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# 4.6.E: Problemas en Conjuntos Compactos

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completa los detalles faltantes en la prueba del Teorema 5.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verifique que cualquier conjunto infinito en un espacio discreto esté cerrado y acotado pero no compacto.
[Pista: En tal espacio no hay secuencia de términos distintos clústeres.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que no$$E^{n}$$ es compacto, de tres maneras:
$$\left.\text { (i) from definitions (as in Example }\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)\right)$$;
(ii) del Teorema$$4 ;$$ y
(iii) del Teorema 5, encontrando en$$E^{n}$$ una secuencia de contracciones infinitas de conjuntos
cerrados con una intersección vacía. Por ejemplo, en$$E^{1}$$ tomar los conjuntos
cerrados$$F_{m}=[m,+\infty), m=1,2, \ldots(\text { Are they closed?) }$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Mostrar que$$E^{*}$$ es compacto bajo la métrica$$\rho^{\prime}$$ definida en Problemas 5 y 6 en el Capítulo 3, §11. ¿$$E^{1}$$Un conjunto compacto está bajo esa métrica?
[Pista: Para la primera parte, use el Teorema 2 del Capítulo 2, §13, señalando que también$$G_{q}$$ es un$$\left.\text { globe under } \rho^{\prime} . \text { For the second, consider the sequence } x_{n}=n .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Mostrar que un conjunto$$A \subseteq(S, \rho)$$ es compacto si cada subconjunto infinito$$B \subseteq A$$ tiene un punto de clúster$$p \in A .$$
[Pista: Seleccione de$$B$$ una secuencia$$\left\{x_{m}\right\}$$ de términos distintos. Entonces los puntos de cúmulo de$$\left\{x_{m}\right\}$$ son también los de$$B .$$ (¿Por qué?)]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar lo siguiente.
(i) Si$$A$$ y$$B$$ son compactos, así es$$A \cup B,$$ y de manera similar para uniones de$$n$$ conjuntos.
(ii) Si los conjuntos$$A_{i}(i \in I)$$ son compactos, así es$$\bigcap_{i \in I} A_{i},$$ incluso si$$I$$ es infinito.
Desmentir (i) por uniones de infinitamente muchos conjuntos por un contraejemplo.
$$\text { [ Hint: For (ii), verify first that } \bigcap_{i \in I} A_{i} \text { is sequentially closed. Then use Theorem } 1 . ]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si$$x_{m} \rightarrow p$$ en$$(S, \rho),$$ entonces el conjunto
\ [
B=\ left\ {p, x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {m},\ ldots\ right\}
\]
es compacto.
[Pista: Si$$B$$ es finito, consulte Ejemplo (b). Si no, use Problema$$5,$$ señalando que cualquier infinito$$\left.\text { subset of } B \text { defines a subsequence } x_{m_{k}} \rightarrow p, \text { so it clusters at } p .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar, independientemente, el principio de intervalos anidados en$$E^{n},$$ i.e., Teorema 5 con
\ [
F_ {m} =\ izquierda [\ overline {a} _ {m},\ overline {b} _ {m}\ derecha]\ subseteq E^ {n},

\]
donde
\ [\ overline {a} _ {m} =\ izquierda (a_ {m 1},\ ldots, _ {m n}\ derecha)\ texto {y}\ overline {b} _ {m} =\ izquierda (b_ {m 1},\ ldots, b_ {m n}\ derecha).
\]
Fijación$$k,$$ dejó$$A_{k}$$ ser el conjunto de todos los$$a_{m k}, m=1,2, \ldots .$$ Show que$$A_{k}$$ está delimitado arriba por cada uno$$b_{m k},$$ así que vamos$$p_{k}=\sup A_{k}$$ a entrar$$E^{1} .$$ Entonces
\ [
(\ forall m)\ quad a_ {m k}\ leq p_ {k}\ leq b_ {m k}. \ text {(¿Por qué?) }
\]
Desfijando$$k,$$ obtener tales desigualdades para$$k=1,2, \ldots, n .$$ Let$$\overline{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right) .$$ Then
\ [
(\ forall m)\ quad\ overline {p}\ in\ left [\ overline {a} _ {m},\ overline {b} _ {m}\ right],\ text {i.e.,}\ overline {p}\ in\ bigcap F_ {m},\ text {como sea necesario.}
\]
Tenga en cuenta que el teorema falla para intervalos no cerrados, incluso en,$$E^{1} ;$$ por ejemplo, tomar$$F_{m}=$$$$(0,1 / m]$$ y mostrar que$$\bigcap_{m} F_{m}=\emptyset .$$]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

