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# 5.6: Diferenciales. El teorema de Taylor y la serie de Taylor

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Recordemos (Teorema 2 de §1) que una función$$f$$ es diferenciable en$$p$$ iff

$\Delta f=f^{\prime}(p) \Delta x+\delta(x) \Delta x,$

con$$\lim _{x \rightarrow p} \delta(x)=\delta(p)=0.$$ Se acostumbra escribir$$df$$ para$$f^{\prime}(p) \Delta x$$ y$$o(\Delta x)$$ para$$\delta(x) \Delta x; df$$ se llama el diferencial de$$f$$ (at$$p$$ y$$x$$). Por lo tanto

$\Delta f=d f+o(\Delta x);$

es decir,$$df$$ se$$\Delta f$$ aproxima al interior$$o(\Delta x)$$.

De manera más general, dada cualquier función$$f : E^{1} \rightarrow E$$ y$$p, x \in E^{1},$$ definimos

$d^{n} f=d^{n} f(p, x)=f^{(n)}(p)(x-p)^{n}, \quad n=0,1,2, \ldots,$

donde$$f^{(n)}$$ es la función derivada$$n$$ th (Definición 2 en §1);$$d^{n} f$$ se llama el enésimo diferencial, o diferencial de orden n, de$$f$$ (at$$p$$ y$$x$$). En particular,$$d^{1} f=f^{\prime}(p) \Delta x=d f.$$ Por nuestras convenciones, siempre$$d^{n} f$$ se define, como es$$f^{(n)}$$.

Como veremos, a menudo se pueden obtener buenas aproximaciones de$$\Delta f$$ (sugeridas por Taylor) usando diferenciales más altos (1), de la siguiente manera:

$\Delta f=d f+\frac{d^{2} f}{2 !}+\frac{d^{3} f}{3 !}+\cdots+\frac{d^{n} f}{n !}+R_{n}, \quad n=1,2,3, \ldots,$

donde

$R_{n}=\Delta f-\sum_{k=1}^{n} \frac{d^{k} f}{k !} \quad \text {(the "remainder term")}$

es el error de la aproximación. Sustituyendo los valores de$$\Delta f$$$$d^{k} f$$ y y transposición$$f(p),$$ tenemos

$f(x)=f(p)+\frac{f^{\prime}(p)}{1 !}(x-p)+\frac{f^{\prime \prime}(p)}{2 !}(x-p)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n}+R_{n}.$

La fórmula (3) se conoce como la enésima expansión de Taylor de$$f$$ aproximadamente$$p$$ (con término$$R_{n}$$ de resto por estimar). Por lo general$$p$$, tratamos como fijos y$$x$$ como variables. Escribiendo$$R_{n}(x)$$$$R_{n}$$ y configurando

$P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(p)}{k !}(x-p)^{k},$

tenemos

$f(x)=P_{n}(x)+R_{n}(x).$

La función$$P_{n} : E^{1} \rightarrow E$$ así definida se llama el enésimo polinomio Taylor para$$f$$ aproximadamente$$p.$$ Así (3) produce aproximaciones de$$f$$ por polinomios$$P_{n}, n=1,2,3, \ldots.$$ Esta es una forma de interpretarla. El otro (fácil de recordar) uno es (2), lo que da aproximaciones de$$\Delta f$$ por el$$d^{k} f.$$ Queda, sin embargo, para encontrar una buena estimación para$$R_{n}.$$ Lo hacemos a continuación.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (taylor)

Deje que la función$$f : E^{1} \rightarrow E$$ y sus primeras n funciones derivadas sean relativamente continuas y finitas en un intervalo I y diferenciables en$$I-Q$$ (Q contable). Deje que las fórmulas (2) y (3)$$p, x \in I.$$ se mantengan, con

$R_{n}=\frac{1}{n !} \int_{p}^{x} f^{(n+1)}(t) \cdot(x-t)^{n} d t \quad\left(\text {"integral form of } R_{n} \text{"}\right)$

y

$\left|R_{n}\right| \leq M_{n} \frac{|x-p|^{n+1}}{(n+1) !} \text { for some real } M_{n} \leq \sup _{t \in I-Q}\left|f^{(n+1)}(t)\right|.$

