14.2: Definición y propiedades de la función Gamma

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Definición: Función Gamma

La función Gamma se define por la fórmula integral

\[\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-t} \ dt\]

La integral converge absolutamente para\(\text{Re} (z) > 0\).

Propiedades

\(\Gamma (z)\)se define y es analítico en la región\(\text{Re} (z) > 0\).
\(\Gamma (n + 1) = n!\), para entero\(n \ge 0\).
\(\Gamma (z + 1) = z \Gamma (z)\)(ecuación de función)
Esta propiedad y Propiedad 2 caracterizan la función factorial. Así,\(\Gamma (z)\) generaliza\(n!\) a números complejos\(z\). Algunos autores escribirán\(\Gamma (z + 1) = z!\).
\(\Gamma (z)\)puede continuarse analíticamente siendo meromórfico en todo el plano con polos simples a 0, −1, −2... Los residuos son
\[\text{Res} (\Gamma, -m) = \dfrac{(-1)^m}{m!}\]
\(\Gamma (z) = [ze^{\gamma z} \prod_{1}^{\infty} (1 + \dfrac{z}{n}) e^{-z/n}]^{-1}\), donde\(\gamma\) es constante de Euler
\[\gamma = \lim_{n \to \infty} 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdot\cdot\cdot \dfrac{1}{n} - \log (n) \approx 0.577\]
Esta propiedad utiliza un producto infinito. Desafortunadamente no tendremos tiempo, pero los productos infinitos representan todo un tema por su cuenta. Tenga en cuenta que el producto infinito hace que las posiciones de los polos sean\(\Gamma\) claras.
\(\Gamma (z) \Gamma (1 - z) = \dfrac{\pi}{\sin (\pi z)}\)
Con Property 5 esto da una fórmula de producto para\(\sin (\pi z)\).
\(\Gamma (z + 1) \approx \sqrt{2\pi} z^{z + 1/2} e^{-z}\)para\(|z|\) grandes,\(\text{Re} (z) > 0\).
En particular,\(n! \approx \sqrt{2 \pi} n^{n + 1/2} e^{-n}\). (Fórmula de Stirling)
\(2^{2z - 1} \Gamma (z) \Gamma (z + 1/2) = \sqrt{\pi} \Gamma (2z)\)(Fórmula de duplicación de Legendre)

Nota

Estas son solo algunas de las muchas propiedades de\(\Gamma (z)\). Como suele ser el caso, podríamos haber optado por definir\(\Gamma (z)\) en términos de algunas de sus propiedades y derivar la Ecuación 14.3.1 como teorema.

Demostraremos (algunas de) estas propiedades a continuación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilice las propiedades de\(\Gamma\) para mostrar eso\(\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}\) y\(\Gamma (3/2) = \sqrt{\pi}/2\).

Solución

De Inmueble 2 tenemos\(\Gamma (1) = 0! = 1\). La fórmula de duplicación de Legendre con\(z = 1/2\) luego muestra

\[2^0 \Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (1) = \sqrt{\pi} \Gamma (1) \Rightarrow \Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \nonumber\]

Ahora, usando la ecuación funcional Propiedad 3 obtenemos

\[\Gamma \left(\dfrac{3}{2}\right) = \Gamma \left(\dfrac{1}{2} + 1\right) = \dfrac{1}{2} \Gamma \left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}. \nonumber\]