1.3: Terminología y Aritmética Básica
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\[z = x + yi\]
donde\(x\) y\(y\) son números reales.
- Denotamos el conjunto de todos los números complejos por\(\mathbb{C}\).
- Llamamos a\(x\) la parte real de\(z\). Esto se denota por\(x = \text{Re} (z)\).
- Llamamos a\(y\) la parte imaginaria de\(z\). Esto se denota por\(y = \text{Im} (z)\).
Importante: La parte imaginaria de\(z\) es un número real. No incluye el\(i\).
Las operaciones aritméticas básicas siguen las reglas estándar. Todo lo que tienes que recordar es eso\(i^2 = -1\). Pasaremos por estos rápidamente usando algunos ejemplos simples. Casi no hace falta decir que es esencial que te vuelvas fluido con estas manipulaciones.
- Adición:\((3 + 4i) + (7 + 11i) = 10 + 15i\)
- Resta:\((3 + 4i) - (7 + 11i) = -4 - 7i\)
- Multiplicación:
\((3 + 4i)(7 + 11i) = 21 + 28i + 33i + 44i^2 = -23 + 61i.\)
Aquí hemos utilizado el hecho de que\(44i^2 = -44\).
Antes de hablar de división y valor absoluto introducimos una nueva operación llamada conjugación. Será útil tener un nombre y símbolo para ello, ya que lo usaremos frecuentemente.
La conjugación compleja se denota con una barra y se define por
\[\overline{x + iy} = x - iy\]
Si\(z = x + iy\) entonces su conjugado es\(\bar{z} = x - iy\) y leemos esto como “z-bar =\(x - iy\)”.
\(\overline{3 + 5i} = 3 - 5i\).
La siguiente es una propiedad muy útil de conjugación: Si\(z = x + iy\) entonces
\(z\bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2\)
Tenga en cuenta que\(z\bar{z}\) es real. Utilizaremos esta propiedad en el siguiente ejemplo para ayudar con la división.
Escribir\(\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i}\) en la forma estándar\(x + iy\).
Solución
Utilizamos la propiedad útil de la conjugación para borrar el denominador:
\(\dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} = \dfrac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \dfrac{1 - 2i}{1 - 2i} = \dfrac{11 - 2i}{5} = \dfrac{11}{5} - \dfrac{2}{5} i\).
En la siguiente sección discutiremos la geometría de los números complejos, lo que da alguna idea del significado de la magnitud de un número complejo. Por ahora solo damos la definición.
La magnitud del número complejo\(x + iy\) se define como
\[|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
La magnitud también se llama el valor absoluto, norma o módulo.
La norma de\(3 + 5i = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\).
Importante. La norma es la suma de\(x^2\) y\(y^2\). No incluye el\(i\) y por lo tanto siempre es positivo.