Prueba

Por definición,$$R_{n}=f-P_{n},$$ o

$R_{n}=f(x)-f(p)-\sum_{k=1}^{n} f^{(k)}(p) \frac{(x-p)^{k}}{k !}.$

Usamos el lado derecho como un “patrón” para definir una función$$h : E^{1} \rightarrow E.$$ Esta vez, nos mantenemos$$x$$ fijos$$(\text { say }, x=a \in I)$$ y reemplazamos$$p$$ por una variable$$t.$$ Así establecemos

$h(t)=f(a)-f(t)-\frac{f^{\prime}(t)}{1 !}(a-t)-\cdots-\frac{f^{(n)}(t)}{n !}(a-t)^{n} \text { for all } t \in E^{1}.$

Entonces$$h(p)=R_{n}$$ y$$h(a)=0.$$ Nuestras suposiciones implican que$$h$$ es relativamente continuo y finito$$I,$$ y diferenciable en$$I-Q.$$ Diferenciar (4), vemos que todo cancela excepto por un término

$h^{\prime}(t)=-f^{(n+1)}(t) \frac{(a-t)^{n}}{n !}, \quad t \in I-Q. \quad \text {(Verify!)}$

De ahí que por las Definiciones 1 y 2 de §5

$-h(t)=\frac{1}{n !} \int_{t}^{a} f^{(n+1)}(s)(a-s)^{n} d s \quad \text { on } I$

y

$\frac{1}{n !} \int_{p}^{a} f^{(n+1)}(t)(a-t)^{n} d t=-h(a)+h(p)=0+R_{n}=R_{n} \quad\left(\text {for } h(p)=R_{n}\right).$

Como se demuestra$$x=a,$$ (3').

A continuación, vamos

$M=\sup _{t \in I-Q}\left|f^{(n+1)}(t)\right|.$

Si$$M<+\infty,$$ define

$g(t)=M \frac{(t-a)^{n+1}}{(n+1) !} \text { for } t \geq a \text { and } g(t)=-M \frac{(a-t)^{n+1}}{(n+1) !} \text { for } t \leq a.$

En ambos casos,

$g^{\prime}(t)=M \frac{|a-t|^{n}}{n !} \geq\left|h^{\prime}(t)\right| \text { on } I-Q \text { by (5).}$

De ahí, aplicando el Teorema 1 en §4 a las funciones$$h$$ y$$g$$ en el intervalo$$[a, p]$$ (o$$[p, a]),$$ obtenemos

$|h(p)-h(a)| \leq|g(p)-g(a)|,$

o

$\left|R_{n}-0\right| \leq M \frac{|a-p|^{n+1}}{(n+1) !}.$

Así sigue (3"), con$$M_{n}=M$$.

Por último, si$$M=+\infty,$$ ponemos

$M_{n}=\left|R_{n}\right| \frac{(n+1) !}{|a-p|^{n+1}}<M. \quad \square$

Para funciones reales, obtenemos algunas estimaciones adicionales de$$R_{n}$$.

## Teorema$$\PageIndex{1'}$$

Si$$f$$ es real y los$$n+1$$ tiempos diferenciales encendido$$I$$, entonces$$p \neq x$$$$(p, x \in I),$$ porque hay$$q_{n}, q_{n}^{\prime}$$ en el intervalo$$(p, x)$$ (respectivamente,$$(x, p) )$$ tal que

$R_{n}=\frac{f^{(n+1)}\left(q_{n}\right)}{(n+1) !}(x-p)^{n+1}$

y

$R_{n}=\frac{f^{(n+1)}\left(q_{n}^{\prime}\right)}{n !}(x-p)\left(x-q_{n}^{\prime}\right)^{n}.$

(Las fórmulas (5') y (5") se conocen como las formas Lagrange y Cauchy de$$R_{n},$$ respectivamente.)

Prueba

Exactamente como en la prueba del Teorema 1, obtenemos la función$$h$$ y fórmula (5). Por nuestros supuestos actuales,$$h$$ es diferenciable (por lo tanto continuo) en$$I,$$ lo que podemos aplicarlo la ley de Cauchy de la media (Teorema 2 de §2) en el intervalo$$[a, p]$$ (o$$[p, a]$$ si$$p<a ),$$ donde$$a=x \in I$$.

