2.10: Apéndice - Límites

La idea intuitiva detrás de los límites es relativamente simple. Aún así, en el siglo XIX los matemáticos estaban perturbados por la falta de rigor, por lo que se pusieron a poner límites y análisis en firme con minuciosas definiciones y pruebas. En este apéndice te damos la definición formal y la conectamos con la idea intuitiva. En 18.04 no vamos a necesitar este nivel de formalidad. Aún así, es agradable saber que los cimientos son sólidos, y algunos estudiantes pueden encontrar esto interesante.

Límites de Secuencias

Intuitivamente, decimos que una secuencia de números complejos$z_1, z_2, ...$ converge a$a$ si por grandes$n$,$z_n$ es realmente cercana a$a$. Para ser un poco más precisos, si ponemos un pequeño círculo de radio$\epsilon$ alrededor$a$ entonces eventualmente la secuencia debería permanecer dentro del círculo. Vamos a referirnos a esto como la secuencia que está siendo capturada por el círculo. Esto tiene que ser cierto para cualquier círculo por pequeño que sea, aunque puede tomar más tiempo para que la secuencia sea 'capturada' por un círculo más pequeño.

Esto se ilustra en la Figura$\PageIndex{1}$. La secuencia se ensartó a lo largo de la curva que se muestra dirigiéndose hacia$a$. El círculo de radio más grande$\epsilon_2$ captura la secuencia en el momento$n = 47$, el círculo más pequeño no la captura hasta$n = 59$. Tenga en cuenta que$z_{25}$ está dentro del círculo más grande, pero como los puntos posteriores están fuera del círculo no decimos que la secuencia se captura en$n = 25$.

Figura$\PageIndex{1}$: Una secuencia de puntos convergentes a$a$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Definición

La secuencia$z_1, z_2, z_3, ...$ converge al valor$a$ si por cada$\epsilon > 0$ hay un número$N_{\epsilon}$ tal que$|z_n - a| < \epsilon$ para todos$n > N_{\epsilon}$. Escribimos esto como

$$\lim_{n \to \infty} z_n = a.$$

Nuevamente, la definición solo dice que eventualmente la secuencia está dentro$\epsilon$ de$a$, por pequeña que elijas$\epsilon$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Demostrar que la secuencia$z_n = (1/n + i)^2$ tiene límite -1.

Solución

Esto es claro porque$1/n \to 0$. Para la práctica, expresémoslo en términos de épsilones: dado$\epsilon > 0$ tenemos que elegir$N_{\epsilon}$ tal que

$$|z_n - (-1)| < \epsilon \text{ for all } n > N_{\epsilon} \nonumber$$

Una estrategia es mirar$|z_n + 1|$ y ver que$N_{\epsilon}$ debería ser. Tenemos

$$|z_n - (-1)| = \left|(\dfrac{1}{n} + i)^2 + 1\right| = \left|\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2i}{n}\right| < \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n} \nonumber$$

Así que todo lo que tenemos que hacer es escoger lo suficientemente$N_{\epsilon}$ grande como para

$$\dfrac{1}{N_{\epsilon}^2} + \dfrac{2}{N_{\epsilon}} < \epsilon \nonumber$$

Ya que esto se puede hacer claramente lo hemos demostrado$z_n \to i$.

Esto fue claramente más trabajo del que queremos hacer por cada límite. Afortunadamente, ¡la mayoría de las veces podemos aplicar reglas generales para determinar un límite sin recurrir a épsilones!

Observaciones

1. En 18.04 podremos detectar el límite de la mayoría de los ejemplos concretos de secuencias. La definición formal es necesaria cuando se trata abstractamente de secuencias.
2. Para los matemáticos$\epsilon$ es uno de los símbolos de referencia para un número pequeño. El destacado y bastante excéntrico matemático Paul Erdos solía referirse a los niños como épsilones, como en '¿Cómo están los épsilones?'
3. El término 'capturado por el círculo' no es de uso común, pero sí capta lo que está sucediendo.

$\lim_{z \to z_0} f(z)$

A veces necesitamos límites de la forma$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$. Nuevamente, el significado intuitivo es claro: como$z$ se acerca a$z_0$ nosotros deberíamos ver$f(z)$ acercarse a$a$. Aquí está la definición técnica

Definición

Supongamos que$f(z)$ se define en un disco perforado$0 < |z - z_0| < r$ alrededor$z_0$. Decimos$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$ si por cada$\epsilon > 0$ hay$\delta$ tal que

$|f(z) - a| < \epsilon$siempre que$0 < |z - z_0| < \delta$

Esto dice exactamente que a medida que$z$ se acerca (dentro$\delta$) a$z_0$ lo que tenemos$f(z)$ está cerca (con$\epsilon$) a$a$. Ya que se$\epsilon$ pueden hacer tan pequeños como queramos,$f(z)$ debemos ir a$a$.

Observaciones

1. Usar el disco perforado (también llamado vecindario eliminado) significa que$f(z)$ no tiene que definirse en$z_0$ y, si es entonces$f(z_0)$ no necesariamente igual$a$. Si$f(z_0) = a$ entonces decimos que el$f$ es continuo en$z_0$.
2. Pídele a cualquier matemático que complete la frase “Por cada$\epsilon$" y lo más probable es que responda “hay un$\delta$...”

Conexión entre límites de secuencias y límites de funciones

Aquí hay una forma equivalente de definir límites de funciones: el límite$\lim_{z \to z_0} f(z) = a$ si, por cada secuencia de puntos$\{z_n\}$ con límite$z_0$ la secuencia$\{f(z_n)\}$ tiene límite$a$.