9.1: Polos y ceros

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Te recordamos la siguiente terminología: Supongamos que\(f(z)\) es analítico en\(z_0\) y

\[f(z) = a_n (z - z_0)^n + a_{n + 1} (z - z_0)^{n + 1} + \ ...,\]

con\(a_n \ne 0\). Entonces decimos que\(f\) tiene un cero de orden\(n\) en\(z_0\). Si\(n = 1\) decimos\(z_0\) es un simple cero.

Supongamos que\(f\) tiene una sigularidad aislada en\(z_0\) y serie Laurent

\[f(z) = \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \dfrac{b_{n - 1}}{(z - z_0)^{n - 1}} + \ ... + \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \ ...\]

que converge en\(0 < |z - z_0| < R\) y con\(b_n \ne 0\). Entonces decimos que\(f\) tiene un polo de orden\(n\) en\(z_0\). Si\(n = 1\) decimos\(z_0\) es un simple polo.

Hay varios ejemplos en las notas del Tema 8. Aquí hay uno más

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\[f(z) = \dfrac{z + 1}{z^3 (z^2 + 1)} \nonumber\]

tiene singularidades aisladas en\(z = 0\),\(\pm i\) y un cero en\(z = -1\). Mostraremos que\(z = 0\) es un polo de orden 3,\(z = \pm i\) son polos de orden 1 y\(z = -1\) es un cero de orden 1. El estilo de argumento es el mismo en cada caso.

En\(z = 0\):

\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} \cdot \dfrac{z + 1}{z^2 + 1}. \nonumber\]

Llama al segundo factor\(g(z)\). Ya que\(g(z)\) es analítico en\(z = 0\) y\(g(0) = 1\), tiene una serie Taylor

\[g(z) = \dfrac{z + 1}{z^2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z^2 + \ ... \nonumber\]

Por lo tanto

\[f(z) = \dfrac{1}{z^3} + \dfrac{a_1}{z^2} + \dfrac{a_2}{z} + \ ... \nonumber\]

Esto muestra\(z = 0\) es un polo de orden 3.

En\(z = i\):\(f(z) = \dfrac{1}{z - i} \cdot \dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)}\). Llama al segundo factor\(g(z)\). Ya que\(g(z)\) es analítico en\(z = i\), tiene una serie Taylor

\[g(z) = \dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i)^2 + \ ... \nonumber\]

donde\(a_0 = g(i) \ne 0\). Por lo tanto,

\[f(z) = \dfrac{a_0}{z - i} + a_1 + a_2 (z - i) + \ ... \nonumber\]

Este espectáculo\(z = i\) es un polo de orden 1.

Los argumentos a favor\(z = -i\) y\(z = -1\) son similares.