Para ello, nos asociaremos$$h$$ con otra función adecuada$$g$$ (que se especificará más adelante). Entonces por el Teorema 2 de §2, hay un real$$q \in(a, p)$$ (respectivamente,$$q \in(p, a))$$ tal que

$g^{\prime}(q)[h(a)-h(p)]=h^{\prime}(q)[g(a)-g(p)].$

Aquí por la prueba anterior,$$h(a)=0, h(p)=R_{n},$$ y

$h^{\prime}(q)=-\frac{f^{(n+1)}}{n !}(a-q)^{n}.$

Por lo tanto

$g^{\prime}(q) \cdot R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(q)}{n !}(a-q)^{n}[g(a)-g(p)].$

Ahora define$$g$$ por

$g(t)=a-t, \quad t \in E^{1}.$

Entonces

$g(a)-g(p)=-(a-p) \text { and } g^{\prime}(q)=-1,$

entonces (6) rinde (5") (con$$q_{n}^{\prime}=q$$ y$$a=x)$$.

Del mismo modo, el ajuste$$g(t)=(a-t)^{n+1},$$ obtenemos (5'). (¡Verifica!) Así todo está probado. $$\quad \square$$

Nota 1. En (5') y (5"), los números$$q_{n}$$ y$$q_{n}^{\prime}$$ dependen$$n$$ y son diferentes en general$$\left(q_{n} \neq q_{n}^{\prime}\right),$$ ya que dependen de la elección de la función$$g$$. Ya que están entre$$p$$ y$$x,$$ pueden escribirse como

$q_{n}=p+\theta_{n}(x-p) \text { and } q_{n}^{\prime}=p+\theta_{n}^{\prime}(x-p),$

dónde$$0<\theta_{n}<1$$ y$$0<\theta_{n}^{\prime}<1.$$ (¡Explique!)

Nota 2. Para cualquier función$$f : E^{1} \rightarrow E,$$ los polinomios de Taylor$$P_{n}$$ son sumas parciales de una serie power, llamada la serie Taylor para$$f$$ (acerca de$$p).$$ Decimos que$$f$$ admite tal serie en un set$$B$$ si la serie converge$$f$$ en$$B;$$ i.e.,

$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(p)}{n !}(x-p)^{n} \neq \pm \infty \text { for } x \in B.$

Este es claramente el caso si

$\lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f(x)-P_{n}(x)\right]=0 \text { for } x \in B;$

brevemente,$$R_{n} \rightarrow 0.$$ Así

$f \text { admits a Taylor series (about p) iff } R_{n} \rightarrow 0.$

Precaución: La convergencia de la serie por sí sola (ya sea puntual o uniforme) no es suficiente. En ocasiones la serie converge a una suma distinta de$$f(x);$$ entonces (7) falla. Así todo depende de la condición necesaria y suficiente:$$R_{n} \rightarrow 0$$.

## Definición 1

Decimos que$$f$$ es de clase$$\mathrm{CD}^{n}$$, o$$n$$ tiempos continuamente diferenciables, en un conjunto$$B$$ iff$$f$$ es$$n$$ tiempos diferenciables en$$B,$$ y$$f^{(n)}$$ es relativamente continuo en$$B$$. Notación:$$f \in \mathrm{CD}^{n}$$ (on$$B).$$

Si esto se mantiene para cada uno$$n \in N,$$ decimos que$$f$$ es infinitamente diferenciable on$$B$$ y write$$f \in \mathrm{CD}^{\infty}$$ (on$$B).$$

La notación$$f \in \mathrm{CD}^{0}$$ significa que$$f$$ es finita y relativamente continua (todo en$$B).$$

## Ejemplos

(a) Dejar

$f(x)=e^{x} \text { on } E^{1}.$

Entonces

$(\forall n) \quad f^{(n)}(x)=e^{x},$

así$$f \in \mathrm{CD}^{\infty}$$ sucesivamente$$E^{1}.$$ At$$p=0, f^{(n)}(p)=1,$$ así obtenemos por Teorema 1' (usando (5') y Nota 1)

