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8.4: Completitud y compacidad

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Secuencias de Cauchy e integridad

Al igual que con las secuencias de números reales podemos definir secuencias de Cauchy.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Una secuencia{xn} enX es una secuencia Cauchy si por cadaϵ>0 existe unaMN tal que para todosnM y para todoskM tenemosd(xn,xk)<ϵ.

La definición es otra vez simplemente una traducción del concepto de los números reales a los espacios métricos. Entonces una secuencia de números reales es Cauchy en el sentido de si y solo si es Cauchy en el sentido anterior, siempre que equipemos los números reales con la métrica estándard(x,y)=|xy|.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Decimos queX es completo o Cauchy-complete si cada secuencia de Cauchy{xn} enX converge en unxX.

El espacioRn con la métrica estándar es un espacio métrico completo.

ParaR=R1 ello se comprobó en.

Tomarn>1. Dejemos{xj}j=1 ser una secuencia Cauchy enRn, donde escribimosxj=(xj1,xj2,,xjn)Rn. Como la secuencia es Cauchyϵ>0, dada, existeM tal que por todosi,jM tenemosd(xi,xj)<ϵ.

Arreglar algunosk=1,2,,n, porquei,jM tenemos|xikxjk|=(xikxjk)2n=1(xixj)2=d(xi,xj)<ϵ. De ahí que la secuencia{xjk}j=1 sea Cauchy. ComoR es completa la secuencia converge; existexkR tal que existexk=limjxjk.

Escribirx=(x1,x2,,xn)Rn. Por tenemos que{xj} converge hastaxRn y por lo tantoRn está completo.

Compacidad

Dejar(X,d) ser un espacio métrico yKX. El conjuntoK se establece para ser compacto si para cualquier colección de conjuntos abiertos{Uλ}λI tal queKλIUλ, existe un subconjunto finito{λ1,λ2,,λk}I tal queKkj=1Uλj.

Se dice que una colección de conjuntos abiertos{Uλ}λI como el anterior es una cubierta abierta deK. Entonces, una manera de decir queK es compacto es decir que cada cubierta abierta deK tiene una subcubierta finita.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Un conjunto compactoKX está cerrado y acotado.

Primero, demostramos que un conjunto compacto está acotado. ArreglarpX. Tenemos la tapa abiertaKn=1B(p,n)=X. SiK es compacta, entonces existe algún conjunto de índicesn1<n2<<nk tal queKkj=1B(p,nj)=B(p,nk). AsK está contenido en una bola,K está acotado.

A continuación, mostramos un conjunto que no está cerrado no es compacto. Supongamos que¯KK, es decir, hay un puntox¯KK. Siyx, entonces paran con\nicefrac1n<d(x,y) nosotros tenemosyC(x,\nicefrac1n). AdemásxK, asíKn=1C(x,\nicefrac1n)c. como una bola cerrada está cerrada,C(x,\nicefrac1n)c está abierta, y así tenemos una cubierta abierta. Si tomamos alguna colección finita de índicesn1<n2<<nk, entonceskj=1C(x,\nicefrac1nj)c=C(x,\nicefrac1nk)c Asx está en el cierre, tenemosC(x,\nicefrac1nk)K, por lo que no hay una subcubierta finita y noK es compacta.

Demostramos a continuación que en el espacio euclidiano dimensional finito cada conjunto delimitado cerrado es compacto. Por lo tanto, los conjuntos delimitados cerrados deRn son ejemplos de conjuntos compactos. No es cierto que en cada espacio métrico, cerrado y acotado sea equivalente a compacto. Hay muchos espacios métricos donde cerrado y acotado no es suficiente para dar compacidad, ver por ejemplo.

Una propiedad útil de los conjuntos compactos en un espacio métrico es que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Tales conjuntos a veces se llaman secuencialmente compactos. Demostremos que en el contexto de los espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si es secuencialmente compacto.

[thm:mscompactisseqcpt] Dejar(X,d) ser un espacio métrico. EntoncesKX es un conjunto compacto si y solo si cada secuencia enK tiene una subsecuencia que converge a un punto enK.

DejarKX ser un conjunto y{xn} una secuencia enK. Supongamos que para cada unoxK, hay una pelotaB(x,αx) para algunosαx>0 tal quexnB(x,αx) por sólo finitamente muchosnN. EntoncesKxKB(x,αx). Cualquier colección finita de estas bolas va a contener sólo finitamente muchasxn. Así para cualquier colección finita de tales bolas hay unaxnK que no está en la unión. Por lo tanto, noK es compacto.

Entonces siK es compacto, entonces existe unxK tal que para cualquieraδ>0,B(x,δ) contienexk para infinitamente muchoskN. B(x,1)contiene algunosxk así que vamosn1:=k. Sinj1 se define, entonces debe existirk>nj1 tal quexkB(x,\nicefrac1j), así definirnj:=k. Fíjese en esod(x,xnj)<\nicefrac1j. Por,limxnj=x.

Para la otra dirección, supongamos que cada secuencia enK tiene una subsecuencia que converge enK. Tome una cubierta abierta{Uλ}λI deK. Para cadaxK, definirδ(x):=sup{δ(0,1):B(x,δ)Uλ for some λI}. As{Uλ} es una cubierta abierta deK,δ(x)>0 para cada unoxK. Por construcción, para cualquier positivo debeϵ<δ(x) existirλI tal queB(x,ϵ)Uλ.