De Problema$$8,$$ obtener una nueva prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass.
$$\left[\text { Hint: Let }\left\{\overline{x}_{m}\right\} \in[\overline{a}, \overline{b}] \subseteq E^{n} ; \text { put } F_{0}=[\overline{a}, \overline{b}] \text { and set }\right.$$
\ [
d F_ {0} =\ rho (\ overline {a},\ overline {b}) =d\ quad\ left (\ text {diagonal de} F_ {0}\ derecha).
\]
Bisectando los bordes de$$F_{0},$$$$F_{0}$$ subdivide en$$2^{n}$$ intervalos de diagonal$$d / 2 ;$$ uno de ellos debe contener infinitamente muchos$$x_{m} .$$ (¿Por qué?) Dejar$$F_{1}$$ ser uno de esos inter val; hacerlo cerrado y subdividirlo en$$2^{n}$$ subintervalos de diagonal$$d / 2^{2} .$$ Uno de ellos,$$F_{2},$$ contiene infinitamente muchos$$x_{m} ;$$ hacen que se cierre, etc.
así obtener una secuencia de contractura de intervalos cerrados$$F_{m}$$ con
\ [
d F_ {m} =\ frac {d} {2^ {m}},\ quad m=1,2,\ ldots
\]
De Problem$$8,$$ get
\ [
\ overline {p}\ in\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty} F_ {m}.
\]
$$\left.\text { Show that }\left\{\overline{x}_{m}\right\} \text { clusters at } \overline{p} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\Rightarrow 10 .$$Demostrar el teorema de Heine-Borel: Si un intervalo cerrado$$F_{0} \subset E^{n}$$ está cubierto por una familia de conjuntos abiertos$$G_{i}(i \in I),$$ es decir,
\ [
F_ {0}\ subseteq\ bigcup_ {i\ in I} G_ {i},
\]
entonces siempre puede ser cubierto por un número finito de estos$$G_{i}$$.
[Esquema de prueba: Que$$d F_{0}=d .$$ Buscando una contradicción, supongamos que$$F_{0}$$ no puede ser cubierto por ningún número finito de la$$G_{i}$$.
Como en Problema$$9,$$$$F_{0}$$ subdividir en$$2^{n}$$ intervalos de diagonal$$d / 2 . A t$$ al menos uno de ellos no puede ser cubierto por finitamente muchos$$G_{i} .$$ (¿Por qué?) Elige uno de esos intervalos, hazlo cerrado, llámalo$$F_{1},$$ y subdividirlo en$$2^{n}$$ subintervalos de diagonal$$d / 2^{2}$$. Uno de estos,$$F_{2},$$ no puede ser cubierto por finitamente muchos$$G_{i} ;$$ hacen que se cierre y repita el proceso indefinidamente.
Así se obtiene una secuencia de contratación de intervalos cerrados$$F_{m}$$ con
\ [
d F_ {m} =\ frac {d} {2^ {m}},\ quad m=1,2,\ ldots
\]
$$\text { From Problem } 8 \text { (or Theorem } 5),$$ get$$\overline{p} \in \bigcap F_{m}$$.
Como$$\overline{p} \in F_{0}, \overline{p}$$ está en uno de los$$G_{i} ;$$ llamarlo$$G .$$ As$$G$$ está abierto,$$\overline{p}$$ es su punto interior, así que vamos$$G \supseteq G_{\overline{p}}(\varepsilon) .$$ Ahora tome$$m$$ tan grande eso$$d / 2^{m}=d F_{m}<\varepsilon$$. Mostrar que entonces
\ [
F_ {m}\ subseteq G_ {\ overline {p}} (\ varepsilon)\ subseteq G.
\]
$$\left.\text { Thus (contrary to our choice of the } F_{m}\right) F_{m}$$ está cubierto por un solo conjunto$$G_{i} .$$ Esta contradicción completa la prueba.]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que si$$\left\{x_{m}\right\} \subseteq A \subseteq(S, \rho)$$ y$$A$$ es compacto, entonces$$\left\{x_{m}\right\}$$ converge si tiene un solo punto de clúster.
[Pista: Proceder como en el Problema 12 del Capítulo 3, §16.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que si$$\emptyset \neq A \subseteq(S, \rho)$$ y$$A$$ es compacto, hay dos puntos$$p, q \in A$$ tales que$$d A=\rho(p, q) .$$
$$\text { [Hint: As } A \text { is bounded (Theorem } 3), d A<+\infty .$$ Por las propiedades de suprema,
\ [
(\ forall n)\ left (\ existe x_ {n}, y_ {n}\ in A\ right)\ quad d A-\ frac {1} {n} <\ rho\ left (x_ {n}, y_ {n}\ right)\ leq d A . \ quad\ text {(¡Explica!) }
\]
Por compacidad,$$\left\{x_{n}\right\}$$ tiene una subsecuencia$$x_{n_{k}} \rightarrow p \in A .$$ Por brevedad, put,$$y_{k}^{\prime}=y_{n_{k}} .$$ Nuevamente$$x_{k}^{\prime}=x_{n_{k}}$$,$$\left\{y_{k}^{\prime}\right\}$$ tiene una subsecuencia$$y_{k_{m}}^{\prime} \rightarrow q \in A .$$ También,
\ [
d A-\ frac {1} {n_ {k_ {m}}} <\ rho\ left (x_ {k_ {m}} ^ {\ prime}, y_ {k_ {m}} ^ {\ prime}\ derecha) \ leq d A.
\]
Pasando al límite$$(\text { as } m \rightarrow+\infty),$$ obtener
\ [
d A\ leq\ rho (p, q)\ leq d A
\]
por el Teorema 4 en el Capítulo 3, §15.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Dados conjuntos no vacíos$$A, B \subseteq(S, \rho),$$ definen
\ [
\ rho (A, B) =\ inf\ {\ rho (x, y) | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si$$A$$ y$$B$$ son compactos y no vacíos, hay$$p \in A$$ y$$q \in B$$ tales que$$\rho(p, q)=\rho(A, B) .$$ dan un ejemplo para demostrar que esto$$\left.\text { may fail if } A \text { and } B \text { are not compact (even if they are closed in } E^{1}\right)$$.
[Pista: Para la primera parte, proceda como en el Problema 12.]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Demuestra que cada conjunto compacto está completo. Desmentir lo contrario con ejemplos.

4.6.E: Problemas en Conjuntos Compactos is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.