$e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{e^{\theta_{n} x}}{(n+1) !} x^{n+1}, \quad 0<\theta_{n}<1.$

Así, en un intervalo$$[-a, a]$$,

$e^{x} \approx 1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}$

a dentro de un error$$R_{n}(>0 \text { if } x>0)$$ con

$\left|R_{n}\right|<e^{a} \frac{a^{n+1}}{(n+1) !},$

que tiende a 0 como$$n \rightarrow+\infty.$$ Para$$a=1=x,$$ obtenemos

$e=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{n !}+R_{n} \text { with } 0<R_{n}<\frac{e^{1}}{(n+1) !}.$

Tomando$$n=10,$$ tenemos

$e \approx 2.7182818 | 011463845 \ldots$

con un error no negativo de no más de

$\frac{e}{11 !}=0.00000006809869 \ldots;$

todos los dígitos son correctos antes de la barra vertical.

b) Dejar

$f(x)=e^{-1 / x^{2}} \text { with } f(0)=0.$

Como$$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0), f$$ es continuo en Ahora$$0.$$ demostramos que$$f \in \mathrm{CD}^{\infty}$$ en$$E^{1}.$$

Para$$x \neq 0,$$ esto es claro; además, los rendimientos de inducción

$f^{(n)}(x)=e^{-1 / x^{2}} x^{-3 n} S_{n}(x),$

donde$$S_{n}$$ es un polinomio en$$x$$ grado 2$$(n-1)$$ (esto es todo lo que necesitamos saber de$$S_{n}).$$ Una aplicación repetida de la regla de L'Hôpital muestra entonces que

$\lim _{x \rightarrow 0} f^{(n)}(x)=0 \text { for each } n.$

Para encontrar$$f^{\prime}(0),$$ tenemos que usar la definición de un derivado:

$f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0},$

o por regla de L'Hôpital,

$f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{1}=0.$

Usando la inducción nuevamente, obtenemos

$f^{(n)}(0)=0, \quad n=1,2, \ldots.$

Así, efectivamente,$$f$$ tiene derivados finitos de todos los órdenes en cada uno$$x \in E^{1},$$ incluyendo$$x=0,$$ así$$f \in \mathrm{CD}^{\infty}$$ sucesivamente$$E^{1},$$ como se reivindica.

Sin embargo, cualquier intento de usar la fórmula (3) en nada$$p=0$$ rinde nada. Como todos$$f^{(n)}$$ desaparecen al igual$$0,$$ que todos los términos excepto$$R_{n}.$$ Así no resulta ninguna aproximación por polinomios - solo nos llevamos$$E^{1}$$ y$$R_{n}(x)=e^{-1 / x^{2}}$$.$$P_{n}=0$$ $$R_{n}$$no tiende a 0 excepto en$$x=0,$$ lo que$$f$$ admite ninguna serie Taylor sobre 0 (excepto en$$E=\{0\}).$$

El teorema de Taylor también arroja condiciones suficientes para máximos y mínimos, como vemos en el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Vamos$$f : E^{1} \rightarrow E^{*}$$ a ser$$\mathrm{CD}^{n}$$ de clase$$G_{p}(\delta)$$ para un número par$$n \geq 2,$$ y dejar

$f^{(k)}(p)=0 \text { for } k=1,2, \ldots,\text{ } n-1,$

mientras

$f^{(n)}(p)<0 \text { (respectively, } f^{(n)}(p)>0).$

Entonces$$f(p)$$ es el valor máximo (respectivamente, mínimo) de$$f$$ en algunos$$G_{p}(\varepsilon)$$$$\varepsilon \leq \delta.$$

Sin embargo, si estas condiciones se mantienen para algún impar$$n \geq 1$$ (es decir, la primera derivada no desaparecida at$$p$$ es de orden impar), no$$f$$ tiene máximo o mínimo en$$p.$$

Prueba

Como

$f^{(k)}(p)=0, \quad k=1,2, \ldots, \text{ } n-1,$

Teorema 1' (con$$n$$ reemplazado por$$n-1)$$ rendimientos

$f(x)=f(p)+f^{(n)}\left(q_{n}\right) \frac{(x-p)^{n}}{n !} \quad \text { for all } x \in G_{p}(\delta),$

con$$q_{n}$$ entre$$x$$ y$$p$$.

