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8.4: Completitud y compacidad

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Secuencias de Cauchy e integridad

Al igual que con las secuencias de números reales podemos definir secuencias de Cauchy.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Una secuencia\{ x_n \} enX es una secuencia Cauchy si por cada\epsilon > 0 existe unaM \in {\mathbb{N}} tal que para todosn \geq M y para todosk \geq M tenemosd(x_n, x_k) < \epsilon .

La definición es otra vez simplemente una traducción del concepto de los números reales a los espacios métricos. Entonces una secuencia de números reales es Cauchy en el sentido de si y solo si es Cauchy en el sentido anterior, siempre que equipemos los números reales con la métrica estándard(x,y) = \left\lvert {x-y} \right\rvert.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Decimos queX es completo o Cauchy-complete si cada secuencia de Cauchy\{ x_n \} enX converge en unx \in X.

El espacio{\mathbb{R}}^n con la métrica estándar es un espacio métrico completo.

Para{\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1 ello se comprobó en.

Tomarn > 1. Dejemos\{ x^j \}_{j=1}^\infty ser una secuencia Cauchy en{\mathbb{R}}^n, donde escribimosx^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n. Como la secuencia es Cauchy\epsilon > 0, dada, existeM tal que por todosi,j \geq M tenemosd(x^i,x^j) < \epsilon.

Arreglar algunosk=1,2,\ldots,n, porquei,j \geq M tenemos\bigl\lvert x_k^i - x_k^j \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_k^i - x_k^j\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_\ell^i-x_\ell^j\bigr)}^2} = d(x^i,x^j) < \epsilon . De ahí que la secuencia\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty sea Cauchy. Como{\mathbb{R}} es completa la secuencia converge; existex_k \in {\mathbb{R}} tal que existex_k = \lim_{j\to\infty} x_k^j.

Escribirx = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n. Por tenemos que\{ x^j \} converge hastax \in {\mathbb{R}}^n y por lo tanto{\mathbb{R}}^n está completo.

Compacidad

Dejar(X,d) ser un espacio métrico yK \subset X. El conjuntoK se establece para ser compacto si para cualquier colección de conjuntos abiertos\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I} tal queK \subset \bigcup_{\lambda \in I} U_\lambda , existe un subconjunto finito\{ \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_k \} \subset I tal queK \subset \bigcup_{j=1}^k U_{\lambda_j} .

Se dice que una colección de conjuntos abiertos\{ U_{\lambda} \}_{\lambda \in I} como el anterior es una cubierta abierta deK. Entonces, una manera de decir queK es compacto es decir que cada cubierta abierta deK tiene una subcubierta finita.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico. Un conjunto compactoK \subset X está cerrado y acotado.

Primero, demostramos que un conjunto compacto está acotado. Arreglarp \in X. Tenemos la tapa abiertaK \subset \bigcup_{n=1}^\infty B(p,n) = X . SiK es compacta, entonces existe algún conjunto de índicesn_1 < n_2 < \ldots < n_k tal queK \subset \bigcup_{j=1}^k B(p,n_j) = B(p,n_k) . AsK está contenido en una bola,K está acotado.

A continuación, mostramos un conjunto que no está cerrado no es compacto. Supongamos que\overline{K} \not= K, es decir, hay un puntox \in \overline{K} \setminus K. Siy \not= x, entonces paran con\nicefrac{1}{n} < d(x,y) nosotros tenemosy \notin C(x,\nicefrac{1}{n}). Ademásx \notin K, asíK \subset \bigcup_{n=1}^\infty C(x,\nicefrac{1}{n})^c . como una bola cerrada está cerrada,C(x,\nicefrac{1}{n})^c está abierta, y así tenemos una cubierta abierta. Si tomamos alguna colección finita de índicesn_1 < n_2 < \ldots < n_k, entonces\bigcup_{j=1}^k C(x,\nicefrac{1}{n_j})^c = C(x,\nicefrac{1}{n_k})^c Asx está en el cierre, tenemosC(x,\nicefrac{1}{n_k}) \cap K \not= \emptyset, por lo que no hay una subcubierta finita y noK es compacta.

Demostramos a continuación que en el espacio euclidiano dimensional finito cada conjunto delimitado cerrado es compacto. Por lo tanto, los conjuntos delimitados cerrados de{\mathbb{R}}^n son ejemplos de conjuntos compactos. No es cierto que en cada espacio métrico, cerrado y acotado sea equivalente a compacto. Hay muchos espacios métricos donde cerrado y acotado no es suficiente para dar compacidad, ver por ejemplo.

Una propiedad útil de los conjuntos compactos en un espacio métrico es que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Tales conjuntos a veces se llaman secuencialmente compactos. Demostremos que en el contexto de los espacios métricos, un conjunto es compacto si y solo si es secuencialmente compacto.

