4.6.E: Problemas en Conjuntos Compactos

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completa los detalles faltantes en la prueba del Teorema 5.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Verifique que cualquier conjunto infinito en un espacio discreto esté cerrado y acotado pero no compacto.
[Pista: En tal espacio no hay secuencia de términos distintos clústeres.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que no\(E^{n}\) es compacto, de tres maneras:
\(\left.\text { (i) from definitions (as in Example }\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)\right)\);
(ii) del Teorema\(4 ;\) y
(iii) del Teorema 5, encontrando en\(E^{n}\) una secuencia de contracciones infinitas de conjuntos
cerrados con una intersección vacía. Por ejemplo, en\(E^{1}\) tomar los conjuntos
cerrados\(F_{m}=[m,+\infty), m=1,2, \ldots(\text { Are they closed?) }\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Mostrar que\(E^{*}\) es compacto bajo la métrica\(\rho^{\prime}\) definida en Problemas 5 y 6 en el Capítulo 3, §11. ¿\(E^{1}\)Un conjunto compacto está bajo esa métrica?
[Pista: Para la primera parte, use el Teorema 2 del Capítulo 2, §13, señalando que también\(G_{q}\) es un\(\left.\text { globe under } \rho^{\prime} . \text { For the second, consider the sequence } x_{n}=n .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Mostrar que un conjunto\(A \subseteq(S, \rho)\) es compacto si cada subconjunto infinito\(B \subseteq A\) tiene un punto de clúster\(p \in A .\)
[Pista: Seleccione de\(B\) una secuencia\(\left\{x_{m}\right\}\) de términos distintos. Entonces los puntos de cúmulo de\(\left\{x_{m}\right\}\) son también los de\(B .\) (¿Por qué?)]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar lo siguiente.
(i) Si\(A\) y\(B\) son compactos, así es\(A \cup B,\) y de manera similar para uniones de\(n\) conjuntos.
(ii) Si los conjuntos\(A_{i}(i \in I)\) son compactos, así es\(\bigcap_{i \in I} A_{i},\) incluso si\(I\) es infinito.
Desmentir (i) por uniones de infinitamente muchos conjuntos por un contraejemplo.
\( \text { [ Hint: For (ii), verify first that } \bigcap_{i \in I} A_{i} \text { is sequentially closed. Then use Theorem } 1 . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que si\(x_{m} \rightarrow p\) en\((S, \rho),\) entonces el conjunto
\ [
B=\ left\ {p, x_ {1}, x_ {2},\ ldots, x_ {m},\ ldots\ right\}
\]
es compacto.
[Pista: Si\(B\) es finito, consulte Ejemplo (b). Si no, use Problema\(5,\) señalando que cualquier infinito\(\left.\text { subset of } B \text { defines a subsequence } x_{m_{k}} \rightarrow p, \text { so it clusters at } p .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar, independientemente, el principio de intervalos anidados en\(E^{n},\) i.e., Teorema 5 con
\ [
F_ {m} =\ izquierda [\ overline {a} _ {m},\ overline {b} _ {m}\ derecha]\ subseteq E^ {n},

\]
donde
\ [\ overline {a} _ {m} =\ izquierda (a_ {m 1},\ ldots, _ {m n}\ derecha)\ texto {y}\ overline {b} _ {m} =\ izquierda (b_ {m 1},\ ldots, b_ {m n}\ derecha).
\]
Fijación\(k,\) dejó\(A_{k}\) ser el conjunto de todos los\(a_{m k}, m=1,2, \ldots .\) Show que\(A_{k}\) está delimitado arriba por cada uno\(b_{m k},\) así que vamos\(p_{k}=\sup A_{k}\) a entrar\(E^{1} .\) Entonces
\ [
(\ forall m)\ quad a_ {m k}\ leq p_ {k}\ leq b_ {m k}. \ text {(¿Por qué?) }
\]
Desfijando\(k,\) obtener tales desigualdades para\(k=1,2, \ldots, n .\) Let\(\overline{p}=\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right) .\) Then
\ [
(\ forall m)\ quad\ overline {p}\ in\ left [\ overline {a} _ {m},\ overline {b} _ {m}\ right],\ text {i.e.,}\ overline {p}\ in\ bigcap F_ {m},\ text {como sea necesario.}
\]
Tenga en cuenta que el teorema falla para intervalos no cerrados, incluso en,\(E^{1} ;\) por ejemplo, tomar\(F_{m}=\)\((0,1 / m]\) y mostrar que\(\bigcap_{m} F_{m}=\emptyset .\)]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

