3.6: Integrales de línea

Los ingredientes para las integrales de línea (también llamadas ruta o contorno) son los siguientes:

• Un campo vectorial\(F = (M, N)\)
• Una curva\(\gamma (t) = (x(t), y(t))\) definida para\(a \le t \le b\)

Entonces la línea integral de\(F\) lo largo\(\gamma\) se define por

\[\int_{\gamma} F \cdot dr = \int_a^b F(\gamma (t)) \cdot y'(t)dt = \int_{\gamma} M\ dx + N\ dy.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(F = (-y/r^2, x/r^2)\) y dejar\(\gamma\) ser el círculo de la unidad. Línea de cómputo integral de\(F\) largo\(\gamma\).

Solución

Deberías ser capaz de proporcionar la respuesta a este ejemplo

Propiedades de integrales de línea

1. Independiente de parametrización.

2. Dirección inversa en signo de\(\Rightarrow\) cambio de curva. Es decir,

\[\int_{-C} F \cdot dr = -\int_{C} F \cdot dr.\]

(Aquí,\(-C\) significa la misma curva atravesada en la dirección opuesta.)

3. Si\(C\) está cerrado entonces a veces indicamos esto con la notación\(\oint_{C} F \cdot dr = \oint_{C} M\ dx + N\ dy\).

Teorema fundamental para campos de gradiente

Teorema\(\PageIndex{1}\) Fundamental theorem for gradient fields

Si\(F = nabla f\) entonces\(\int_{\gamma} F \cdot d r = f(P) - f(Q)\), donde\(Q, P\) están los puntos inicial y final respectivamente de\(\gamma\).

Prueba

Por la regla de la cadena tenemos

\[\dfrac{df(\gamma (t))}{dt} = \nabla f(\gamma (t)) \cdot \gamma '(t) = F(\gamma (t)) \cdot y'(t).\]

La última igualdad se desprende de nuestra suposición de que\(F = \nabla f\). Ahora podemos esto cuando calculamos la integral de línea:

\[\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} F \cdot dr} & = & {\int_a^b F (\gamma (t)) \cdot y' (t)\ dt} \\ {} & = & {\int_a^b \dfrac{df(\gamma (t))}{dt} dt} \\ {} & = & {f(\gamma (b)) - f(\gamma (a))} \\ {} & = & {f(P) - f(Q)} \end{array}\]

Observe que la tercera igualdad se desprende del teorema fundamental del cálculo.

Definición: Función potencial

Si un campo vectorial\(F\) es un campo de gradiente, con\(F = \nabla f\), entonces llamamos a\(f\) una función potencial para\(F\).

Nota: la terminología física habitual sería llamar a\(f\) la función potencial para\(F\).

independencia y funciones conservadoras

Definición: Independencia del camino

Para un campo vectorial\(F\), la integral de línea\(\int F \cdot dr\) se denomina ruta independiente si, para dos puntos cualesquiera\(P\) y\(Q\), la integral de línea tiene el mismo valor para\(every\) ruta entre\(P\) y\(Q\).

Teorema\(\PageIndex{2}\)

\(\int_C F \cdot dr\)es independiente de ruta es equivalente a\(\oint_{C} F \cdot dr = 0\) para cualquier camino cerrado.

Croquis de Prueba

Dibuja dos caminos desde\(Q\) hasta\(P\). Siguiendo uno de\(Q\) a\(P\) y el reverso del otro de regreso a\(P\) es un camino cerrado. La equivalencia sigue fácilmente. Te remitimos a la revisión más detallada de integrales de línea y teorema de Green para más detalles.

Definición: Campo vectorial conservador

Un campo vectorial con integrales de línea independientes de ruta, equivalentemente un campo cuyas integrales de línea alrededor de cualquier bucle cerrado es 0 se denomina campo vectorial conservador.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Tenemos la siguiente equivalencia: En una región conectada, un campo de gradiente es conservador y un campo conservador es un campo de gradiente.

Prueba

Nuevamente te remitimos a la revisión más detallada para más detalles. Esencialmente, si\(F\) es conservador entonces podemos definir una función potencial\(f(x, y)\) como la línea integral de\(F\) desde algún punto base hasta\((x, y)\).