3.2: Curvas parametrizadas

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A menudo usamos la letra griega gamma para una curva parametrizada, i.e.

\[\gamma (t) = (x(t), y(t)). \nonumber\]

Pensamos en esto como un punto móvil trazando una curva en el plano. El vector tangente

\[\gamma '(t) = (x'(t), y'(t)) \nonumber\]

es tangente a la curva en el punto\((x (t), y(t))\). Su longitud\(|\gamma '(t)|\) es la velocidad instantánea del punto de movimiento.

001 - (3.3 - Curva parametrizada) .svg — Figura\(\PageIndex{1}\): Curva parametrizada\(\gamma (t)\) con algunos vectores tangentes\(\gamma '(t)\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Parametrizar la línea recta desde el punto\((x_0, y_0)\) hasta\((x_1, y_1)\).

Solución

Siempre hay muchas parametrizaciones de una curva dada. Una estándar para líneas rectas es

\[\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + t(x_1 - x_0, y_1 - y_0), \text{ with } 0 \le t \le 1. \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Parametriza el círculo de radio\(r\) alrededor del punto\((x_0, y_0)\).

Solución

Nuevamente hay muchas parametrizaciones. Aquí está el estándar con el círculo atravesado en sentido contrario a las agujas del reloj:

\[\gamma (t) = (x, y) = (x_0, y_0) + r(\cos (t), \sin (t)), \text{ with } 0 \le t \le 2\pi. \nonumber\]

002 - (3.3- círculo) .svg — Figura\(\PageIndex{2}\): Línea de\((x_0, y_0)\) a (\(x_1, y_1\)) y círculo alrededor\((x_0, y_0)\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)