2.9: Cortes de rama y composición de funciones
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Vamos\(f(z) = e^{z^2}\). Ya que\(e^z\) y\(z^2\) son ambas funciones enteras, así es\(f(z) = e^{z^2}\). La regla de la cadena nos da
\[f'(z) = e^{z^2} (2z).\]
Dejar\(f(z) = e^z\) y\(g(z) = 1/z\). \(f(z)\)es entero y\(g(z)\) es analítico en todas partes menos 0. Así\(f(g(z))\) es analítico excepto en 0 y
\(C\)- {\(2\pi n i\), donde\(n\) es cualquier entero}
La regla del cociente da\(h'(z) = -e^z/(e^z - 1)^2\). Un poco más formalmente:\(h(z) = f(g(z))\). dónde\(f(w) = 1/w\) y\(w = g(z) = e^z - 1\). Sabemos que\(g(z)\) es completo y\(f(w)\) es analítico en todas partes excepto\(w = 0\). Por lo tanto,\(f(g(z))\) es analítico en todas partes excepto en dónde\(g(z) = 0\).
Puede suceder que la derivada tenga un dominio mayor donde sea analítico que la función original. El ejemplo principal es\(f(z) = \log (z)\). Esto es analítico en\(C\) menos un corte de rama. Sin embargo
\[\dfrac{d}{dz} \log (z) = \dfrac{1}{z}\]
es analítico en\(C\) - {0}. Lo contrario no puede suceder.
Definir una región donde\(\sqrt{1 - z}\) es analítica.
Solución
Elegir la rama principal del argumento, tenemos\(\sqrt{w}\) es analítico sobre
\(C - \{ x \le 0, y = 0\}\), (véase la figura a continuación.).
Así\(\sqrt{1 - z}\) es analítico excepto donde\(w = 1 - z\) está en el corte de rama, es decir, donde\(w = 1 - z\) es real y\(\le 0\). Es fácil ver que
\(w = 1 - z\)es real y\(\le 0\)\(\Leftrightarrow\)\(z\) es real y\(\ge 1\).
Así\(\sqrt{1 - z}\) es analítico en la región (ver figura abajo)
\[C - \{x \ge 1, y = 0\}\]
Una elección de rama diferente para\(\sqrt{w}\) conduciría a una región diferente donde\(\sqrt{1 - z}\) es analítica.
La siguiente figura muestra los dominios con cortes de rama para este ejemplo.
Definir una región donde\(f(z) = \sqrt{1 + e^z}\) es analítica.
Solución
Nuevamente, tomemos\(\sqrt{w}\) para ser analíticos en la región
\[C - \{x \le 0, y = 0\}\]
Entonces,\(f(z)\) es analítico excepto donde\(1 + e^z\) es real y\(\le 0\). Es decir, salvo donde\(e^z\) sea real y\(\le -1\). Ahora,\(e^z = e^x e^{iy}\) es real sólo cuando\(y\) es un múltiplo de\(\pi\). Es negativo solo cuando\(y\) es un mutltiple impar de\(\pi\). Tiene magnitud mayor a 1 sólo cuando\(x > 0\). Por lo tanto\(f(z)\) es analítico en la región
\[C - \{x \ge 0, y = \text{odd multiple of } \pi \}\]
La siguiente figura muestra los dominios con cortes de rama para este ejemplo.