También, como$$f \in \mathrm{CD}^{n}, f^{(n)}$$ es continuo en$$p.$$ Así si$$f^{(n)}(p)<0,$$ entonces$$f^{(n)}<0$$ en algunos$$G_{p}(\varepsilon), 0<\varepsilon \leq \delta.$$ Sin embargo,$$x \in G_{p}(\varepsilon)$$ implica$$q_{n} \in G_{p}(\varepsilon),$$ así

$f^{(n)}\left(q_{n}\right)<0,$

mientras

$(x-p)^{n} \geq 0 \text { if } n \text { is even.}$

De ello se deduce que

$f^{(n)}\left(q_{n}\right) \frac{(x-p)^{n}}{n !} \leq 0,$

y así

$f(x)=f(p)+f^{(n)}\left(q_{n}\right) \frac{(x-p)^{n}}{n !} \leq f(p) \quad \text { for } x \in G_{p}(\varepsilon),$

es decir,$$f(p)$$ es el valor máximo de$$f$$ on$$G_{p}(\varepsilon),$$ como se reivindica.

De igual manera, en el caso resultaría$$f^{(n)}(p)>0,$$ un mínimo.

Si, sin embargo,$$n$$ es impar, entonces$$(x-p)^{n}$$ es negativo para$$x<p$$ pero positivo para$$x>p .$$ El mismo argumento luego muestra que de un$$f(x)<f(p)$$$$f(x)>f(p)$$ lado$$p$$ y del otro lado; así no puede existir ningún máximo o mínimo local en$$p.$$ Esto completa la prueba. $$\quad \square$$

## Ejemplos

(a') Dejar

$f(x)=x^{2} \text { on } E^{1} \text { and } p=0.$

Entonces

$f^{\prime}(x)=2 x \text { and } f^{\prime \prime}(x)=2>0,$

por lo

$f^{\prime}(0)=0 \text { and } f^{\prime \prime}(0)=2>0.$

Por Teorema 2,$$f(p)=0^{2}=0$$ es un valor mínimo.

Resulta ser mínimo en todos$$E^{1}$$. De hecho$$x>0$$,$$f^{\prime}(x)>0$$ para, y$$f^{\prime}<0$$ para$$x<0,$$ tan$$f$$ estrictamente disminuye$$(-\infty, 0)$$ y aumenta en$$(0,+\infty).$$

En realidad, incluso sin usar el Teorema 2, el último argumento arroja la respuesta.

(b') Dejar

$f(x)=\ln x \text { on }(0,+\infty).$

Entonces

$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}>0 \text { on all of }(0,+\infty).$

Esto demuestra que$$f$$ estrictamente aumenta en todas partes y por lo tanto no puede tener ningún máximo o mínimo en ninguna parte. Lo mismo sigue por la segunda parte del Teorema 2, con$$n=1$$.

b”) En el Ejemplo (b'), considere también

$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0.$

En este caso, no$$f^{\prime \prime}$$ tiene relación con la existencia de un máximo o mínimo porque$$f^{\prime} \neq 0.$$ Still, la fórmula$$f^{\prime \prime}<0$$ sí tiene cierto significado. De hecho, si$$f^{\prime \prime}(p)<0$$ y$$f \in \mathrm{CD}^{2}$$$$G_{p}(\delta),$$ luego (usando el mismo argumento que en el Teorema 2) el lector encontrará fácilmente que

$f(x) \leq f(p)+f^{\prime}(p)(x-p) \quad \text { for } x \text { in some } G_{p}(\varepsilon), 0<\varepsilon \leq \delta.$

ya que$$y=f(p)+f^{\prime}(p)(x-p)$$ es la ecuación de la tangente at$$p$$, se deduce que$$f(x) \leq y;$$ es decir, cerca de$$p$$ la curva se encuentra por debajo de la tangente en$$p.$$

Del mismo modo,$$f^{\prime \prime}(p)>0$$ y$$f \in \mathrm{CD}^{2}$$ on$$G_{p}(\delta)$$ implica que la curva cercana$$p$$ se encuentra por encima de la tangente.

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