Escoge unλ0I y miraUλ0. SiKUλ0, nos detenemos ya que hemos encontrado una subcubierta finita. De lo contrario, debe haber un puntox1KUλ0. Debe existir algunaλ1I tal quex1Uλ1 y de hechoB(x1,12δ(x1))Uλ1. Trabajamos inductivamente. Supongamos queλn1 se define. OUλ0Uλ1Uλn1 es una cubierta finita deK, en cuyo caso nos detenemos, o debe haber un puntoxnK(Uλ1Uλ2Uλn1). En este caso, debe haber algunaλnI tal quexnUλn, y de hechoB(xn,12δ(xn))Uλn.

Entonces, o obtuvimos una subcubierta finita o obtuvimos una secuencia infinita{xn} como la anterior. Por contradicción supongamos que no hubo subcobertura finita y tenemos la secuencia{xn}. Entonces hay una subsecuencia{xnk} que converge, es decir,x=limxnkK. TomamosλI tal queB(x,12δ(x))Uλ. A medida que la subsecuencia converge, hayk tal qued(xnk,x)<18δ(x). Por la desigualdad triángulo,B(xnk,38δ(x))B(x,12δ(x))Uλ. Entonces38δ(x)<δ(xnk), lo que implicaB(xnk,316δ(x))B(xnk,12δ(xnk))Uλnk. As\nicefrac18<\nicefrac316, tenemosxB(xnk,316δ(x)), oxUλnk. Comolimxnj=x, para todos lo suficientementej grandes tenemosxnjUλnk por. Arreglemos uno de esosj tales quej>k. Pero por construcciónxnjUλnk sij>k, que es una contradicción.

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass para secuencias () tenemos que cualquier secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente. Por lo tanto, cualquier secuencia en un intervalo cerrado[a,b]R tiene una subsecuencia convergente. El límite también debe estar en la[a,b] medida en que los límites preservan las desigualdades no estrictas. Por lo tanto, un intervalo delimitado cerrado[a,b]R es compacto.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico y dejarKX ser compacto. Supongamos queEK es un conjunto cerrado, entoncesE es compacto.

Dejar{xn} ser una secuencia enE. También es una secuencia enK. Por lo tanto, tiene una subsecuencia convergente{xnj} que converge axK. ComoE se cierra el límite de una secuencia en tambiénE está adentroE y asíxE. Por lo tanto,E debe ser compacto.

[thm:msbw] Un subconjunto delimitado cerradoKRn es compacto.

PorqueR=R1 siKR está cerrado y acotado, entonces cualquier secuencia{xn} enK está delimitada, por lo que tiene una subsecuencia convergente por el teorema de Bolzano-Weierstrass para las secuencias (). ComoK está cerrado, el límite de la subsecuencia debe ser un elemento deK. AsíK es compacto.

Llevemos a cabo la prueba paran=2 y dejemos arbitrarion como ejercicio.

ComoK está acotado, existe un conjuntoB=[a,b]×[c,d]R2 tal queKB. Si podemos demostrar queB es compacto, entoncesK, al ser un subconjunto cerrado de un compactoB, también es compacto.

Dejar{(xk,yk)}k=1 ser una secuencia enB. Es decir,axkb ycykd para todosk. Una secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente así que hay una subsecuencia{xkj}j=1 que es convergente. La subsecuencia también{ykj}j=1 es una secuencia acotada por lo que existe una subsecuencia{ykji}i=1 que es convergente. Una subsecuencia de una secuencia convergente sigue siendo convergente, así{xkji}i=1 es convergente. Letx:=limixkjiandy:=limiykji. By,{(xkji,ykji)}i=1 converge a(x,y) lo quei va a. Además, comoaxkb ycykd para todosk, eso lo sabemos(x,y)B.

Ejercicios

Dejar(X,d) ser un espacio métrico yA un subconjunto finito deX. Demostrar queA es compacto.

A={\nicefrac1n:nN}RDejar. a) Mostrar que noA es compacto directamente usando la definición. b) Mostrar queA{0} es compacto directamente usando la definición.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico con el discreto métrico. a) Probar queX está completo. b) Probar queX es compacto si y solo siX es un conjunto finito.

a) Demostrar que la unión de finitamente muchos conjuntos compactos es un conjunto compacto. b) Encuentre un ejemplo donde la unión de infinitamente muchos conjuntos compactos no sea compacta.

Demostrar por dimensión arbitraria. Pista: El truco es usar la notación correcta.

Demuestre que un conjunto compactoK es un espacio métrico completo.

DejarC([a,b]) ser el espacio métrico como en. Mostrar queC([a,b]) es un espacio métrico completo.

[exercise:msclbounnotcompt] DejarC([0,1]) ser el espacio métrico de. Dejar0 denotar la función cero. Después demuestre que la bola cerrada noC(0,1) es compacta (aunque esté cerrada y acotada). Consejos: Construir una secuencia de distintas funciones continuas{fn} tales qued(fn,0)=1 yd(fn,fk)=1 para todosnk. Demuestre que el conjunto{fn:nN}C(0,1) está cerrado pero no compacto. Ver para inspirarse.

Demuestre que existe una métrica enR queR se convierte en un conjunto compacto.

Supongamos que(X,d) está completo y supongamos que tenemos una colección contablemente infinita de conjuntos compactos no vacíosE1E2E3 luego probarj=1Ej.

DejarC([0,1]) ser el espacio métrico de. KSea el conjunto defC([0,1]) tal quef sea igual a un polinomio cuadrático, es decirf(x)=a+bx+cx2, y tal que|f(x)|1 para todosx[0,1], es decirfC(0,1). Demostrar queK es compacto.

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