lo anterior\(\vec{n}\)\(P_0\),, y\(P\), esta ecuación se convierte\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] \bullet \left( \left[ \begin{array}{r} 5 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] \bullet \left( \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right] \right) \\ &= 3 + 6 - 9 = 0\end{aligned}\]
Por lo tanto,\(P = ( 5, 4, 1)\) está contenido en el plano.
Supongamos\(\vec{n} = \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]\),\(P = \left( x,y,z\right)\) y\(P_0 = (x_0, y_0, z_0 )\).
Entonces\[\begin{aligned} \vec{n} \bullet (\overrightarrow{0P} - \overrightarrow{0P_0}) &= 0 \\ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \bullet \left( \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right] \right) &= 0 \\ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right] \bullet \left[ \begin{array}{c} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{array} \right] &= 0 \\ a(x - x_0) + b (y - y_0) + c (z-z_0) &= 0 \end{aligned}\]
También podemos escribir esta ecuación como\[ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0\nonumber \]
Observe que ya que\(P_0\) se da,\(ax_0+by_0+cz_0\) es un escalar conocido, al que podemos llamar\(d\). Esta ecuación se convierte\[ax + by + cz = d\nonumber \]
Dejar\(\vec{n} = \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right]\) ser el vector normal para un plano que contiene el\(P_0 = (x_0, y_0, z_0)\) punto.Entonces si\(P=(x,y,z)\) es un punto arbitrario en el plano, la ecuación escalar del plano viene dada por\[ax + by + cz = d\nonumber \] donde\(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) y\(d = ax_0 + by_0 + cz_0\).
Considera la siguiente ecuación.
Encuentra una ecuación del plano que contiene\(P_0 = (3, -2, 5)\) y ortogonal a\(\vec{n} = \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right]\).
Solución
El vector anterior\(\vec{n}\) es el vector normal para este plano. Usando Definición\(\PageIndex{2}\), podemos determinar la ecuación vectorial para este plano. \[\begin{aligned} \vec{n} \bullet (\overrightarrow{0P} - \overrightarrow{0P_0}) &= 0 \\ \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \bullet \left(\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right] \right) &= 0 \\ \left[ \begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \bullet \left[ \begin{array}{c} x - 3 \\ y + 2 \\ z - 5 \end{array} \right] &= 0 \end{aligned}\]
Usando Definición\(\PageIndex{3}\), podemos determinar la ecuación escalar del plano. \[-2x + 4y + 1z = -2(3) + 4(-2) + 1(5) = -9\nonumber \]
Por lo tanto, la ecuación vectorial del plano es\[\left[ \begin{array}{r} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \bullet \left[ \begin{array}{c} x - 3 \\ y + 2 \\ z - 5 \end{array} \right] = 0\nonumber \] y la ecuación escalar es\[-2x + 4y + 1z = -9\nonumber \]
Supongamos que un punto no\(P\) está contenido en un plano dado. Entonces nos interesa la distancia más corta desde ese punto\(P\) hasta el plano dado. Considera el siguiente ejemplo.
Encuentra la distancia más corta desde el punto\(P = (3,2,3)\) hasta el plano dado por
\(2x + y + 2z = 2\), y encuentra el punto\(Q\) en el plano que está más cerca\(P\).
Solución
Escoja un punto arbitrario\(P_0\) en el avión. Entonces, se deduce eso\[\overrightarrow{QP} = proj_{\vec{n}}\overrightarrow{P_0P}\nonumber \] y\(\| \overrightarrow{QP} \|\) es la distancia más corta desde\(P\) el avión. Además, el vector\(\overrightarrow{0Q} = \overrightarrow{0P} - \overrightarrow{QP}\) da el punto necesario\(Q\).
De la ecuación escalar anterior, tenemos eso\(\vec{n} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]\). Ahora, elige\(P_0 = (1, 0, 0)\) así\(\vec{n} \bullet \overrightarrow{0P} = 2 = d\). Entonces,\(\overrightarrow{P_0P} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right]\).
Siguiente, cómpule\(\overrightarrow{QP} = proj_{\vec{n}}\overrightarrow{P_0P}\). \[\begin{aligned} \overrightarrow{QP} &= proj_{\vec{n}}\overrightarrow{P_0P} \\ &= \left( \frac{ \overrightarrow{P_0P} \bullet \vec{n}}{\| \vec{n} \| ^2}\right)\vec{n} \\ &= \frac{12}{9} \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \\ &= \frac{4}{3} \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \end{aligned}\]
\(\| \overrightarrow{QP} \| = 4\)Entonces, por lo que la distancia más corta desde\(P\) el avión es\(4\).
A continuación, para encontrar el punto\(Q\) en el avión que está más cerca\(P\) tenemos\[\begin{aligned} \overrightarrow{0Q} &= \overrightarrow{0P} - \overrightarrow{QP} \\ &= \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right] - \frac{4}{3} \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right] \\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]\end{aligned}\]
Por lo tanto,\(Q = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} )\).