4.7: Más información sobre compacidad
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Otro enfoque útil de la compacidad se basa en la noción de una cobertura de un conjunto (ya encontrada en el Problema 10 en §6). Decimos que un conjunto\(F\) está cubierto por una familia de conjuntos\(G_{i}(i \in I)\) iff
\[F \subseteq \bigcup_{i \in I} G_{i}.\]
Si este es el caso,\(\left\{G_{i}\right\}\) se llama cobertura de\(F .\) Si los conjuntos\(G_{i}\) están abiertos, llamamos a la familia de conjuntos\(\left\{G_{i}\right\}\) una cobertura abierta. \(\left\{G_{i}\right\}\)Se dice que la cobertura es finita (infinita, contable, etc.) si el número de los conjuntos\(G_{i}\) es.
Si\(\left\{G_{i}\right\}\) es una cubierta abierta de\(F,\) entonces cada punto\(x \in F\) está en algunos\(G_{i}\) y es su punto interior\(\left(\text { for } G_{i} \text { is open }\right),\) por lo que hay un globo\(G_{x}\left(\varepsilon_{x}\right) \subseteq G_{i} .\) En general, los radios\(\varepsilon_{x}\) de estos globos dependen de\(x,\) i.e., son diferentes para diferentes puntos\(x \in F .\) Si, sin embargo, ellos se puede elegir todos iguales a algunos\(\varepsilon\), entonces esto\(\varepsilon\) se llama un número de Lebesgue para la cobertura\(\left\{G_{i}\right\}\) (así llamado así por Henri Lebesgue). Así\(\varepsilon\) es un número de Lebesgue iff para cada\(x \in F,\) el globo terráqueo\(G_{x}(\varepsilon)\) está contenido en algunos Ahora\(G_{i} .\) obtenemos el siguiente teorema.
(Lebesgue). Cada cubierta abierta\(\left\{G_{j}\right\}\) de un conjunto compacto secuencialmente\(F \subseteq(S, \rho)\) tiene al menos un número de Lebesgue\(\varepsilon .\) En símbolos,
\[(\exists \varepsilon>0)(\forall x \in F)(\exists i) \quad G_{x}(\varepsilon) \subseteq G_{i}.\]
- Prueba
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Buscando una contradicción, asumir que\((1)\) falla, es decir, su negación se sostiene. Como se explicó en el Capítulo 1, §§1-3, esta negación es
\[(\forall \varepsilon>0)\left(\exists x_{\varepsilon} \in F\right)(\forall i) \quad G_{x_{\varepsilon}}(\varepsilon) \nsubseteq G_{i}\]
(donde escribimos\(x_{\varepsilon}\) para\(x\) ya que aquí\(x\) puede depender de\(\varepsilon ) .\) Como esto se supone que tiene que aguantar para todo\(\varepsilon>0,\) lo que tomamos sucesivamente
\[\varepsilon=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \dots\]
Luego,\(" x_{\varepsilon} "\) reemplazando\(" x_{n} "\) por conveniencia, obtenemos
\[(\forall n)\left(\exists x_{n} \in F\right)(\forall i) \quad G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right) \nsubseteq G_{i}.\]
Así para cada uno\(n,\) hay algunos\(x_{n} \in F\) tales que el globo no\(G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right)\) está contenido en ninguna\(G_{i} .\) Fijamos tal\(x_{n} \in F\) para cada uno obteniendo\(n,\) así una secuencia\(\left\{x_{n}\right\} \subseteq F .\) As\(F\) es compacta (por suposición), esta secuencia agrupa en algunos\(p \in F .\)
El punto\(p,\) estar en\(F,\) debe estar en algunos\(G_{i}(\text { call it } G),\) junto con algún globo\(G_{p}(r) \subseteq G .\) Como\(p\) es un punto de cúmulo, incluso el globo más pequeño\(G_{p}\left(\frac{r}{2}\right)\) contiene infinitamente muchos\(x_{n} .\) Así podemos elegir\(n\) tan grande que\(\frac{1}{n}<\frac{r}{2}\) y\(x_{n} \in G_{p}\left(\frac{r}{2}\right)\). Por eso\(n, G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right) \subseteq G_{p}(r)\) porque
\[\left(\forall x \in G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right)\right) \quad \rho(x, p) \leq \rho\left(x, x_{n}\right)+\rho\left(x_{n}, p\right)<\frac{1}{n}+\frac{r}{2}<\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r.\]
Como\(G_{p}(r) \subseteq G\) (por construcción), ciertamente tenemos
\[G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right) \subseteq G_{p}(r) \subseteq G.\]
No obstante, esto es imposible ya que por\((2)\) ningún\(G_{x_{n}}\left(\frac{1}{n}\right)\) está contenido en ninguna\(G_{i} .\) Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)
Nuestro siguiente teorema podría servir como una definición alternativa de compacidad. De hecho, en la topología (que estudia más generales que los espacios métricos), esta\(i s\) es la definición básica de compacidad. Generaliza el Problema 10 en §6.
(teorema generalizado de Heine-Borel). Un conjunto\(F \subseteq(S, \rho)\) es compacto si cada cubierta abierta\(F\) tiene una subcubierta finita.
Es decir, siempre que\(F\) esté cubierto por una familia de conjuntos abiertos también\(G_{i}(i \in I), F\) puede ser cubierto por un número finito de estos\(G_{i}\).
- Prueba
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Dejar\(F\) ser secuencialmente compacto, y dejar que\(F \subseteq \cup G_{i},\) todos se\(G_{i}\) abran. Tenemos que demostrar que se\(\left\{G_{i}\right\}\) reduce a una subcobertura finita.
Por Teorema\(1,\left\{G_{i}\right\}\) tiene un número de Lebesgue\(\varepsilon\) satisfactorio\((1) .\) Arreglamos esto\(\varepsilon>0 .\) Ahora por la Nota 1 en §6, podemos cubrir\(F\) por un número finito de\(\varepsilon\) -globos,
\[F \subseteq \bigcup_{k=1}^{n} G_{x_{k}}(\varepsilon), \quad x_{k} \in F.\]
También por\((1),\) cada uno\(G_{x_{k}}(\varepsilon)\) está contenido en algunos lo\(G_{i} ;\) llaman\(G_{i_{k}} .\) Con el\(G_{i_{k}}\) tan fijo, tenemos
\[F \subseteq \bigcup_{k=1}^{n} G_{x_{k}}(\varepsilon) \subseteq \bigcup_{k=1}^{n} G_{i_{k}}.\]
Así los conjuntos\(G_{i_{k}}\) constituyen la subcobertura finita deseada, y se prueba el “único si' en el teorema.
Por el contrario, asumir la condición señalada en el teorema. Tenemos que demostrar que\(F\) es secuencialmente compacto, es decir, que cada secuencia se\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq F\) agrupa en alguna\(p \in F .\)
Buscando una contradicción, supongamos que\(F\) contiene puntos de\(n o\) cúmulo de\(\left\{x_{m}\right\} .\) Entonces por definición, cada punto\(x \in F\) está en algún globo\(G_{x}\) que contiene a lo sumo finitamente muchos\(x_{m} .\) El conjunto\(F\) está cubierto por estos globos abiertos, de ahí también por finitamente muchos de ellos (por nuestro suposición). Entonces, sin embargo,\(F\) contiene a lo sumo finitamente muchos\(x_{m}\) (es decir, los contenidos en los globos así seleccionados), mientras que la secuencia\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq F\) se asumió infinita. Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)