13.9: Retraso y Feedback
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Dejemos\(f(t) = 0\) para\(t < 0\). Arreglar\(a > 0\) y dejar\(h(t) = f(t - a)\). Entonces,\(h(t)\) es una versión retardada de la señal\(f(t)\). La ecuación 13.5.8 de la propiedad de Laplace dice
\[H(s) = e^{-as} F(s),\]
donde\(H\) y\(F\) son las transformadas de Laplace\(h\) y\(f\) respectivamente.
Ahora, supongamos que tenemos un sistema con función de sistema\(G(s)\). (De nuevo, llamado el sistema de bucle abierto.) Como antes, puede retroalimentar la salida a través del sistema. Pero, en lugar de simplemente multiplicar la salida por un escalar podemos retrasarlo también. Esto es capturado por el factor de retroalimentación\(ke^{-as}\).
La función del sistema para el sistema de bucle cerrado es
\[G_{CL} (s) = \dfrac{G}{1 + ke^{-as} G}\]
Tenga en cuenta que incluso si inicia con una función racional, la función del sistema del bucle cerrado con retardo no es racional. Por lo general, tiene un número infinito de polos.
Supongamos\(G(s) = 1\),\(a = 1\) y\(k = 1\) encontrar los polos de\(G_{CL} (s)\).
Solución
\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + e^{-s}}.\]
Entonces los polos ocurren donde\(e^{-s} = -1\), es decir, at\(in \pi\), donde\(n\) es un entero impar. Hay un número infinito de polos en el eje imaginario.
Supongamos\(G(s) = 1\),\(a = 1\) y\(k = 1/2\) encontrar los polos de\(G_{CL} (s)\). ¿El sistema de bucle cerrado es estable?
Solución
\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + e^{-s}/2}.\]
Entonces los polos ocurren donde\(e^{-s} = -2\), es decir, at\(-\log (2) + in\pi\), donde\(n\) es un entero impar. Ya que\(-\log (2) < 0\), hay un número infinito de polos en el medio plano izquierdo. Con todos los polos en el medio plano izquierdo, el sistema es estable.
Supongamos\(G(s) = 1\),\(a = 1\) y\(k = 2\) encontrar los polos de\(G_{CL} (s)\). ¿El sistema de bucle cerrado es estable?
Solución
\[G_{CL} (s) = \dfrac{1}{1 + 2e^{-s}}.\]
Entonces los polos ocurren donde\(e^{-s} = -1/2\), es decir, at\(\log (2) + in\pi\), donde\(n\) es un entero impar. Ya que\(\log (2) > 0\), hay un número infinito de polos en el medio plano derecho. Con postes en el medio plano derecho, el sistema no es estable.
Si\(\text{Re} (s)\) es lo suficientemente grande podemos expresar la función del sistema
\[G(s) = \dfrac{1}{1 + k e^{-as}}\]
como una serie geométrica
\[\dfrac{1}{1+ke^{-as}} = 1 - ke^{-as} + k^2 e^{-2as} - k^3 e^{-3as} + \ ...\]
Entonces, para entrada\(F(s)\), tenemos salida
\[X(s) = G(s) F(s) = F(s) - ke^{-as} F(s) + k^2 e^{-2as} F(s) - k^3 e^{-3as} F(s) + \ ...\]
Usando la fórmula de cambio Ecuación 13.5.8, tenemos
\[x(t) = f(t) - kf(t - a) + k^2 f(t - 2a) - k^3 f(t - 3a) + \ ...\]
(Esta no es realmente una serie infinita porque\(f(t) = 0\) para\(t < 0\).) Si la entrada está acotada y\(k < 1\) luego incluso para grandes\(t\) la serie está acotada. Así que la entrada acotada produce una salida acotada —esto también es lo que se entiende por estabilidad. Por otro lado si\(k > 1\), entonces la entrada delimitada puede conducir a una salida sin límites, esto es inestabilidad.