[thm:mscompactisseqcpt] Dejar(X,d) ser un espacio métrico. EntoncesK \subset X es un conjunto compacto si y solo si cada secuencia enK tiene una subsecuencia que converge a un punto enK.

DejarK \subset X ser un conjunto y\{ x_n \} una secuencia enK. Supongamos que para cada unox \in K, hay una pelotaB(x,\alpha_x) para algunos\alpha_x > 0 tal quex_n \in B(x,\alpha_x) por sólo finitamente muchosn \in {\mathbb{N}}. EntoncesK \subset \bigcup_{x \in K} B(x,\alpha_x) . Cualquier colección finita de estas bolas va a contener sólo finitamente muchasx_n. Así para cualquier colección finita de tales bolas hay unax_n \in K que no está en la unión. Por lo tanto, noK es compacto.

Entonces siK es compacto, entonces existe unx \in K tal que para cualquiera\delta > 0,B(x,\delta) contienex_k para infinitamente muchosk \in {\mathbb{N}}. B(x,1)contiene algunosx_k así que vamosn_1 := k. Sin_{j-1} se define, entonces debe existirk > n_{j-1} tal quex_k \in B(x,\nicefrac{1}{j}), así definirn_j := k. Fíjese en esod(x,x_{n_j}) < \nicefrac{1}{j}. Por,\lim\, x_{n_j} = x.

Para la otra dirección, supongamos que cada secuencia enK tiene una subsecuencia que converge enK. Tome una cubierta abierta\{ U_\lambda \}_{\lambda \in I} deK. Para cadax \in K, definir\delta(x) := \sup \{ \delta \in (0,1) : B(x,\delta) \subset U_\lambda \text{ for some } \lambda \in I \} . As\{ U_\lambda \} es una cubierta abierta deK,\delta(x) > 0 para cada unox \in K. Por construcción, para cualquier positivo debe\epsilon < \delta(x) existir\lambda \in I tal queB(x,\epsilon) \subset U_\lambda.

Escoge un\lambda_0 \in I y miraU_{\lambda_0}. SiK \subset U_{\lambda_0}, nos detenemos ya que hemos encontrado una subcubierta finita. De lo contrario, debe haber un puntox_1 \in K \setminus U_{\lambda_0}. Debe existir alguna\lambda_1 \in I tal quex_1 \in U_{\lambda_1} y de hechoB\bigl(x_1,\frac{1}{2}\delta({x_1})\bigr) \subset U_{\lambda_1}. Trabajamos inductivamente. Supongamos que\lambda_{n-1} se define. OU_{\lambda_0} \cup U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}} es una cubierta finita deK, en cuyo caso nos detenemos, o debe haber un puntox_n \in K \setminus \bigl( U_{\lambda_1} \cup U_{\lambda_2} \cup \cdots \cup U_{\lambda_{n-1}}\bigr). En este caso, debe haber alguna\lambda_n \in I tal quex_n \in U_{\lambda_n}, y de hechoB\bigl(x_n,\tfrac{1}{2}\delta(x_n)\bigr) \subset U_{\lambda_n}.

Entonces, o obtuvimos una subcubierta finita o obtuvimos una secuencia infinita\{ x_n \} como la anterior. Por contradicción supongamos que no hubo subcobertura finita y tenemos la secuencia\{ x_n \}. Entonces hay una subsecuencia\{ x_{n_k} \} que converge, es decir,x = \lim \, x_{n_k} \in K. Tomamos\lambda \in I tal queB\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda. A medida que la subsecuencia converge, hayk tal qued(x_{n_k},x) < \frac{1}{8}\delta(x). Por la desigualdad triángulo,B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{8}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x,\frac{1}{2}\delta(x)\bigr) \subset U_\lambda. Entonces\frac{3}{8}\delta(x) < \delta({x_{n_k}}), lo que implicaB\bigl(x_{n_k},\tfrac{3}{16}\delta(x)\bigr) \subset B\bigl(x_{n_k},\tfrac{1}{2}\delta(x_{n_k})\bigr) \subset U_{\lambda_{n_k}}. As\nicefrac{1}{8} < \nicefrac{3}{16}, tenemosx \in B\bigl(x_{n_k},\frac{3}{16}\delta(x)\bigr), ox \in U_{\lambda_{n_k}}. Como\lim x_{n_j} = x, para todos lo suficientementej grandes tenemosx_{n_j} \in U_{\lambda_{n_k}} por. Arreglemos uno de esosj tales quej > k. Pero por construcciónx_{n_j} \notin U_{\lambda_{n_k}} sij > k, que es una contradicción.

