1.3: Terminología y Aritmética Básica

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Definición

Los números complejos se definen como el conjunto de todos los números

\[z = x + yi\]

donde\(x\) y\(y\) son números reales.

Denotamos el conjunto de todos los números complejos por\(\mathbb{C}\).
Llamamos a\(x\) la parte real de\(z\). Esto se denota por\(x = \text{Re} (z)\).
Llamamos a\(y\) la parte imaginaria de\(z\). Esto se denota por\(y = \text{Im} (z)\).

Importante: La parte imaginaria de\(z\) es un número real. No incluye el\(i\).

Las operaciones aritméticas básicas siguen las reglas estándar. Todo lo que tienes que recordar es eso\(i^2 = -1\). Pasaremos por estos rápidamente usando algunos ejemplos simples. Casi no hace falta decir que es esencial que te vuelvas fluido con estas manipulaciones.

Adición:\((3 + 4i) + (7 + 11i) = 10 + 15i\)
Resta:\((3 + 4i) - (7 + 11i) = -4 - 7i\)
Multiplicación:

\((3 + 4i)(7 + 11i) = 21 + 28i + 33i + 44i^2 = -23 + 61i.\)

Aquí hemos utilizado el hecho de que\(44i^2 = -44\).

Antes de hablar de división y valor absoluto introducimos una nueva operación llamada conjugación. Será útil tener un nombre y símbolo para ello, ya que lo usaremos frecuentemente.

Definición: Conjugación compleja

La conjugación compleja se denota con una barra y se define por

\[\overline{x + iy} = x - iy\]

Si\(z = x + iy\) entonces su conjugado es\(\bar{z} = x - iy\) y leemos esto como “z-bar =\(x - iy\)”.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(\overline{3 + 5i} = 3 - 5i\).

La siguiente es una propiedad muy útil de conjugación: Si\(z = x + iy\) entonces

\(z\bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2\)

Tenga en cuenta que\(z\bar{z}\) es real. Utilizaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo para ayudar con la división.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) (Division).

Escribir\(\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i}\) en la forma estándar\(x + iy\).

Solución

Utilizamos la propiedad útil de la conjugación para borrar el denominador:

\(\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} = \dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = \dfrac{11 - 2i}{5} = \dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5} i\).

En la siguiente sección discutiremos la geometría de los números complejos, lo que da alguna idea del significado de la magnitud de un número complejo. Por ahora solo damos la definición.

Definición: Magnitud

La magnitud del número complejo\(x + iy\) se define como

\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

La magnitud también se llama el valor absoluto, norma o módulo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

La norma de\(3 + 5i = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\).

Importante. La norma es la suma de\(x^2\) y\(y^2\). No incluye el\(i\) y por lo tanto siempre es positivo.