3.2: Curvas parametrizadas

A menudo usamos la letra griega gamma para una curva parametrizada, i.e.

$$\gamma (t) = (x(t), y(t)). \nonumber$$

Pensamos en esto como un punto móvil trazando una curva en el plano. El vector tangente

$$\gamma '(t) = (x'(t), y'(t)) \nonumber$$

es tangente a la curva en el punto$(x (t), y(t))$. Su longitud$|\gamma '(t)|$ es la velocidad instantánea del punto de movimiento.

Figura$\PageIndex{1}$: Curva parametrizada$\gamma (t)$ con algunos vectores tangentes$\gamma '(t)$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Parametrizar la línea recta desde el punto$(x_0, y_0)$ hasta$(x_1, y_1)$.

Solución

Siempre hay muchas parametrizaciones de una curva dada. Una estándar para líneas rectas es

$$\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t(x_1 - x_0, y_1 - y_0), \text{ with } 0 \le t \le 1. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Parametriza el círculo de radio$r$ alrededor del punto$(x_0, y_0)$.

Solución

Nuevamente hay muchas parametrizaciones. Aquí está el estándar con el círculo atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj:

$$\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + r(\cos (t), \sin (t)), \text{ with } 0 \le t \le 2\pi. \nonumber$$

Figura$\PageIndex{2}$: Línea de$(x_0, y_0)$ a ($x_1, y_1$) y círculo alrededor$(x_0, y_0)$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)