De Problema\(8,\) obtener una nueva prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass.
\(\left[\text { Hint: Let }\left\{\overline{x}_{m}\right\} \in[\overline{a}, \overline{b}] \subseteq E^{n} ; \text { put } F_{0}=[\overline{a}, \overline{b}] \text { and set }\right.\)
\ [
d F_ {0} =\ rho (\ overline {a},\ overline {b}) =d\ quad\ left (\ text {diagonal de} F_ {0}\ derecha).
\]
Bisectando los bordes de\(F_{0},\)\(F_{0}\) subdivide en\(2^{n}\) intervalos de diagonal\(d / 2 ;\) uno de ellos debe contener infinitamente muchos\(x_{m} .\) (¿Por qué?) Dejar\(F_{1}\) ser uno de esos inter val; hacerlo cerrado y subdividirlo en\(2^{n}\) subintervalos de diagonal\(d / 2^{2} .\) Uno de ellos,\(F_{2},\) contiene infinitamente muchos\(x_{m} ;\) hacen que se cierre, etc.
así obtener una secuencia de contractura de intervalos cerrados\(F_{m}\) con
\ [
d F_ {m} =\ frac {d} {2^ {m}},\ quad m=1,2,\ ldots
\]
De Problem\(8,\) get
\ [
\ overline {p}\ in\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty} F_ {m}.
\]
\(\left.\text { Show that }\left\{\overline{x}_{m}\right\} \text { clusters at } \overline{p} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\Rightarrow 10 .\)Demostrar el teorema de Heine-Borel: Si un intervalo cerrado\(F_{0} \subset E^{n}\) está cubierto por una familia de conjuntos abiertos\(G_{i}(i \in I),\) es decir,
\ [
F_ {0}\ subseteq\ bigcup_ {i\ in I} G_ {i},
\]
entonces siempre puede ser cubierto por un número finito de estos\(G_{i}\).
[Esquema de prueba: Que\(d F_{0}=d .\) Buscando una contradicción, supongamos que\(F_{0}\) no puede ser cubierto por ningún número finito de la\(G_{i}\).
Como en Problema\(9,\)\(F_{0}\) subdividir en\(2^{n}\) intervalos de diagonal\(d / 2 . A t\) al menos uno de ellos no puede ser cubierto por finitamente muchos\(G_{i} .\) (¿Por qué?) Elige uno de esos intervalos, hazlo cerrado, llámalo\(F_{1},\) y subdividirlo en\(2^{n}\) subintervalos de diagonal\(d / 2^{2}\). Uno de estos,\(F_{2},\) no puede ser cubierto por finitamente muchos\(G_{i} ;\) hacen que se cierre y repita el proceso indefinidamente.
Así se obtiene una secuencia de contratación de intervalos cerrados\(F_{m}\) con
\ [
d F_ {m} =\ frac {d} {2^ {m}},\ quad m=1,2,\ ldots
\]
\(\text { From Problem } 8 \text { (or Theorem } 5),\) get\(\overline{p} \in \bigcap F_{m}\).
Como\(\overline{p} \in F_{0}, \overline{p}\) está en uno de los\(G_{i} ;\) llamarlo\(G .\) As\(G\) está abierto,\(\overline{p}\) es su punto interior, así que vamos\(G \supseteq G_{\overline{p}}(\varepsilon) .\) Ahora tome\(m\) tan grande eso\(d / 2^{m}=d F_{m}<\varepsilon\). Mostrar que entonces
\ [
F_ {m}\ subseteq G_ {\ overline {p}} (\ varepsilon)\ subseteq G.
\]
\(\left.\text { Thus (contrary to our choice of the } F_{m}\right) F_{m}\) está cubierto por un solo conjunto\(G_{i} .\) Esta contradicción completa la prueba.]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que si\(\left\{x_{m}\right\} \subseteq A \subseteq(S, \rho)\) y\(A\) es compacto, entonces\(\left\{x_{m}\right\}\) converge si tiene un solo punto de clúster.
[Pista: Proceder como en el Problema 12 del Capítulo 3, §16.]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Demostrar que si\(\emptyset \neq A \subseteq(S, \rho)\) y\(A\) es compacto, hay dos puntos\(p, q \in A\) tales que\(d A=\rho(p, q) .\)
\(\text { [Hint: As } A \text { is bounded (Theorem } 3), d A<+\infty .\) Por las propiedades de suprema,
\ [
(\ forall n)\ left (\ existe x_ {n}, y_ {n}\ in A\ right)\ quad d A-\ frac {1} {n} <\ rho\ left (x_ {n}, y_ {n}\ right)\ leq d A . \ quad\ text {(¡Explica!) }
\]
Por compacidad,\(\left\{x_{n}\right\}\) tiene una subsecuencia\(x_{n_{k}} \rightarrow p \in A .\) Por brevedad, put,\(y_{k}^{\prime}=y_{n_{k}} .\) Nuevamente\(x_{k}^{\prime}=x_{n_{k}}\),\(\left\{y_{k}^{\prime}\right\}\) tiene una subsecuencia\(y_{k_{m}}^{\prime} \rightarrow q \in A .\) También,
\ [
d A-\ frac {1} {n_ {k_ {m}}} <\ rho\ left (x_ {k_ {m}} ^ {\ prime}, y_ {k_ {m}} ^ {\ prime}\ derecha) \ leq d A.
\]
Pasando al límite\((\text { as } m \rightarrow+\infty),\) obtener
\ [
d A\ leq\ rho (p, q)\ leq d A
\]
por el Teorema 4 en el Capítulo 3, §15.]

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Dados conjuntos no vacíos\(A, B \subseteq(S, \rho),\) definen
\ [
\ rho (A, B) =\ inf\ {\ rho (x, y) | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si\(A\) y\(B\) son compactos y no vacíos, hay\(p \in A\) y\(q \in B\) tales que\(\rho(p, q)=\rho(A, B) .\) dan un ejemplo para demostrar que esto\(\left.\text { may fail if } A \text { and } B \text { are not compact (even if they are closed in } E^{1}\right)\).
[Pista: Para la primera parte, proceda como en el Problema 12.]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demuestra que cada conjunto compacto está completo. Desmentir lo contrario con ejemplos.