Por el teorema de Bolzano-Weierstrass para secuencias () tenemos que cualquier secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente. Por lo tanto, cualquier secuencia en un intervalo cerrado[a,b] \subset {\mathbb{R}} tiene una subsecuencia convergente. El límite también debe estar en la[a,b] medida en que los límites preservan las desigualdades no estrictas. Por lo tanto, un intervalo delimitado cerrado[a,b] \subset {\mathbb{R}} es compacto.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico y dejarK \subset X ser compacto. Supongamos queE \subset K es un conjunto cerrado, entoncesE es compacto.

Dejar\{ x_n \} ser una secuencia enE. También es una secuencia enK. Por lo tanto, tiene una subsecuencia convergente\{ x_{n_j} \} que converge ax \in K. ComoE se cierra el límite de una secuencia en tambiénE está adentroE y asíx \in E. Por lo tanto,E debe ser compacto.

[thm:msbw] Un subconjunto delimitado cerradoK \subset {\mathbb{R}}^n es compacto.

Porque{\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1 siK \subset {\mathbb{R}} está cerrado y acotado, entonces cualquier secuencia\{ x_n \} enK está delimitada, por lo que tiene una subsecuencia convergente por el teorema de Bolzano-Weierstrass para las secuencias (). ComoK está cerrado, el límite de la subsecuencia debe ser un elemento deK. AsíK es compacto.

Llevemos a cabo la prueba paran=2 y dejemos arbitrarion como ejercicio.

ComoK está acotado, existe un conjuntoB=[a,b]\times[c,d] \subset {\mathbb{R}}^2 tal queK \subset B. Si podemos demostrar queB es compacto, entoncesK, al ser un subconjunto cerrado de un compactoB, también es compacto.

Dejar\{ (x_k,y_k) \}_{k=1}^\infty ser una secuencia enB. Es decir,a \leq x_k \leq b yc \leq y_k \leq d para todosk. Una secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente así que hay una subsecuencia\{ x_{k_j} \}_{j=1}^\infty que es convergente. La subsecuencia también\{ y_{k_j} \}_{j=1}^\infty es una secuencia acotada por lo que existe una subsecuencia\{ y_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty que es convergente. Una subsecuencia de una secuencia convergente sigue siendo convergente, así\{ x_{k_{j_i}} \}_{i=1}^\infty es convergente. Letx := \lim_{i\to\infty} x_{k_{j_i}} \qquad \text{and} \qquad y := \lim_{i\to\infty} y_{k_{j_i}} . By,\bigl\{ (x_{k_{j_i}},y_{k_{j_i}}) \bigr\}_{i=1}^\infty converge a(x,y) lo quei va a\infty. Además, comoa \leq x_k \leq b yc \leq y_k \leq d para todosk, eso lo sabemos(x,y) \in B.

Ejercicios

Dejar(X,d) ser un espacio métrico yA un subconjunto finito deX. Demostrar queA es compacto.

A = \{ \nicefrac{1}{n} : n \in {\mathbb{N}}\} \subset {\mathbb{R}}Dejar. a) Mostrar que noA es compacto directamente usando la definición. b) Mostrar queA \cup \{ 0 \} es compacto directamente usando la definición.

Dejar(X,d) ser un espacio métrico con el discreto métrico. a) Probar queX está completo. b) Probar queX es compacto si y solo siX es un conjunto finito.

a) Demostrar que la unión de finitamente muchos conjuntos compactos es un conjunto compacto. b) Encuentre un ejemplo donde la unión de infinitamente muchos conjuntos compactos no sea compacta.

Demostrar por dimensión arbitraria. Pista: El truco es usar la notación correcta.

Demuestre que un conjunto compactoK es un espacio métrico completo.

DejarC([a,b]) ser el espacio métrico como en. Mostrar queC([a,b]) es un espacio métrico completo.

[exercise:msclbounnotcompt] DejarC([0,1]) ser el espacio métrico de. Dejar0 denotar la función cero. Después demuestre que la bola cerrada noC(0,1) es compacta (aunque esté cerrada y acotada). Consejos: Construir una secuencia de distintas funciones continuas\{ f_n \} tales qued(f_n,0) = 1 yd(f_n,f_k) = 1 para todosn \not= k. Demuestre que el conjunto\{ f_n : n \in {\mathbb{N}}\} \subset C(0,1) está cerrado pero no compacto. Ver para inspirarse.

Demuestre que existe una métrica en{\mathbb{R}} que{\mathbb{R}} se convierte en un conjunto compacto.

Supongamos que(X,d) está completo y supongamos que tenemos una colección contablemente infinita de conjuntos compactos no vacíosE_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots luego probar\bigcap_{j=1}^\infty E_j \not= \emptyset.

DejarC([0,1]) ser el espacio métrico de. KSea el conjunto def \in C([0,1]) tal quef sea igual a un polinomio cuadrático, es decirf(x) = a+bx+cx^2, y tal que\left\lvert {f(x)} \right\rvert \leq 1 para todosx \in [0,1], es decirf \in C(0,1). Demostrar queK es compacto.

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